职高数列知识点及例题有答案.docx
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职高数列知识点及例题有答案
数列
一、数列的定义：
按一定顺序排列成的一列数叫做数列．
记为：
{a}．即{a}:
a,a,…,a．
二、通项公式：
用项数n来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。
1、本质：
数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数．
2、通项公式:
a=f（n）是a关于n的函数关系．
三、前n项之和：
S=a+a+…+a
注求数列通项公式的一个重要方法：
例1、已知数列{100-3n}，
（1）求a、a；
（2）此数列从第几项起开始为负项．
例2已知数列的前n项和，求数列的通项公式：
（1）=n+2n；
（2）=n-2n-1.
解：
（1）①当n≥2时，=-=（n+2n）-[（n-1）+2（n-1）]=2n+1；
②当n=1时，==1+2×1=3；
③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴=2n+1为所求.
（2）①当n≥2时，=-=（n-2n-1）-[（n-1）+2（n-1）-1]=2n-3；
②当n=1时，==1-2×1-1=-2；
③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴=为所求．
注：
数列前项的和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合
例3当数列{100-2n}前n项之和最大时，求n的值．
分析：
前n项之和最大转化为．
等差数列
1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即：
2.通项：
，推广：
．
3.求和：
．（关于n的没有常数项的二次函数）．
4.中项：
若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:
2b=a+c
5.等差数列的判定方法
（1）定义法:
（2）中项法:
（3）通项法:
（4）前n项和法:
练习：
已知数列{a}满足：
a=2,a=a+3,求通项a．
例1在等差数列中,已知
解:
设首项为,公差为,
则
例2
（1）设{a}是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48，求这个数列的首项．
分析2：
三个数成等差数列可设这三个数为：
a-d，a，a+d
拓展：
（1）若n+m=2p，则an+am=2ap．
推广：
从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如：
（下标成等差数列）
（2）等和性：
（3）组成公差为的等差数列.
（4）a=a+（n-m）d
例1
（1）已知a+a=20，求a．
（2）已知++++＝450,求+及前9项和．
解由等差中项公式：
+＝2，+＝2
由条件++++＝450,得：
5＝450,∴＋＝2＝180.
＝810
等比数列
1．定义与定义式：
从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.
2．通项公式：
推广形式:
．
3．前n项和：
注:
应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论．
4．等比中项：
如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即（）．
5．等比数列的判定方法：
①定义法：
对于数列，若，则数列是等比数列.
②等比中项：
对于数列，若，则数列是等比数列．
例1等比数列中=2,=8，求通项公式；
解：
例2在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20.
解解方程组可得：
q4=2，，
解法2由，－，－，…成等比数列计算．
在等比数列中有如下性质:
（1）若n+m=2p，则aa=（a）。
推广：
从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
如：
（下标成等差数列）
（2）等积性:
（）．
（3）a=aq
例1在等比数列中，，，，
（1）求；
（2）若，求.
解
（1）
（2）
例2，，求.
解：
设{an}的公比为q，由题意知
解得或∴或
数列综合运用
例1公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q．
解:
设等差数列的通项an=a1+（n-1）d（d≠0）.
根据题意得a32=a2a6即（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d）,
解得.所以
例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是，第二个数与第三个书的和是，求这四个数．
解：
设这四个数为：
，则
解得：
或，所以所求的四个数为：
；或．
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