数学江苏省连云港市届高三第一次模拟考试试题.docx

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数学江苏省连云港市届高三第一次模拟考试试题

江苏省连云港市2018届高三第一次模拟考试数学试题

参考公式：

1.柱体的体积公式：

V＝Sh，其中S是柱体的底面面积，h是高．

2.圆锥的侧面积公式：

S＝cl，其中c是圆锥底面圆的周长，l是母线长．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1.已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{－1，0}，则A∪B＝________．

2.已知复数z＝（i为虚数单位），则z的模为________．

3.函数y＝的定义域为________．

4.如图是一个算法的伪代码，运行后输出b的值为________．

5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[250，400）内的学生共有________人．

6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．

7.连续2次抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为________．

8.已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是________cm3.

9.若函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数ω的值为________．

10.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：

xy＝上任意一点P到直线l：

x＋y＝0的距离的最小值为________．

11.已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，a－a＝36，则a11的值为________．

12.在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：

x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：

（x－2）2＋（y－1）2＝1上，则r的取值范围是_____________．

13.已知函数f（x）＝函数g（x）＝f（x）＋f（－x），则不等式g（x）≤2的解集为________．

14.如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点．若CE⊥AD，垂足为E，则·的值为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA＝，tan（B－A）＝.

（1）求tanB的值；

（2）若c＝13，求△ABC的面积．

16.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的

中点．

求证：

（1）MN∥平面ABB1A1；

（2）AN⊥A1B.

17.（本小题满分14分）

某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，如图2.已知圆O的半径为10cm，设∠BAO＝θ，0<θ<，圆锥的侧面积为Scm2.

（1）求S关于θ的函数关系式；

（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．求当S取得最大值时腰AB的长度．

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为，且过点.F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连结AF，BF分别交椭圆于C，D两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若AF＝FC，求的值；

（3）设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2＝mk1？

若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝x2＋ax＋1，g（x）＝lnx－a（a∈R）．

（1）当a＝1时，求函数h（x）＝f（x）－g（x）的极值；

（2）若存在与函数f（x），g（x）的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．

20.（本小题满分16分）

已知数列{an}，其前n项和为Sn，满足a1＝2，Sn＝λnan＋μan－1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R.

（1）若λ＝0，μ＝4，bn＝an＋1－2an（n∈N*），求证：

数列{bn}是等比数列；

（2）若数列{an}是等比数列，求λ，μ的值；

（3）若a2＝3，且λ＋μ＝，求证：

数列{an}是等差数列．

附加题

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修4-1：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：

AB2＝BE·BD－AE·AC.

B.[选修4-2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵A＝，B＝，若矩阵M＝BA，求矩阵M的逆矩阵M－1.

C.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l：

（t为参数）与圆C：

ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0的位置关系．

D.[选修45：

不等式选讲]（本小题满分10分）

已知a，b，c，d都是正实数，且a＋b＋c＋d＝1，求证：

＋＋＋≥.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

在正三棱柱ABCA1-B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是AA1，AC和A1C1的中点．{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

（1）求异面直线AC与BE所成角的余弦值；

（2）求二面角FBC1C的余弦值．

23.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：

y2＝4x于点P，F为曲线C的焦点．圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设圆心M的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）若直线l1与曲线E相切于点Q（s，t），过点Q且垂直于l1的直线为l2，直线l1，l2分别与y轴相交于点A，B.当线段AB的长度最小时，求s的值．

【参考答案】

一、填空题

1.{－1，0，1}　2.1　3.（0，1]　4.13　5.7506.　7.　8.54　9.4　10.　11.11

12.[－1，＋1]　13.[－2，2]　14.－

二、解答题

15.解：

（1）在△ABC中，由cosA＝，知A为锐角，

所以sinA＝＝，所以tanA＝＝，

所以tanB＝tan[（B－A）＋A]＝＝＝3.

（2）由

（1）知tanB＝3，所以sinB＝，cosB＝，

所以sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝.

由正弦定理＝，得b＝＝＝15，

所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×15×13×＝78.

16.解：

（1）取AB的中点P，连结PM，PB1.

因为M，P分别是AB，AC的中点，所以PM∥BC，且PM＝BC.

在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，

又N是B1C1的中点，所以PM∥B1N，且PM＝B1N，

所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1.

又MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1.

（2）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1，

因为BB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1.

因为∠ABC＝∠A1B1C1＝90°，所以B1C1⊥B1A1.

因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，

所以B1C1⊥平面ABB1A1.

因为A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B.

如图，连结AB1.因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，

所以四边形ABB1A1是正方形，所以AB1⊥A1B.

因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂平面AB1N，所以A1B⊥平面AB1N.

又AN⊂平面AB1N，所以A1B⊥AN.

17.解：

（1）如图，设AO交BC于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E.

在△AOE中，AE＝10cosθ，AB＝2AE＝20cosθ，

在△ABD中，BD＝AB·sinθ＝20cosθ·sinθ，

所以S＝·2π·20sinθcosθ·20cosθ＝400πsinθcos2θ.

（2）由

（1）得S＝400πsinθcos2θ＝400π（sinθ－sin3θ）．

设f（x）＝x－x3（0

由f′（x）＝1－3x2＝0得x＝.

当x∈时，f′（x）>0；当x∈时，f′（x）<0，

所以f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以f（x）在x＝时取得极大值，也是最大值，

所以当sinθ＝时，侧面积S取得最大值，

此时等腰三角形的腰长AB＝20cosθ＝20×＝20×＝.

故当侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为cm.

18.解析：

（1）设椭圆的方程为＋＝1（a>b>0）．

由题意知解得所以椭圆的方程为＋＝1.

（2）若AF＝FC，由椭圆的对称性，知A，所以B，

此时直线BF的方程为3x－4y－3＝0.

由得7x2－6x－13＝0，解得x＝（x＝－1舍去），

所以＝＝.

（3）设A（x0，y0），则B（－x0，－y0），直线AF的方程为y＝（x－1），

代入椭圆方程＋＝1，得（15－6x0）x2－8yx－15x＋24x0＝0.

因为x＝x0是该方程的一个解，所以点C的横坐标xC＝.

又点C（xC，yC）在直线y＝（x－1）上，

所以yC＝（xC－1）＝.

同理，点D的坐标为，

所以k2＝＝＝k1，

即存在m＝，使得k2＝k1.

19.解：

（1）函数h（x）的定义域为（0，＋∞）．

当a＝1时，h（x）＝f（x）－g（x）＝x2＋x－lnx＋2，

所以h′（x）＝2x＋1－＝，

所以当0，h′（x）>0，

所以函数h（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当x＝时，函数h（x）取得极小值＋ln2，不存在极大值．

（2）设函数f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与函数g（x）在点（x2，g（x2））处的切线相同，

则f′（x1）＝g′（x2）＝，

所以2x1＋a＝＝，

所以x1＝－，代入＝x＋ax1＋1－（lnx2－a）得

－＋lnx2＋－a－2＝0.（*）

设F（x）＝－＋lnx＋－a－2，则F′（x）＝－＋＋＝.

不妨设2x＋ax0－1＝0（x0>0），则当0x0时，F′（x）>0，

所以F（x）在区间（0，x0）上单调递减，在区间（x0，＋∞）上单调递增，

因为a＝＝－2x0，

所以F（x）min＝F（x0）＝x＋2x0－＋lnx0－2.

设G（x）＝x2＋2x－＋ln