完整版初二第一章直角三角形讲义.docx
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完整版初二第一章直角三角形讲义
直角三角形
一、直角三角形的性质：
除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：
⑴直角三角形两锐角
⑵直角三角形斜边的中线等于
⑶在直角三角形中如果有一个锐角是30°，那么它所对_边是_边的一半
二、直角三角形的判定：
除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：
⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形
⑵有两个角的三角形是直角三角形
⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形
三、勾股定理和它的逆定理：
1、勾股定理：
若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足
逆定理：
若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形
1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合
2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据,
3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、
2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）
3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。
（请画图）
4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形
边
角
线
判定
直角三角形
:
1
Au*
2.22abc
两锐角互余
CD=AD=BD
（斜边上的中线等于斜边的一半）
①若/A+ZB=90°,贝U
△ABC为Rt△;
卄'亠黄金直角
三角形
;|
C
■■眄nB
a:
b:
c
1:
^:
2
应用：
1斜边上的中线把Rt△分成两等腰三角形；
2等腰Rt△斜边上的中线把它分为两个全等的等腰Rt△o
2若ab2c2,
则厶ABC为Rt△;
3若CD=AD=BD则厶ABC为Rt△;
等腰直角三角形
A
b
C
a
B
a:
b:
c
1:
1^2
C1、如图，已知△ABC为直角三角形，/C=90°若沿图中虚线剪去/C,则/1+/2等于（）
A.90°B.135°C.270°D.315°
1
2、已知：
如图，△ABC中,AB=AC,BD丄AC于D点,BD=—AC.则/A=.
2
3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半，则其顶角为—.
4、将一个有45角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三
角板的一边与纸带的一一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）
A.3cmB.6cmC.3迈cmD.6V2cm
变式：
1、如图，在△ABC中，/ACB=90,/A=15°,AB=8cm,CD为AB的中线，求△ABC的面积。
ADB
2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CELAB,已知AB=10cmDE=2.5cm,求CD和/DCE
5、已知：
如图,ADABC的高,E为AC上的一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,
求证:
BE丄AC.
1、女口图/B=/ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,贝UAB的长是多少
2、2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直
角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1，直角三
2
角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（ab）的值为（）
A.13B.19C.25D.169
3.如图，已知在Rt△ABC中，/ACB=90°,AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2,则S1+S2
变式：
1、如图网格中一个四边形ABCD?
若小方格正方形的边长为1,?
则四边形ABCD的周长是
2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是
3•在直线I上依次摆放着七个正方形（如图所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正
方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，贝ySi+S2+S3+S4等于（）
例：
如图，在Rt△DBC中，/C=90°,/A=300,BD是/ABC的平分线，AD=20，求BC的长。
如图，在等腰直角三角形ABC中，C90o,D是斜边AB上任一点，AE丄CD于E,BF丄CD并交CD的延长线于F,CH丄AB于H，交AE于G.求证：
BDCG.
直角三角形与等腰三角形的综合
1、如图，在Rt△ABC中，AB=AC.D,E是斜边BC上两点，且/DAE=45。
，将△ADC绕点A顺时针旋转
90°后，得至AFB,连接EF,下列结论:
©△AED◎△AEF;②厶ABEACD;③BE+DC=DE;④BE2+DC2=DE2其中正确的是（）
变式：
1.在△ABC中，AB=AC，/BAC=90°,D、E为斜边BC上两点（不与B、C重合），且/DAE=45。
，把△ABD沿着AD折叠，得到△ADF.那么正确结论有（）
1厶DEF是直角三角形；
2厶AFE◎△ACE;
3BD+EC>DE;
4AF是/BAC的平分线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
AC于点E,F，给出以下四个结论：
①AE=CF;直\EPF是等腰直角三角形；③S四边形
2、如图所示，已知△ABC中，AB=AC，/BAC=90°，直角/EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AEPFJS^ABC:
④EF=AP.当
2
）
1.如右图：
在四边形ABCD中,AB=2,CD=1/A=60°,求AD的长，与四边形ABCD的面积。
2.
[来源:
学|科|网Z|X|X|K]
A.1
5
4:
如图，已知BE丄ADCF丄AD且BE=CF•请你判断AD是△ABC勺中线还是角平分线？
请说明你判断的理由.
图（19）
7:
在直角三角形中，若两直角边a,b满足ab17,ab60,则斜边长为
点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米?
9.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将△OAB绕点O按逆时
针方向旋转到△OAB',使点B的对应点B'落在y轴的正半轴上，已知OB=2/BOA=3O°。
（1）求点B与点A'的坐标；
（2）求经过点B与点B'的直线所对应的一次函数解析式，并判断断点A'是否在直线BB'上.
课后练习
A组（基础巩固）
1、下列说法：
1若在△ABC中a2+b2^『，则厶ABC不是直角三角形；
0222
2若△ABC是直角三角形，/C=90，则a+b=c;
3若在△ABC中，a2+b2=c2，则/C=9（f;
4若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。
正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。
2、在以下列各组数为边长的三角形，不是直角三角形的是（）
A、3,4,5B、2,2,3C、7,24,25D、2,■7,3
1、2、3，正放置的四个正方
3•在直线I上依次摆放着七个正方形（如图）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是
形的面积依次是Si、S2、s、S4,贝yS1+2S2+2S3+S4等于（）
D、10
6.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF，左边滑梯的高度AC?
与右边滑梯水平方向
的长度DF相等，则/ABC+/DFE的度数为（）
A600B900C1200D不确定
7•如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要米。
&用刻度尺和圆规在数轴上找出5的点.
9.如图2,已知/BAC=30°,AD=BD,AB丄BC,AD丄DB,BC=4,求
（1）AD、AC、AB的长度。
（2）求四边形ADBC的面积。
B组（能力提升）
1、直角三角形的周长为
12cm,斜边的长为5cm,则其面积为；
3•如图，已知AC=5cm,BC=12cm,AC丄BC,CD丄AB于D，求线段CD和AD的长?
5、•如图，直角三角形两条直角边点E重合。
求CD的长。
4、一个直角三角形的两边长分别是5,12,那么它斜边上的中线长是多少？
它斜边上的高线长是多少?
AC=6cm，BC=8cm,现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与
C组（拓展提高）
1.如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s,
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，/CMQ变化吗？
若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M,则/CMQ变化吗?
若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.
2.如图，已知一个四边形的四条边AB,BC,CD和DA的长分别是3,4,13和12,其中/B=90。
，求这个四边形
的面积。
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