河南省中招考试数学试题及答案.docx

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河南省中招考试数学试题及答案

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2013 年河南省中招考试数学试卷

一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1．-2 的相反数是（）

（A）2        （B）-|-2|          （C）  1

2（D） -

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

1

2

3．方程（x-2）（x+3）=0 的解是（）

（A）x=2（B）x=-3（C） x = -2 ， x = 3（D） x = 2 ， x = -3

1212

4．在一次体育测试中，小芳所在小组8 人的成绩分别是：

46，47，48，48，49，49，49，

50，则这 8 人体育成绩的中位数是（）

（A）47（B）48（C）48.5（D）49

5．如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个

”

数字，那么在原正方体中，与数字“2相对的面上的数字是

（）

（A）1（B）4（C）5（D）6

⎩  x + 2 > 1

⎧ x ≤ 2

6．不等式组 ⎨

的最小整数解为（     ）

（A）-1

（B）0     （C）1     （D）2

7．如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 G，直线

EF 与⊙O 相切于点 D，则下列结论中不一定正确的是

（）

（A）AG=BG（B）AB∥EF

（C）AD∥BC  （D）∠ABC=∠ADC

8．在二次函数 y = - x 2 + 2 x + 1 的图象中，若 y 随着 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是

（）

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11．化简：

  1

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（A）x＜1（B）x＞1（C）x＜-1（D）x＞-1

二、填空题（每小题 3 分，共 21 分）

9．计算 -3 - 4 =__________．

10．将一副直角三角板 ABC 和 EDF 如图放置（其中

∠A=60°，∠F=45°），使点 E 落在 AC 边上，且 ED∥BC，

则 CEF 的度数为=__________．

1

-=__________．

xx（ x - 1）

12．已知扇形的半径为 4cm，圆心角为 120°，则此扇形的弧长是__________cm．

13．现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字-1，-2，3，4，把卡片背面朝上洗匀，

然后从中随机抽取两张，则这四张卡片上的数字之积为负数的概率是__________．

14．如图，抛物线的顶点为 P（-2，2），与 y 轴交于点

A（0，3），若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P'

（2，-2），点 A 的对应点为 A'，则抛物线上 PA 段扫过

的区域（阴影部分）的面积为__________．

15．如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是 BC

边上一点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B'处

，当△CEB'为直角三角形时，BE 的长为__________．

三、解答题（本大题共 8 个小题，满分为 75 分）

16．（8 分）先化简，再求值：

 （ x + 2）2 + （2 x + 1）（2x - 1） - 4 x（ x + 1） ，其中 x = - 2 ．

17．（9 分）从 2013 年 1 月 7 日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气，某市记者

为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了

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如下尚不完整的统计图表．

请根据图表中提供的信息解答下列问题：

（ 1 ） 填 空 ：

 m=__________ ， n=__________. 扇 形 统 计 图 中 E 组 所 占 的 百 分 比 为

__________%；

（2）若该市人中约有 100 万人，请你估计其中持 D 组“观点”的市民人数；

（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C 组“观点”的概率是多少？

18．（9 分）如图，在等边三角形 ABC 中，BC=6cm

，射线 AC∥BC，点 E 从点 A 出发沿射线 AC 以 1cm/s

的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm/s

的速度运动，设运动时间为 t（s）．

（1）连接 EF，当 EF 经过 AC 边的中点 D 时，求证：

△ADE≌△CDF；

（2）填空：

①当 t 为__________s 时，四边形 ACFE 是菱形；

②当 t 为__________s 时，以 A、F、C、E、为顶点的四边形是直角梯形.

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19．（9 分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大

坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的 162 米增加到 176.6 米，以抬高蓄水位，如图是某一

段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为 BE，背水坡坡角∠BAC=68°。

新坝体的高

为 DE，背水坡坡角∠DCE=60°。

求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC（结果精

确到 0.1 米，参考数据：

sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，3 =1.73）．

20．（9 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x

轴和 y 轴上，点 B 的坐标为（2，3），双曲线 y = k

x

（ x > 0）

的图象经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接 DE。

（1）求 k 的值及点 E 的坐标；

（2）若点 F 是 OC 边上的一点，且△FBC∽△DEB，

求直线 FB 的解析式．

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21．（10 分）某文具商店销售功能相同的 A、B 两种品牌的计算器，购买 2 个 A 品牌和 3

个 B 品牌的计算器共需 156 元；购买 3 个 A 品牌和 1 个 B 品牌的计算器共需 122 元。

（1）求这两种品牌计算器的单价；

A

（2）学校开学前夕，该商店对这两对计算器开展了促销活动，具体办法如下：

 品牌计算

器按原价的八折销售，B 品牌计算器 5 个以上超出部分按原价的七折销售，设购买 x 个 A 品

牌的计算器需要 y 元，购买 x 个 B 品牌的计算器需要 y 元，分别求出 y ， y 关于 x 的函数

1212

关系式；

（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过 5

个，购买哪种品牌的计算器更合算？

请说明理由．

（

22． 10 分）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC5 重合放置，其中∠C=90°，

∠B=∠E=30°。

（1）操作发现

如图 

、固定ABC，使△DEC 绕点 C 旋转，

当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：

①线段 DE 与 AC 的位置关系是_________；

②设△BDC 的面积为 S ，△AEC 的面积为 S ，则 S 与 S 的数量关系是__________；

1212

（2）猜想论证

当△DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时，小明猜想

（1）

中 S 与 S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△

12

AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点 D 是其角平分线上一点，BD=CD=4,

DE∥AB 交 BC 于点 E（如图 4），若在射线上存在点 F，使 S

∆DCF

= S

．．．．

∆BDE ，请直接写出相应

的 BF 的长．

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23．（11 分）如图，抛物线 y = - x2 + bx + c 与直线 y =

1

2

x + 2 交于 C、D 两点，其中点

（3）若存在点 P，使∠PCF=45°，请直接写

出相应的点 P 的坐标．

7

C 在 y 轴上，点 D 的坐标为（3，），点 P 是 y 轴右侧的抛物线上的一动点，过点 P 作 PE⊥x

2

轴于点 E，交 CD 于点 F。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 P 的横坐标为 m，当 m 为何值时，

以 O、C、P、F 为顶点的四边形是平形四边形？

请说明理由．

．．．

．

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2013 年河南省中招考试数学试卷（答案）

一、选择题（每题 3 分，共 24 分）

题号

答案

1

A

2

D

3

D

4

C

5

B

6

B

7

C

8

A

二、填空题（每题 3 分，共 21 分）

题号

9

10

11       12       13       14

15

答案

1

15

1

x - 1

8π

3

2

3

12

3

2

或 3

三、解答题（共 8 题，共 75 分）

16.（8 分）

原式= x2 + 4 x + 4 + 4 x2 - 1 - 4 x2 - 4 x = x2 + 3 ，∴当 x = - 2 时，原式= （- 2） 2 + 3 = 5

17.（9 分）

（1）40，100，15；

（2）持 D 组“观点”的市民人数约为；100 ⨯

1001

=

（3）持 C 组“观点”的概率为

4004

120

80 + 40 + 100 + 120 + 60

；

= 30 （万人）

18.（9 分）

（1）证明：

∵D 为中点，∴AD=DC

∵AG∥BC，∴∠EAC=∠ACF，∠AEF=∠EFC，∴△ADE≌△CDF

（2）①6；②

19.（9 分）

3

2

在 

BAE 中，∠BAE=68°，BE=162 米，∴AE=

BE     162

；

≈     = 64.80 （米）

tan ∠BAE  2.50

在 

DCE 中，∠DCE=60°，DE=176.6 米，∴CE=

DE     176.6

=      ≈ 102.08 （米）；

tan ∠DCE    3

∴AC=CE-AE=102.08-64.80=37.28=37.3（米）

即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC 约为 37.3 米.

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【说明：

AC 的计算结果在 37.0 至 37.6 之间均可】

20.（9 分）

（1）在矩形 OABC 中，∵B 点坐标为（2，3），∴BC 边中点 D 的坐标为（1，3）

又∵双曲线 y =

k                    k

经过点 D（1，3），∴ 3 = ，∴k=3

x                    1

∵E 点在 AB 上，∴E 点的横坐标为 2

又∵ y =

3                     3                 3

经过点 E， ∴E 点纵坐标为  ，∴E 点坐标为（2，  ）

x                     2                 2

（2）由

（1）得 BD=1，BE=

3

2

，CB=2

=            = 2 ，∴CF=，∴OF=，即点 F（0，）

∵△FBC∽△DEB，∴

CF  CB CF  2 3       3           3

，即

BD  BE 1 4       5           5

3

3

∴ ⎨ 5       ，∴ k  = ， b = ，∴直线 FB 的解析式为 y = x +

⎪⎩ 3 = b

5

设直线 FB 的解析式为 y = k x + b ，而直线 FB 经过 B（2，3），F（0，）

1

⎧3 = 2k + b

⎪12525

13333

21.（10 分）

（1）设 A 品牌计算器的单价为 x 元，B 品牌计算器的单价为 y 元。

则有

⎩3x + y = 122    ⎩  y = 32

⎧2 x + 3 y = 156⎧ x = 30

⎨，∴ ⎨

，即 A、B 两种品牌计算器的单价分别为 30 元和 32 元。

（2）根据题意得：

 y = 0.8 ⨯ 30 x ，即 y = 24 x

11

当 0 ≤ x ≤ 5 时， y = 32 x ；当 x > 5 时， y = 32 ⨯ 5 + 32（ x - 5） ⨯ 0.7 ，即 y = 22.4 x + 48

222

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【说明：

若把“ 0 ≤ x ≤ 5 ”写成“ x ≤ 5 ”，不扣分】

（2）当购买数量超过 5 个时， y = 22.4 x + 48

2

①当 y < y 时， 24 x < 22.4x + 48 ，∴ x < 30

12

即当购买数量超过 5 个而不足 30 个时，购买 A 品牌的计算器更合算；

②当 y = y 时， 24 x = 22.4x + 48 ，∴ x = 30

12

即当购买数量为 30 个时，购买 A 品牌与 B 品牌的计算器花费相同；

③当 y > y 时， 24 x > 22.4x + 48 ，∴ x > 30

12

即当购买数量超过 30 个时，购买 B 品牌的计算器更合算.

22.（10 分）

（1）①DE∥AC；② S = S

1

2

（2）证明：

∵∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCM+∠ACE=180°

又∵∠ACN+∠ACE=180°，∴∠ACN=∠DCM

又∵∠CNA=∠CMD=90°，AC=CD，∴△ANC≌△DMC，

∴AN=DM，又∵CE=CB，∴ S = S

1

2

3     3

（3）

4     8

3 或  3 ， 【提示】如图所示，作 DF ∥BC 交 BA 于点 F ，作 DF ⊥BD 交 BA

1 1 2

于点 F ， BF、BF 即为所求

212

23.（11 分）

（1）∵直线 y =

1

2

x + 2 经过 C，∴C 点坐标为（0，2）

7

∵抛物线 y = - x2 + bx + c 经过 C（0，2）和 D（3，）

2

⎪⎩ 2 = 3

⎪⎩b = 2

⎧2 = c⎧c = 2

⎪⎪

∴ ⎨ 7，∴ ⎨7 ，∴抛物线的解析式为

2 + 3b + c

7

y = - x2 +  x + 2

2

（ 2）∵P 点横坐标为 m ，∴P（ m ， -m2 +

7              1

，

m + 2 ） F（ m ， m + 2 ）

2              2

∵PF∥CO，∴ 当 PF=CO 时，以 O、C、P、F 为定点的四边形为平行四边形

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∴ m2 - 3m = 2 ，解得：

 m  =  3 +   17

2           2

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m + 2 - （

①当 0 < m < 3 时， PF = -m2 + 71 m + 2） = -m2 + 3m

22

∴ -m2 + 3m = 2 ，解得：

 m = 1， m = 2 ， 即当 m = 1或2 时，OCPF 为平行四边形.

12

17

②当 m ≥ 3 时， PF = （ m + 2） - （-m2 +m + 2） = m2 - 3m

22

3 - 17

， m =（舍去）

12

即当 m = 3 + 17

2

时，四边形 OCPF 为平行四边形.

（3）点 P 的坐标为（  1

△PMF∽△CNF，从而  PM

=    =    = 2 ，∴PM=CM=2CF，

72313

，）或（，）

22618

①当 0 < m < 3 时，点 P 在 CD 上方且∠PCF=45°，

作 PM⊥CD 于 M，CN⊥PF 于 N，则：

CNm

MFFN1

m

2

∴PF= 5 FM= 5 CF= 5 ⨯

5     5    5

CN = CN = m

2     2    2

又∵PF= -m2 + 3m ，∴ -m2 + 3m =

5

2

m ，

2                            2  2

解得：

 m =

1

1                            1  7

， m = 0 （舍去），∴P 的坐标为（ ， ）

2

②当 m > 3 时，点 P 在 CD 下方且∠FCP=45°，作 PM⊥CD 于 M，CN⊥PF 于 N，则：

1             5

FM  FN

△PMF∽△CNF，从而

MP  CN   m 5

=    =    = 2 ，∴FM=

m

2

FP

∵∠MCP=45°，∴CM=MP=

2 5                 3 5

FP ，∴FC=FM+MC=   FP

5                    5

又∵FC=

53  55

252

5                                   5

CN = m ， ∴有    FP =   m ， FP = m

2                                    6

175

又∵ FP = （ m + 2） - （-m2 +m + 2） = m2 - 3m ，∴ m = m2 - 3m

226

解得：

 m =

1

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23

6

， m = 0 （舍去）

2

∴P 的坐标为（  23

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13

，）

618

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