习题集含详解高中数学题库高考专点专练之37对数函数及其性质.docx

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习题集含详解高中数学题库高考专点专练之37对数函数及其性质

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之37对数函数及其性质

一、选择题（共40小题；共200分）

1.函数的定义域是

A.B.

C.D.

2.设，，，则

A.B.C.D.

3.已知，，，则

A.B.C.D.

4.已知集合，，则

A.B.

C.D.

5.设，，，则

A.B.C.D.

6.已知，函数的定义域为，集合，则

A.B.C.D.

7.若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则

A.B.C.D.

8.设，，则

A.B.

C.D.

9.函数的反函数是

A.B.

C.D.

10.函数的零点个数为

A.B.C.D.

11.已知函数，则

A.B.C.D.

12.已知，，，则

A.B.C.D.

13.设，，，则这三个数的大小关系是

A.B.C.D.

14.函数若是方程三个不同的根，则的范围是

A.B.

C.D.

15.设函数若，则实数的取值范围是

A.B.

C.D.

16.已知为定义在上的函数，若对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则

A.B.C.D.

17.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是

A.B.

C.D.

18.函数的单调递增区间是

A.B.C.D.

19.已知在上为减函数，则的取值范围是

A.B.C.D.

20.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是

A.B.C.D.

21.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22.给出下列五个命题：

①函数是偶函数，但不是奇函数；

②若成立，而的取值范围是；

③函数的图象过定点；

④方程有一个正实根，一个负实根，则；

⑤函数在上为减函数，则．

其中正确的个数是

A.个B.个C.个D.个

23.设，，均为正数，且，，．则

A.B.C.D.

24.已知奇函数在上是增函数．若，，，则，，的大小关系为

A.B.C.D.

25.已知，，，则，，的大小关系为

A.B.C.D.

26.下列函数中，在区间上为增函数的是

A.B.

C.D.

27.已知函数，则函数的零点个数为

A.B.C.D.

28.设，，，则

A.B.C.D.

29.若，则下列结论正确的是

A.B.

C.D.

30.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是

A.B.

C.D.

31.“”是“”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

32.函数的零点个数为

A.B.C.D.

33.函数在定义域内的零点的个数为

A.B.C.D.

34.函数的单调递减区间为

A.B.C.D.

35.已知函数（，且）在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是

A.B.

C.D.

36.设函数，．若实数，满足，，则

A.B.

C.D.

37.若定义在上的函数满足：

对任意的，都有，则称函数为“函数”．给出下列函数：

①；②；③；④其中函数是“函数”的个数是

A.B.C.D.

38.下列四个命题：

①””成立的充要条件是“”

②命题“若，则”的逆否命题是“若，则”

③设，是任意两个向量，则“”是“”的充分不必要条件

④把函数的图象上所以的点向右平移个单位即可得到函数的图象

其中正确命题的个数是

A.B.C.D.

39.若函数在区间上为减函数，则的取值范围是

A.B.C.D.

40.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有对，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

二、填空题（共40小题；共200分）

41.设全集，若，则集合 ．

42.函数的单调递减区间是 ．

43.函数的定义域是 ．

44.已知的单调区间为．

45.设集合，，则 ．

46.已知，则实数的取值范围是 ．

47.若函数有最小值，则实数的取值范围是 ．

48.已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则的值为 ．

49.函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 ．

50.函数的定义域是 .

51.已知，则的最小值为 ．

52.若，则实数的取值范围是 ．

53.已知函数，正实数，满足，且，若在区间上的最大值为，则 ．

54.设函数若，则函数的零点个数有 ．

55.已知函数，那么 ．

56.设，，，则，，的大小关系为 ．

57.已知函数，则是 ．（填“奇函数”“偶函数”“既是奇函数又是偶函数”或“非奇非偶函数”）

58.函数的单调递增区间是 .

59.对于函数定义域中任意的，（），有如下结论：

①；

②；

③；

④．

当时，上述结论中正确结论的序号是 ．

60.方程的解 ．

61.已知的单调增区间为 ．

62.如图所示，已知函数图象上的两点，和函数图象上的点，线段平行于轴，为正三角形时，点的横坐标为 ．

63.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ．

64.已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 ．

65.函数的图象可由的图象 变换得到．

66.若函数在上有，则在上的单调性是 ．

67.已知函数则 ．

68.函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ．

69.已知函数，关于的不等式的解集为，其中，为常数．当时，的取值范围是 ；当时，的值是 ．

70.已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是 .

71.已知、均为实数，为正数，点在圆上，其中，则的取值范围是 ．

72.已知函数，定义函数，给出下列命题：

①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点．

其中正确命题的是 ．（写出所有正确命题的编号）

73.如图，已知正方形的边长为，平行于轴，顶点，和分别在函数，和的图象上，则实数的值为 ．

74.已知，，，，是互不相同的正数，且，则的取值范围是 ．

75.若直角坐标平面内两点，满足条件：

①，都在函数的图象上；②，关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）．则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是 ．（填写所有正确选项的序号）

76.对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“同域函数”，区间为函数的一个“同域区间”．给出下列四个函数：

①；②；③；④．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是 请写出所有正确的序号）

77.已知，若对任意的，均存在使得，则实数的取值范围是 ．

78.设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为 ．

79.定义“正对数”：

现有下列四个命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，则；

④若，，则．

其中的真命题有 ．（写出所有真命题的编号）

80.已知函数，若函数有四个零点，，，，且，则的取值范围是 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.设全集为，集合，．

（1）求，；

（2）已知，若，求实数的取值范围．

82.已知关于的不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）若，求函数的最值．

83.设函数的定义域为，集合．

（1）若，求；

（2）若集合中恰有一个整数，求实数的取值范围．

84.已知函数．

（1）若，求函数的定义域；

（2）若函数的值域为，求实数的取值范围；

（3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

85.已知函数．

（1）证明：

函数在其定义域上是增函数；

（2）证明：

函数有且只有一个零点．

86.已知，求的值．

87.已知函数，，且时恒有成立，求实数，的值．

88.已知函数，求使其图象位于上方的的取值范围．

89.已知函数与的图象关于原点对称．

（1）写出的解析式；

（2）若函数为奇函数，试确定实数的值；

（3）当时，总有成立，求实数的取值范围．

90.已知函数，且．

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性并予以证明；

（3）当时，求使的的解集．

91.已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为．

（1）求的值；

（2）解不等式；

（3）求函数的单调区间．

92.设函数．

（1）求的定义域；

（2）判定的奇偶性．

93.函数的定义域为集合，集合．

（1）求，；

（2）若，且，求实数的取值范围．

94.已知函数

（1）求函数的定义域；

（2）求函数的零点；

（3）若函数的最小值为，求的值．

95.已知：

，且

（1）若函数为奇函数，求实数的值；

（2）求函数的定义域；

（3）若函数在上是单调增函数，求的取值范围．

96.已知且，函数．

（1）求的定义域及其零点；

（2）讨论并证明函数在定义域上的单调性；

（3）设，当时，若对任意存在，使得，求实数的取值范围．

97.已知，函数．

（1）当时，解不等式．

（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围．

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求的取值范围．

98.已知函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）是否存在实数，，当时，函数的值域是．若存在，求出实数，；若不存在，说明理由；

（3）令函数，当时，求函数的最大值．

99.已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）若，求实数的取值范围．

100.已知函数．

（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；

（2）若函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为．且时，不等式在上恒成立，求的最大值；

（3）当时，证明：

．

答案

第一部分

1.C【解析】由得且，

即函数的定义域为．

2.A【解析】提示：

；；．

3.B4.C【解析】由，得，

所以，

由，得，

所以．

5.D

6.A7.A【解析】函数在区间上是减函数，所以最大值为，最小值为，由题意得，解得．

8.C【解析】，，，．

9.C10.B

【解析】函数，令，在同一坐标系中作出，与，如图，

由图可得零点的个数为.

11.B【解析】，

所以．

12.C【解析】因为，，又是增函数，所以，，而，所以，故．

13.D【解析】因为，，，

所以．

14.B15.C

【解析】提示：

按的正负分类即可．

16.C【解析】因为是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，，都有，

所以函数是上的减函数，

因为，，，

所以，

所以．

17.D【解析】，设，则．它的对称轴方程为．

当时，在上单增，且，要使单增，只需即可，此时无解；

当时，在上单减，且，要使单增，只需，解得．

18.D【解析】因为在时单调递减，所以令且求单调递减区间，所以．

19.B【解析】设，则，因为，所以为减函数，所以由复合函数的单调性可知．又，，所以．综上，得．

20.C

【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且，

所以，即，

因为函数在区间上单调递增，

所以，即，

所以，解得，即的取值范围是．

21.B【解析】函数有零点，则，即，函数在上为减函数，所以．所以应为必要不充分条件．

22.C【解析】①函数，既是偶函数，又是奇函数，故①错误；

②若成立，则的取值范围是，故②错误；

③因为的图象恒过，所以的图象过定点，故③正确；

④方程有一个正实根，一个负实根，则即，故④正确；

⑤因为，，所以内函数为定义域上的减函数，要使函数在上为减函数，则即，故⑤正确．

所以正确的命题个数是个．

23.A【解析】正数是函数的图象与函数的图象的交点的横坐标；正数是函数的图象与函数的图象的交点的横坐标；正数是函数的图象与函数的图象的交点的横坐标．由下图可以得到．

24.C【解析】因为奇函数在上是增函数，

所以，，，

又，

所以，

即．

25.A

26.A【解析】对于A，函数在上为增函数，符合要求；对于B，函数在上为减函数，不符合要求；对于C，函数在上是减函数，不符合要求；对于D，函数在上为减函数，不符合要求．

27.C【解析】，

，

当时，函数有个零点；

当时，函数有个零点，

所以函数的零点个数为．

28.D29.C【解析】由已知得，

所以，

所以，

又

30.A

31.B32.B33.C【解析】由题意，设，如图所示，可知函数与函数有两个交点．

34.C【解析】的定义域为，根据复合函数单调性满足同增异减的性质，需求出的单调递减区间，综上得．

35.C

【解析】由在上递减，则，

又在上单调递减，则：

．

由图象可知，在上，有且仅有一个解，

故在上，有且仅有一个解，

当，即时，

由得，

则，解得：

或（舍），

当即时，由图象可知，符合条件．

综上：

．

36.C37.B【解析】由整理得，

，由单调性定义，可知“函数”为单调递增函数.所以对于①，在上不恒大于，所以不是"函数".对于②，恒成立.所以是"函数".对于③，由图象可知为"函数".对于④，由图象可知不是"函数"．

38.C【解析】对于①，，而，所以不是充要条件，对于②，逆否命题应为“若，则"，所以②不正确，对于③，”“还可能推出或为零向量，所以为充分不必要条件，③正确，对于④，函数的平移向右平移个单位，所得解析式，所以④正确

39.C【解析】因为是开口向上的抛物线，

且在为减函数，

所以，

因此，令，

解得．

40.A

【解析】函数的图象上关于轴对称的点至少有对．即与至少有三个交点．所以．当时，．所以时，最大，此时．

第二部分

41.

【解析】，，所以，故．

42.

43.

【解析】由题意得

解得．

44.

45.

46.

【解析】由题意得或解得或．综上所述，．

47.

【解析】提示：

因为函数有最小值，所以解得．

48.

49.

50.

【解析】由，得，即．

所以函数的定义域是．

51.

【解析】由题意，，所以，所以，当，时取得最小值．

52.

【解析】若，则或解得，故实数的取值范围是．

53.

【解析】由题意知，且．由在上的最大值为，解得，

所以，从而．

54.

【解析】由，解得．因为函数的图象与函数的图象有个交点，所以函数有个零点．

55.

【解析】因为，所以，又，互为相反数，所以所求值为．

56.

【解析】因为，，，所以，即．又，所以．

57.奇函数

【解析】

58.

【解析】由得的定义域是，

令，由于函数的对称轴为轴，开口向上，

所以在上递减，在递增，

又由函数是定义域内的减函数．

所以原函数在上递増．

59.②③

【解析】①；

②；

③在单调递增，

则对任意的，都有，即；

④，，

因为，

所以．

60.

【解析】由，得：

即

解得：

．

61.

【解析】提示：

利用复合函数的单调性，注意函数的定义域．

62.

【解析】依题意，当轴，为正三角形时，，

点到直线的距离为，

设点，则点．

由点在函数的图象上，得，

则，，即点的横坐标是．

63.

【解析】因为恒成立，所以解得．

64.

【解析】当时，，

所以，解得，

所以．

65.向上平移个单位长度

【解析】，

所以的图象向上平移个单位长度可得到的图象．

66.增函数

【解析】因为，所以．又，所以．因为在上为减函数，为减函数，由复合函数单调性知为增函数．

67.

【解析】由已知得，，且，

所以

68.

【解析】令，则．

由题意可知，故函数在上为减函数．

再根据在上为减函数，

可知解得．

69.，

【解析】

（1）当时，

①时，不等式即，如图

（1），

即求上时图象上的点与点连线的斜率的最小值，

易知，当时，斜率趋近于，

所以；

②时，，

同理，求时图象上的点与点连线的斜率的最大值，

由的图象性质可知，当时，斜率变大，，

所以在点处的切线斜率为，于是．

③当时，对任意恒成立．

因此，时，的取值范围为．

（2）当时，

①时，，

如图

（2），求上时图象上的点与点连线的斜率的最小值，

当时，斜率趋近于最小值，在点处的切线斜率为，

所以；

②时，同理可得.

③当时，对任意恒成立．

综上，可得.

70.

【解析】由函数在上单调递减得，，，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，，因此的取值范围是.

71.

【解析】因为为正数，

所以或如下图所示：

依题意可知，圆与阴影部分有交点，

所以且．

72.②③④

【解析】，当时，，，所以当时，，所以命题①不正确；由题意可得

所以函数是偶函数，所以命题②正确；若，有，当时，函数在上是单调递增，所以当，有成立；所以命题③正确；函数恒过定点，又因为函数是偶函数，所以函数有个零点；所以命题④正确；

73.

【解析】设，

因为平行于轴，

所以即，

所以，

所以，解得．

由已知，垂直于轴，

所以，，即，

所以．

74.

【解析】函数的图象如下图所示：

若，，，互不相同，且，

不妨令，

则，，

则，即，

则，

由得，

得或，

同时，，

因为，关于对称，所以，

则，

同时，

因为，

所以当时，，

当时，，

所以，

即．

75.

【解析】对于①，画出此函数的图象，再画出当时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，

由图可得“伙伴点组”只有一个；

对于②，画出此函数的图象，再画出当时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，

由图可得“伙伴点组”只有两个；

对于③，画出此函数的图象，再画出当时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，

由图可得“伙伴点组”只有两个；

对于④，画出此函数的图象，再画出当时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，

由图可得“伙伴