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1、习题集含详解高中数学题库高考专点专练之37对数函数及其性质【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之37对数函数及其性质 一、选择题（共40小题；共200分）1. 函数 的定义域是 A. B. C. D. 2. 设 ，则 A. B. C. D. 3. 已知 ，则 A. B. C. D. 4. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 5. 设 ， ， ，则 A. B. C. D. 6. 已知 ，函数 的定义域为 ，集合 ，则 A. B. C. D. 7. 若函数 在区间 上的最大值是最小值的 倍，则 A. B. C. D. 8. 设 ，则 A. B. C. D. 9. 函数 的反函数是 A. B

2、. C. D. 10. 函数 的零点个数为 A. B. C. D. 11. 已知函数 ，则 A. B. C. D. 12. 已知 ，则 A. B. C. D. 13. 设 ，则这三个数的大小关系是 A. B. C. D. 14. 函数 若 是方程 三个不同的根，则 的范围是 A. B. C. D. 15. 设函数 若 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 16. 已知 为定义在 上的函数，若对任意两个不相等的正数 ，都有 ，记 ，则 A. B. C. D. 17. 已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象关于直线 对称，记 若 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 A. B. C

3、. D. 18. 函数 的单调递增区间是 A. B. C. D. 19. 已知 在 上为减函数，则 的取值范围是 A. B. C. D. 20. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满足 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 21. 已知 ，“函数 有零点”是“函数 在 上为减函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 22. 给出下列五个命题： 函数 是偶函数，但不是奇函数； 若 成立，而 的取值范围是 ； 函数 的图象过定点 ； 方程 有一个正实根，一个负实根，则 ； 函数 在 上为减函数，则 其中正确的

4、个数是 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 23. 设 ， 均为正数，且 ，则 A. B. C. D. 24. 已知奇函数 在 上是增函数若 ，则 ， 的大小关系为 A. B. C. D. 25. 已知 ，则 ， 的大小关系为 A. B. C. D. 26. 下列函数中，在区间 上为增函数的是 A. B. C. D. 27. 已知函数 ，则函数 的零点个数为 A. B. C. D. 28. 设 ，则 A. B. C. D. 29. 若 ，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 30. 已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是 A. B. C. D. 31. “”是“”的 A. 充分不必

5、要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 32. 函数 的零点个数为 A. B. C. D. 33. 函数 在定义域内的零点的个数为 A. B. C. D. 34. 函数 的单调递减区间为 A. B. C. D. 35. 已知函数 （，且 ）在 上单调递减，且关于 的方程 恰好有两个不相等的实数解，则 的取值范围是 A. B. C. D. 36. 设函数 ，若实数 ， 满足 ，则 A. B. C. D. 37. 若定义在 上的函数 满足：对任意的 ，都有 ，则称函数 为“ 函数”给出下列函数： ； ； ； 其中函数 是“ 函数”的个数是 A. B. C. D

6、. 38. 下列四个命题： ”成立的充要条件是“” 命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ” 设 ， 是任意两个向量，则“”是“”的充分不必要条件 把函数 的图象上所以的点向右平移 个单位即可得到函数 的图象 其中正确命题的个数是 A. B. C. D. 39. 若函数 在区间 上为减函数，则 的取值范围是 A. B. C. D. 40. 已知函数 的图象上关于 轴对称的点至少有 对，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共40小题；共200分）41. 设全集 ，若 ，则集合 42. 函数 的单调递减区间是 43. 函数 的定义域是 44. 已知 的单调区间为 45.

7、设集合 ，则 46. 已知 ，则实数 的取值范围是 47. 若函数 有最小值，则实数 的取值范围是 48. 已知函数 是定义在 上且周期为 的偶函数，当 时，则 的值为 49. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为 50. 函数 的定义域是 . 51. 已知 ，则 的最小值为 52. 若 ，则实数 的取值范围是 53. 已知函数 ，正实数 ， 满足 ，且 ，若 在区间 上的最大值为 ，则 54. 设函数 若 ，则函数 的零点个数有 55. 已知函数 ，那么 56. 设 ，则 ， 的大小关系为 57. 已知函数 ，则 是 （填“奇函数”“偶函数”“既是奇函数

8、又是偶函数”或“非奇非偶函数”） 58. 函数 的单调递增区间是 . 59. 对于函数 定义域中任意的 ，（），有如下结论： ； ； ； 当 时，上述结论中正确结论的序号是 60. 方程 的解 61. 已知 的单调增区间为 62. 如图所示，已知函数 图象上的两点 ， 和函数 图象上的点 ，线段 平行于 轴， 为正三角形时，点 的横坐标为 63. 若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是 64. 已知函数 的图象恒过定点 ，若点 也在函数 的图象上，则 65. 函数 的图象可由 的图象 变换得到 66. 若函数 在 上有 ，则 在 上的单调性是 67. 已知函数 则 68. 函数 在 上为

9、减函数，则实数 的取值范围是 69. 已知函数 ，关于 的不等式 的解集为 ，其中 ， 为常数当 时， 的取值范围是 ；当 时， 的值是 70. 已知函数 （ 且 ） 在 上单调递减，且关于 的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是 . 71. 已知 、 均为实数， 为正数，点 在圆 上，其中 ，则 的取值范围是 72. 已知函数 ，定义函数 ，给出下列命题： ；函数 是偶函数；当 时，若 ，则有 成立；当 时，函数 有 个零点 其中正确命题的是 （写出所有正确命题的编号） 73. 如图，已知正方形 的边长为 ， 平行于 轴，顶点 ， 和 分别在函数 ， 和 的图象上，则实数 的值为

10、74. 已知 ， 是互不相同的正数，且 ，则 的取值范围是 75. 若直角坐标平面内两点 ， 满足条件： ， 都在函数 的图象上； ， 关于原点对称，则称 是函数 的一个“伙伴点组”（点组 与 看作同一个“伙伴点组”）则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是 （填写所有正确选项的序号） 76. 对于函数 ，若存在区间 ，使得 ，则称函数 为“同域函数”，区间 为函数 的一个“同域区间”给出下列四个函数： ； ； ； 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是 请写出所有正确的序号） 77. 已知 ，若对任意的 ，均存在 使得 ，则实数 的取值范围是 78. 设 ，若仅有一个常数 使得对于任意的

11、，都有 满足方程 ，这时 的取值的集合为 79. 定义“正对数”： 现有下列四个命题： 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 其中的真命题有 （写出所有真命题的编号） 80. 已知函数 ，若函数 有四个零点 ，且 ，则 的取值范围是 三、解答题（共20小题；共260分）81. 设全集为 ，集合 ，（1）求 ，；（2）已知 ， 若 ，求实数 的取值范围 82. 已知关于 的不等式 的解集为 （1）求集合 ；（2）若 ，求函数 的最值 83. 设函数 的定义域为 ，集合 （1）若 ，求 ；（2）若集合 中恰有一个整数，求实数 的取值范围 84. 已知函数 （1）若 ，求函数 的定义域

12、；（2）若函数 的值域为 ，求实数 的取值范围；（3）若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围 85. 已知函数 （1）证明：函数 在其定义域上是增函数；（2）证明：函数 有且只有一个零点 86. 已知 ，求 的值 87. 已知函数 ，且 时恒有 成立，求实数 ， 的值 88. 已知函数 ，求使其图象位于 上方的 的取值范围 89. 已知函数 与 的图象关于原点对称（1）写出 的解析式；（2）若函数 为奇函数，试确定实数 的值；（3）当 时，总有 成立，求实数 的取值范围 90. 已知函数 ， 且 （1）求 的定义域；（2）判断 的奇偶性并予以证明；（3）当 时，求使 的 的解集 91.

13、 已知 ， 且 ，若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 （1）求 的值；（2）解不等式 ；（3）求函数 的单调区间 92. 设函数 （1）求 的定义域；（2）判定 的奇偶性 93. 函数 的定义域为集合 ，集合 （1）求 ，；（2）若 ，且 ，求实数 的取值范围 94. 已知函数 （1）求函数 的定义域；（2）求函数 的零点；（3）若函数 的最小值为 ，求 的值 95. 已知：， 且 （1）若函数 为奇函数，求实数 的值；（2）求函数 的定义域；（3）若函数 在 上是单调增函数，求 的取值范围 96. 已知 且 ，函数 （1）求 的定义域 及其零点；（2）讨论并证明函数 在定义域 上的单调

14、性；（3）设 ，当 时，若对任意 存在 ，使得 ，求实数 的取值范围 97. 已知 ，函数 （1）当 时，解不等式 （2）若关于 的方程 的解集中恰有一个元素，求 的取值范围（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值和最小值的差不超过 ，求 的取值范围 98. 已知函数 是奇函数（1）求实数 的值；（2）是否存在实数 ，当 时，函数 的值域是 若存在，求出实数 ，；若不存在，说明理由；（3）令函数 ，当 时，求函数 的最大值 99. 已知函数 （1）求函数 的定义域；（2）判断函数 的奇偶性；（3）若 ，求实数 的取值范围 100. 已知函数 （1）若函数 在区间 上为增函数，求 的取值

15、范围；（2）若函数 的图象在点 （ 为自然对数的底数）处的切线斜率为 且 时，不等式 在 上恒成立，求 的最大值；（3）当 时，证明：答案第一部分1. C 【解析】由 得 且 ，即函数 的定义域为 2. A 【解析】提示：；3. B 4. C 【解析】由 ，得 ，所以 ，由 ，得 ，所以 5. D 6. A 7. A 【解析】函数 在区间 上是减函数，所以最大值为 ，最小值为 ，由题意得 ，解得 8. C 【解析】，9. C 10. B 【解析】函数 ，令 ，在同一坐标系中作出 ，与 ，如图，由图可得零点的个数为 .11. B 【解析】 ，所以 12. C 【解析】因为 ，又 是增函数，所以

16、，而 ，所以 ，故 13. D 【解析】因为 ，所以 14. B 15. C 【解析】提示：按 的正负分类即可16. C 【解析】因为 是定义在 上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有 ，所以函数 是 上的减函数，因为 ，所以 ，所以 17. D 【解析】，设 ，则 它的对称轴方程为 当 时， 在 上单增，且 ，要使 单增，只需 即可，此时无解；当 时， 在 上单减，且 ，要使 单增，只需 ，解得 18. D 【解析】因为 在 时单调递减，所以令 且求 单调递减区间，所以 19. B 【解析】设 ，则 ，因为 ，所以 为减函数，所以由复合函数的单调性可知 又 ，所以 综上，得 20. C 【

17、解析】因为函数 是定义在 上的偶函数，且 ，所以 ，即 ，因为函数在区间 上单调递增，所以 ，即 ，所以 ，解得 ，即 的取值范围是 21. B 【解析】函数 有零点，则 ，即 ，函数 在 上为减函数，所以 所以应为必要不充分条件22. C 【解析】 函数 ，既是偶函数，又是奇函数，故 错误； 若 成立，则 的取值范围是 ，故错误； 因为 的图象恒过 ，所以 的图象过定点 ，故正确； 方程 有一个正实根，一个负实根，则 即 ，故 正确； 因为 ，所以内函数 为定义域上的减函数，要使函数 在 上为减函数，则 即 ，故 正确所以正确的命题个数是 个23. A 【解析】正数 是函数 的图象与函数 的

18、图象的交点的横坐标；正数 是函数 的图象与函数 的图象的交点的横坐标；正数 是函数 的图象与函数 的图象的交点的横坐标由下图可以得到 24. C 【解析】因为奇函数 在 上是增函数，所以 ，又 ，所以 ，即 25. A 26. A 【解析】对于A，函数 在 上为增函数，符合要求；对于B，函数 在 上为减函数，不符合要求；对于C，函数 在 上是减函数，不符合要求；对于D，函数 在 上为减函数，不符合要求27. C 【解析】， ，当 时，函数 有 个零点；当 时，函数 有 个零点，所以函数 的零点个数为 28. D 29. C 【解析】由已知得 ，所以 ，所以 ，又 30. A 31. B 32.

19、 B 33. C 【解析】由题意，设 ， 如图所示，可知函数 与函数 有两个交点34. C 【解析】 的定义域为 ，根据复合函数单调性满足同增异减的性质，需求出 的单调递减区间，综上得 35. C 【解析】由 在 上递减，则 ，又 在 上单调递减，则：由图象可知，在 上， 有且仅有一个解，故在 上， 有且仅有一个解，当 ，即 时，由 得 ，则 ，解得： 或 （舍），当 即 时，由图象可知，符合条件综上：36. C 37. B 【解析】由 整理得， ，由单调性定义，可知“ 函数”为单调递增函数.所以对于， 在 上不恒大于 ，所以 不是 函数.对于， 恒成立.所以 是 函数.对于，由图象可知为 函

20、数.对于，由图象可知不是 函数38. C 【解析】对于，而 ，所以不是充要条件，对于，逆否命题应为“若 ，则 ，所以不正确，对于，”“还可能推出 或 为零向量，所以为充分不必要条件，正确，对于，函数 的平移向右平移 个单位，所得解析式 ，所以正确39. C 【解析】因为 是开口向上的抛物线，且 在 为减函数，所以 ，因此，令 ，解得 40. A 【解析】函数 的图象上关于 轴对称的点至少有 对即 与 至少有三个交点所以 当 时，所以 时， 最大，此时 第二部分41. 【解析】，所以 ，故 42. 43. 【解析】由题意得 解得 44. 45. 46. 【解析】由题意得 或 解得 或 综上所述，

21、47. 【解析】提示：因为函数 有最小值，所以 解得 48. 49. 50. 【解析】由 ，得 ，即 所以函数 的定义域是 51. 【解析】由题意，所以，所以，当，时取得最小值52. 【解析】若 ，则 或 解得 ，故实数 的取值范围是 53. 【解析】由题意知 ， 且 由 在 上的最大值为 ，解得 ，所以 ，从而 54. 【解析】由 ，解得 因为函数 的图象与函数 的图象有 个交点，所以函数 有 个零点55. 【解析】因为 ，所以 ，又 ， 互为相反数，所以所求值为 56. 【解析】因为 ，所以 ，即 又 ，所以 57. 奇函数【解析】58. 【解析】由 得 的定义域是 ，令 ，由于函数 的对

22、称轴为 轴，开口向上，所以 在 上递减，在 递增，又由函数 是定义域内的减函数所以原函数在 上递増59. 【解析】 ； ； 在 单调递增，则对任意的 ，都有 ，即 ； ，因为 ，所以 60. 【解析】由 ，得： 即 解得：61. 【解析】提示：利用复合函数的单调性，注意函数的定义域62. 【解析】依题意，当 轴， 为正三角形时，点 到直线 的距离为 ，设点 ，则点 由点 在函数 的图象上，得 ，则 ，即点 的横坐标是 63. 【解析】因为 恒成立，所以 解得 64. 【解析】当 时，所以 ，解得 ，所以 65. 向上平移 个单位长度【解析】，所以 的图象向上平移 个单位长度可得到 的图象66.

23、 增函数【解析】因为 ，所以 又 ，所以 因为 在 上为减函数， 为减函数，由复合函数单调性知 为增函数67. 【解析】由已知得，且 ， 所以 68. 【解析】令 ，则 由题意可知 ，故函数 在 上为减函数再根据 在 上为减函数，可知 解得 69. ，【解析】（1）当 时， 时，不等式即 ，如图（1），即求 上 时图象上的点与点 连线的斜率的最小值，易知，当 时，斜率趋近于 ，所以 ； 时，同理，求 时图象上的点与点 连线的斜率的最大值，由 的图象性质可知，当 时，斜率变大，所以 在点 处的切线 斜率为 ，于是 当 时， 对任意 恒成立因此， 时， 的取值范围为 （2）当 时， 时，如图（2）

24、，求 上 时图象上的点与点 连线的斜率的最小值，当 时，斜率趋近于最小值， 在点 处的切线 斜率为 ，所以 ； 时，同理可得 .当 时， 对任意 恒成立综上，可得 .70. 【解析】由函数 在 上单调递减得 ，又方程 恰有两个不相等的实数解，所以 ，因此 的取值范围是 .71. 【解析】因为 为正数，所以 或 如下图所示：依题意可知，圆 与阴影部分有交点，所以 且 72. 【解析】，当 时，所以当 时，所以命题不正确；由题意可得 所以函数 是偶函数，所以命题正确；若 ，有 ，当 时，函数 在 上是单调递增，所以当 ，有 成立；所以命题正确；函数 恒过定点 ，又因为函数 是偶函数，所以函数 有

25、个零点；所以命题正确；73. 【解析】设 ，因为 平行于 轴，所以 即 ，所以 ，所以 ，解得 由已知， 垂直于 轴，所以 ，即 ，所以 74. 【解析】函数 的图象如下图所示：若 ， 互不相同，且 ，不妨令 ，则 ，则 ，即 ，则 ，由 得 ，得 或 ，同时 ，因为 ， 关于 对称，所以 ，则 ，同时 ，因为 ，所以当 时，当 时，所以 ，即 75. 【解析】对于，画出此函数的图象，再画出当 时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当 时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，由图可得“伙伴点组”只有一个；对于，画出此函数的图象，再画出当 时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当 时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，由图可得“伙伴点组”只有两个；对于，画出此函数的图象，再画出当 时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当 时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，由图可得“伙伴点组”只有两个；对于，画出此函数的图象，再画出当 时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当 时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，由图可得“伙伴