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第二章第二章控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型控制工程基础控制工程基础二、控制系统的运动微分方二、控制系统的运动微分方二、控制系统的运动微分方二、控制系统的运动微分方程程程程三、非线性系统数学模型的线性三、非线性系统数学模型的线性三、非线性系统数学模型的线性三、非线性系统数学模型的线性化化化化四、拉氏变换和拉氏反变四、拉氏变换和拉氏反变四、拉氏变换和拉氏反变四、拉氏变换和拉氏反变换换换换五、传递函数以及典型环节的传递函数五、传递函数以及典型环节的传递函数五、传递函数以及典型环节的传递函数五、传递函数以及典型环节的传递函数六、系统函数方框图和信号流图六、系统函数方框图和信号流图六、系统函数方框图和信号流图六、系统函数方框图和信号流图七、控制系统传递函数推导举七、控制系统传递函数推导举七、控制系统传递函数推导举七、控制系统传递函数推导举例例例例九、小结九、小结九、小结九、小结一、系统数学模型的基本概念一、系统数学模型的基本概念一、系统数学模型的基本概念一、系统数学模型的基本概念第二章第二章控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型八、系统数学模型的八、系统数学模型的八、系统数学模型的八、系统数学模型的MATLABMATLABMATLABMATLAB实现实现实现实现本章要熟悉下列内容：

本章要熟悉下列内容：

第二章第二章控制系统的控制系统的动态数学模型动态数学模型建立基本环节（质量建立基本环节（质量建立基本环节（质量建立基本环节（质量-弹簧弹簧弹簧弹簧-阻尼系统、电路阻尼系统、电路阻尼系统、电路阻尼系统、电路网络和电机）的网络和电机）的网络和电机）的网络和电机）的数学模型数学模型数学模型数学模型及模型的及模型的及模型的及模型的线性化线性化线性化线性化重要的分析工具：

重要的分析工具：

拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换经典控制理论的数学基础：

经典控制理论的数学基础：

传递函数传递函数传递函数传递函数控制系统的图形表示：

控制系统的图形表示：

方块图方块图方块图方块图及信号流图及信号流图及信号流图及信号流图建立实际机电系统的传递函数及方块图建立实际机电系统的传递函数及方块图建立实际机电系统的传递函数及方块图建立实际机电系统的传递函数及方块图系统数学模型的系统数学模型的系统数学模型的系统数学模型的MATLABMATLABMATLABMATLAB实现实现实现实现建建建建立立立立控控控控制制制制系系系系统统统统的的的的数数数数学学学学模模模模型型型型，并并并并在在在在此此此此基基基基础础础础上上上上对对对对控控控控制制制制系系系系统统统统进进进进行行行行分分分分析析析析、综综综综合合合合，是是是是机机机机电电电电控控控控制制制制工工工工程程程程的的的的基基基基本本本本方方方方法法法法。

如如如如果果果果将将将将物物物物理理理理系系系系统统统统在在在在信信信信号号号号传传传传递递递递过过过过程程程程中中中中的的的的动动动动态态态态特特特特性性性性用用用用数数数数学学学学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。

表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。

2.1数学模型的基本概念数学模型的基本概念2.1数学模型的基本概念数学模型的基本概念l系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内数学模型是描述系统输入、输出量以及内数学模型是描述系统输入、输出量以及内数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

静态数学模型静态数学模型静态数学模型静态数学模型：

静态条件（变量各阶导数为：

静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。

反映零）下描述变量之间关系的代数方程。

反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。

间关系的数学模型。

动态数学模型动态数学模型动态数学模型动态数学模型：

描述变量各阶导数之间关系：

描述变量各阶导数之间关系的微分方程。

的微分方程。

描述动态系统瞬态与过渡态特描述动态系统瞬态与过渡态特描述动态系统瞬态与过渡态特描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。

也可定义为描述实际系统各物理性的模型。

也可定义为描述实际系统各物理量随时间变化的数学表达式。

动态系统的输量随时间变化的数学表达式。

动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。

与它过去的工作状态有关。

微分方程微分方程微分方程微分方程或或或或差分差分差分差分方程方程方程方程常用作动态数学模型。

常用作动态数学模型。

对于给定的动态系统，对于给定的动态系统，对于给定的动态系统，对于给定的动态系统，数学模型表达不数学模型表达不数学模型表达不数学模型表达不唯一唯一唯一唯一。

工程上常用的数学模型包括：

。

工程上常用的数学模型包括：

。

工程上常用的数学模型包括：

。

工程上常用的数学模型包括：

微分方微分方微分方微分方程，传递函数和状态方程。

程，传递函数和状态方程。

对于线性系统，对于线性系统，对于线性系统，对于线性系统，它们之间是等价的。

它们之间是等价的。

2.1数学模型的基本概念数学模型的基本概念l数学模型的形式数学模型的形式数学模型的形式数学模型的形式时间域：

时间域：

微分方程微分方程微分方程微分方程差分方程差分方程差分方程差分方程状态方程状态方程状态方程状态方程（一阶微分方程组）（一阶微分方程组）（一阶微分方程组）（一阶微分方程组）复数域：

复数域：

传递函数传递函数传递函数传递函数结构图结构图结构图结构图频率域：

频率域：

频率特性频率特性频率特性频率特性经经经经典典典典控控控控制制制制理理理理论论论论采采采采用用用用的的的的数数数数学学学学模模模模型型型型主主主主要要要要以以以以传传传传递递递递函函函函数数数数为为为为基基基基础础础础。

而而而而现现现现代代代代控控控控制制制制理理理理论论论论采采采采用用用用的的的的数数数数学学学学模模模模型型型型主主主主要要要要以以以以状状状状态态态态空空空空间间间间方方方方程程程程为为为为基基基基础础础础。

而而而而以以以以物物物物理理理理定定定定律律律律及及及及实实实实验验验验规规规规律律律律为为为为依依依依据据据据的的的的微微微微分分分分方方方方程程程程又又又又是是是是最最最最基基基基本本本本的的的的数数数数学学学学模模模模型型型型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。

是列写传递函数和状态空间方程的基础。

l建立数学模型的方法建立数学模型的方法建立数学模型的方法建立数学模型的方法解析法解析法解析法解析法实验法实验法实验法实验法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。

学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。

人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。

这种方响应，并用适当的数学模型进行逼近。

这种方法也称为法也称为法也称为法也称为系统辨识系统辨识系统辨识系统辨识。

数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。

应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。

机电控制系统的受控对象是机械系统。

在机械系统中，有些机电控制系统的受控对象是机械系统。

在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。

构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。

在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量质量质量质量块块块块，而把后一类构件的惯性忽略而视为，而把后一类构件的惯性忽略而视为，而把后一类构件的惯性忽略而视为，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧无质量的弹簧无质量的弹簧无质量的弹簧。

这样受。

这样受控对象的机械系统可抽象为质量控对象的机械系统可抽象为质量控对象的机械系统可抽象为质量控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧弹簧弹簧弹簧-阻尼系统。

阻尼系统。

2.2基本环节数学模型基本环节数学模型质量质量弹簧弹簧阻尼系统阻尼系统机床进给传动装置示意图及等效力学模型机床进给传动装置示意图及等效力学模型机床进给传动装置示意图及等效力学模型机床进给传动装置示意图及等效力学模型组合机床动力滑台及其力学模型组合机床动力滑台及其力学模型组合机床动力滑台及其力学模型组合机床动力滑台及其力学模型抽象后的力学模型抽象后的力学模型机械系统机械系统机械系统机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：

简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：

质量质量质量质量mmffmm（tt）xx（tt）vv（tt）弹簧弹簧弹簧弹簧kkffkk（tt）ffkk（tt）xx11（tt）vv11（tt）xx22（tt）vv22（tt）对于弹簧，对于弹簧，对于弹簧，对于弹簧，受力相同，受力相同，受力相同，受力相同，变形量不同。

变形量不同。

阻尼阻尼阻尼阻尼DDffDD（tt）ffDD（tt）xx11（tt）vv11（tt）xx22（tt）vv22（tt）q机械平移系统机械平移系统mmfi（t）kDxo（t）fi（t）xo（t）00fm（t）fk（t）机械平移系统机械平移系统及其力学模型及其力学模型fD（t）静止（平衡）工作点作为静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响零点，以消除重力的影响式中，式中，式中，式中，mm、DD、kk通常均为常数，故机械平移系通常均为常数，故机械平移系通常均为常数，故机械平移系通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。

统可以由二阶常系数微分方程描述。

显然，微分方程的系数取决于系统的结显然，微分方程的系数取决于系统的结显然，微分方程的系数取决于系统的结显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中构参数，而阶次等于系统中构参数，而阶次等于系统中构参数，而阶次等于系统中独立独立独立独立储能元储能元储能元储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。

件（惯性质量、弹簧）的数量。

q弹簧阻尼系统（质量弹簧阻尼系统（质量m=0）xo（t）0fi（t）kD弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统系统运动方程为一阶常系数系统运动方程为一阶常系数微分方程。

微分方程。

q机械旋转系统机械旋转系统ki（t）o（t）00Tk（t）TD（t）D粘性液体粘性液体齿轮齿轮JJ旋转体转动惯量；旋转体转动惯量；k扭转刚度系数；扭转刚度系数；D粘性阻尼系数粘性阻尼系数柔性轴柔性轴电路系统电路系统电路系统电路系统电阻电阻电阻电阻电路系统三个基本元件：

电阻、电容和电感。

电路系统三个基本元件：

电阻、电容和电感。

电路系统三个基本元件：

电阻、电容和电感。

电路系统三个基本元件：

电阻、电容和电感。

RRii（tt）uu（tt）电容电容Ci（t）u（t）电感电感Li（t）u（t）qR-L-C无源电路网络无源电路网络LRCui（t）uo（t）i（t）R-L-C无源电路网络无源电路网络一般一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微均为常数，上式为二阶常系数微分方程。

分方程。

若若L=0=0，则系统简化为：

，则系统简化为：

q有源电路网络有源电路网络+CRi1（t）ui（t）uo（t）i2（t）a即：

即：

q电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机电磁感应定律电磁感应定律电磁感应定律电磁感应定律基尔霍夫定律基尔霍夫定律基尔霍夫定律基尔霍夫定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律磁场对载流线圈磁场对载流线圈磁场对载流线圈磁场对载流线圈作用的定律作用的定律作用的定律作用的定律当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程可简化为可简化为可简化为可简化为l建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤分析系统工作原理和信号传递变换的过程，分析系统工作原理和信号传递变换的过程，分析系统工作原理和信号传递变换的过程，分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；确定系统和各元件的输入、输出量；确定系统和各元件的输入、输出量；确定系统和各元件的输入、输出量；从输入端开始，按照信号传递变换过程，依从输入端开始，按照信号传递变换过程，依从输入端开始，按照信号传递变换过程，依从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；元件、部件的动态微分方程；元件、部件的动态微分方程；元件、部件的动态微分方程；消去中间变量，得到描述元件或系统输入、消去中间变量，得到描述元件或系统输入、消去中间变量，得到描述元件或系统输入、消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；输出变量之间关系的微分方程；输出变量之间关系的微分方程；输出变量之间关系的微分方程；标准化：

右端输入，左端输出，导数降幂标准化：

右端输入，左端输出，导数降幂排列排列排列排列小结小结小结小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模物理本质不同的系统，可以有相同的数学模物理本质不同的系统，可以有相同的数学模物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）法）法）法）。

从动态性能看，在相同形式的输入作用下，从动态性能看，在相同形式的输入作用下，从动态性能看，在相同形式的输入作用下，从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。

相似系统是控制理论中进行实验模拟应相似。

相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。

的基础。

通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的于元件或系统中所包含的于元件或系统中所包含的于元件或系统中所包含的独立独立独立独立储能元件（惯储能元件（惯储能元件（惯储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元件，其内部因为系统每增加一个独立储能元件，其内部因为系统每增加一个独立储能元件，其内部因为系统每增加一个独立储能元件，其内部就多一层能量（信息）的交换。

就多一层能量（信息）的交换。

系统的动态特性是系统的系统的动态特性是系统的系统的动态特性是系统的系统的动态特性是系统的固有特性固有特性固有特性固有特性，仅取决，仅取决，仅取决，仅取决于系统的结构及其参数，于系统的结构及其参数，于系统的结构及其参数，于系统的结构及其参数，与系统的输入无关与系统的输入无关与系统的输入无关与系统的输入无关。

补充知识：

线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。

如果方程的可以用线性微分方程描述的系统。

如果方程的系数为常数，则为系数为常数，则为系数为常数，则为系数为常数，则为线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统；如果方程的；如果方程的；如果方程的；如果方程的系数是时间系数是时间系数是时间系数是时间tttt的函数，则为的函数，则为的函数，则为的函数，则为线性时变系统线性时变系统线性时变系统线性时变系统；q线性系统线性系统线性系统线性系统线性线性线性线性是指系统满足是指系统满足是指系统满足是指系统满足叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理，即：

，即：

可加性：

齐次性：

或：

设输入：

2.3数学模型线性化数学模型线性化用非线性微分方程描述的系统。

非线性系统用非线性微分方程描述的系统。

非线性系统不满足叠加原理。

不满足叠加原理。

q非线性系统非线性系统非线性系统非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将为分析方便，通常在合理的条件下，将为分析方便，通常在合理的条件下，将为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。

非线性系统简化为线性系统处理。

实际的系统通常都是非线性的实际的系统通常都是非线性的实际的系统通常都是非线性的实际的系统通常都是非线性的，线性只在一线性只在一线性只在一线性只在一定的工作范围内成立。

定的工作范围内成立。

q线性系统微分方程的一般形式线性系统微分方程的一般形式线性系统微分方程的一般形式线性系统微分方程的一般形式式中，式中，式中，式中，aa11，aa22，aann和和和和bb00，bb11，bbmm为由为由为由为由系统结构参数决定的实常数，系统结构参数决定的实常数，系统结构参数决定的实常数，系统结构参数决定的实常数，mmnn。

三、数学模型线性化三、数学模型线性化l线性化问题的提出线性化问题的提出线性化问题的提出线性化问题的提出线性化：

在一定条件下作某种近似缩小系统工线性化：

在一定条件下作某种近似缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。

进行处理。

非线性现象：

机械系统中的高速阻尼器，阻尼非线性现象：

机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。

电流与电压的非线性关系等。

q线性系统是有条件存在的，只在一定的工作线性系统是有条件存在的，只在一定的工作线性系统是有条件存在的，只在一定的工作线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；范围内具有线性特性；范围内具有线性特性；范围内具有线性特性；q非线性系统的分析和综合是非常复杂的；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；q对于实际系统而言，在一定条件下，采用线对于实际系统而言，在一定条件下，采用线对于实际系统而言，在一定条件下，采用线对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能性化模型近似代替非线性模型进行处理，能性化模型近似代替非线性模型进行处理，能性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。

够满足实际需要。

在某平衡工作点连续可微在某平衡工作点连续可微l非线性系统数学模型的线性化非线性系统数学模型的线性化非线性系统数学模型的线性化非线性系统数学模型的线性化泰勒级数展开法泰勒级数展开法泰勒级数展开法泰勒级数展开法函数函数函数函数yy=ff（xx）在其平衡点（在其平衡点（在其平衡点（在其平衡点（x

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