宏微观经济学计算方面的知识.docx

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宏微观经济学计算方面的知识

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《宏微观经济学》计算方面的知识

   学习《宏微观经济学》重点是经济含义，也就是经济学的基本概念和理论。

在经济学中，数学的运用是十分重要的。

但在本科学习阶段，数学仅仅是工具之一，并不是经济学本身，所以我们在学习中一般不进行数学推导，只是运用数学的公式或工具来进行一些计算，对某种经济进行定量分析，目的是达到对经济学的基本概念更加深刻理解。

下面是学习《宏微观经济学》中有关计算方面的知识。

第一章

一、均衡条件的数学表述

1、用函数关系来表明某物品需求量与其价格之间的关系，这种函数就是需求函数。

当所有其他影响需求的因素不变时，某物品需求量与其价格之间的关系可以用一元需求函数来表示，其线性需求函数公式为：

式中，

-表示X物品的需求量

Px表示X物品的价格

a、b均表示为参数。

2、用函数关系来表明某物品供给量与其价格之间的关系，这种函数就是供给函数。

当所有其他影响供给量的因素不变时，某物品供给量与其价格之间的关系也可以用一元供给函数来表示，其线性供给函数公式为：

式中，

-表示X物品的供给量

Px-表示X物品的价格

c、d-均表示为参数

3、均衡的条件是需求与供给相等，即根据线性需求函数与线性供给函数来说明均衡的决定，有：

4、例题：

已知线性需求函数

线性供给函数

 ,

求需求与供给相等时的均衡价格和均衡数量各是多少？

解：

已知：

a=20，b=2，c=10，d=4

（注意：

b值不要包括其前面的负号，题中的b=2而不是b=-2，同理，C值也要注意不要包括其前面的负号）

代入Px=（a+c）/（b+d）

=（20+10）/（2+4）=30/6=5

求得均衡价格为5。

将Px=5代入线性需求函数

=20-2Px

得出：

=20-2×5=20-10=10 

将Px=5代入线性供给函数

=-10+4Px

得出：

=-10+4×5=-10+20=10

求得均衡数量为10。

这就是说，当均衡价格为5，均衡数量为10时，市场实现了均衡。

二、消费者均衡的数学表述

1、消费者均衡的两个条件是：

（1）实现收入的效用最大化配置（即把钱用完）。

其公式为：

式中：

P-表示价格

Q-表示购买量

M-表示消费者收入

（2）每一元钱用在不同商品上的边际效用相等。

其公式为：

式中：

P-表示价格

MU-表示商品U的边际效用

MUm-表示每一元钱用在不同商品上的边际效用

2、例题：

（1）假定一元钱的边际效用为3个单位，一支钢笔的边际效用为36个单位，则消费者愿意用多少钱买这支钢笔？

解：

已知MUm=3个单位/元MU1=36个单位

代入公式：

MU1/

=

得出：

=MU1/

=36/3=12（元）

消费者愿意用12元买这支钢笔。

（2）假定一元钱的边际效用仍为3个单位，而钢笔的边际效用为24个单位，则消费者愿意用多少钱买这支钢笔？

解：

已知

=3个单位/元

=24个单位

代入公式：

=

/

=24/3=8（元）

这时，消费者还愿意用8元钱买这支钢笔。

（3）假定钢笔的边际效用为36个单位，而一元钱的边际效用为2个单位，则消费者愿意用多少钱买这支钢笔？

解：

已知

=2个单位/元

=36个单位

代入公式：

=

/

=36/2=18（元）

这时，消费者愿意用18元钱买这支钢笔。

（4）假定钢笔的边际效用仍为36个单位，而一元钱的边际效用为18个单位，则消费者愿意用多少钱买这支钢笔？

解：

已知

=18个单位/元

=36个单位

代入公式：

=

/

=36/18=2（元）

说明这时消费者只愿意用2元钱买这支钢笔。

当消费者购买商品实现商品的边际效用与货币的边际效用相等时，消费者就停止购买了。

第二章

三、与需求相关的几种弹性的公式

1、需求的价格弹性

（1）概念的经济含义

需求的价格弹性是指需求量变动对于价格变动的反应程度，即价格的变动对需求量变动的影响。

（2）价格弹性公式

式中，

-表示价格弹性P-表示价格

Q-表示需求量ΔP、ΔQ均表示变动量

①为什么说弹性的公式是斜率的倒数乘上价格与需求量之比？

价格P与需求量Q的函数关系公式为：

Q=f（p）=a-bP

价格P是自变量，需求量Q是因变量。

从图形上来理解：

一般情况下，线性函数Y=a+bX的自变量X为横数轴，因变量Y为纵数轴，则线性函数的斜率为：

斜率=|Y/X|=tgα 

但线性需求函数Q=a-bp的自变量P（价格）却为纵数轴，因变量Q（需求数量）为横数轴。

斜率=|Y/X|=tgβ而tgα=|X/Y|，恰好是斜率tgβ的倒数 

②从对函数Q=a-bp两边微分也可得出：

dQ=（a-bp）′dp

dQ=o-bdp两边除以dp得：

dQ/dP=-b

（注：

弹性系数一般用绝对值表示，所以dQ/dP=|b|）

2、需求的收入弹性

（1）概念的经济含义

需求的收入弹性是指商品需求量变化对于收入变化的反应程度。

即消费者收入的变化对某种商品需求量的影响。

（2）收入弹性公式：

式中，

表示收入弹性系数 

I表示消费者的收入

Q表示商品的需求数量 

ΔI表示收入的变动量

ΔQ表示需求量的变动量

3、需求的交叉弹性

（1）概念的经济含义

交叉弹性是指彼商品需求量的变动对于此商品价格变动的反应程度。

即此商品价格的变动对彼商品价格需求量的影响。

（2）交叉弹性公式

式中，

表示商品x和y的交叉弹性系数，Px表示商品x的价格（自变量），Qy表示商品y的需求数量（因变量），ΔPx表示Px价格的变动量，ΔQy表示Qy需求量的变动量。

四、例题

1、大明食品公司对其产品的销售与消费收入的关系估计如下：

Q=2000+0.2I，Q为需求数量，I为平均家庭收入。

请分别求出：

I=5000元，15000元，30000元的收入弹性。

（《导学》P39）

解：

已知产品的需求量Q与消费收入I的关系式：

Q=2000+0.2I

当I=5000元时，代入公式得出：

Q=2000+0.2×5000=2000+1000=3000（元）

当I=15000元时，代入公式得出：

Q=2000+0.2×15000=2000+3000=5000（元）

当I=30000元时，代入公式得出：

Q=2000+0.2×30000=2000+6000=8000（元）

对Q=2000+0.2I，等式两边微分，得出dQ=（2000+0.2I）′dI

dQ=0+0.2dI等式两边除以dI，得出dQ/dI=0.2

当I=5000元时，Q=3000元，代入收入弹性公式，

=0.2×5000/3000=0.3

当I=15000元时，Q=5000元，代入收入弹性公式，得出：

=0.2×15000/5000=0.6 

当I=30000元时，Q=8000元，代入收入弹性公式，得出：

=0.2×30000/8000=0.75 

2、明光服装公司生产男式上衣，在1997年中，这家公司出售23000件，平均每件13元，在1998年1月初，明光服装公司的主要竞争者太和服装公司削减其男式上衣的价格，每件从15元下降到12元，结果使明光服装公司的男式上衣销售量急剧下降，在1998年2月和3月，每月销售量从以往的23000件降至13000件。

（1）计算在2月、3月期间明光公司和太和公司销售男式上衣之间的交叉弹性？

这两家公司生产的男式上衣是好的还是不好的替代品？

（2）假定明光公司的价格弹性系数是-2.0，假定太和公司维持12元的价格，那么明光公司要削减价格多少才能使销售量回升到每月23000件？

（提示：

运用弹性公式，把已知数值代入公式，解出未知的价格。

）（《导学》P39）

解：

（1）已知Qy=（23000+13000）/2=18000（件）

ΔQy=23000-13000=10000（件）

Px=（15+12）/2=13.5（元）ΔPx=15-12=3（元）

代入交叉弹性公式：

=（10000/18000）/（3/13.5）=（10×13.5）/（3×18）=135/54=2.5

交叉弹性系数是2.5，正值表明两公司的商品相互替代。

由于太和公司的男式上衣降价，引起明光公司男式上衣销售量急剧下降，是好的替代品，但应避免不同公司之间的替代品之间杀价性竞争。

（2）已知，需求的价格弹性系数

=-2.0，P=13元

ΔQ=13000件-23000件=-10000件

Q=（13000件+23000件）/2=18000件，设ΔP为价格变动量

代入公式

=（ΔQ/Q）/（ΔP/P）得 

-2.0=（-10000/18000）/（ΔP/13）-2.0=（-5/9）×（13/ΔP） 

-18ΔP=-65ΔP=3.6（元）

明光公司削减价格3.6元，即由价格13元降至9.4元才能使销售量回升到每月23000件。

小结：

这道题，第一问用交叉弹性；第二问用价格弹性。

3、1998年1月某航空公司的飞机票价下降5%，使另一家航空公司的乘客数量从去年同期的10000人下降到8000人，试问交叉弹性为多少？

（《导学》P39）

解：

已知ΔPx/Px=5%ΔQy=10000-8000=2000（人） 

Qy=（10000+8000）/2=9000（人）

代入公式

得出：

=（2000/9000）÷5%=（2/9）×（100/5）=40/9=4.4

某航空公司与另一家公司的交叉弹性是4.4。

第三章

五、例题

1、假定某企业全部成本函数为TC=30000+5Q-Q2，Q为产出数量。

（1）写出TFC.TVC.AFC.AVC.ATC方程式

（2）画出TFC.TVC.TC.AFC.AVC.ATC的方程式图形（《导学》P63）

解：

（1）已知全部成本函数TC=30000+5Q-Q2方程式：

TC=TFC+TVCTFC=30000TVC=5Q-Q2

AFC=TFC/Q=30000/QAVC=TVC/Q=（5Q-Q2）/Q=5-Q

ATC=AFC+AVC=30000/Q+5-Q

（2）方程式图形见《导学》P52图3-7图3-8

2、已知生产函数Q=10X，X为可变投入单位量，Q为产出数量，不变投入的单位为3个，不变投入的单价为1000元，可变投入的单价为50元，决定相应的TFC.TVC.TC.AFC.AVC.ATC.MC的方程式。

（《导学》P63）

解：

已知生产函数Q=10X，X为可变投入单位量，可变投入单价=50元，不变投入的单位=3个，不变投入的单价=1000元，则：

TVC=50X=50×Q/10=5QAVC=TVC/Q=5Q/Q=5（元）

TFC=3×1000元=3000元AFC=TFC/Q=3000/Q

ATC=AFC+AVC=3000/Q+5MC为TC的导数，则

MC=TC′=（TFC+TVC）′=（3000+5Q）′=5（元）

3、已知成本函数TC=3000+15Q-3Q2+Q3，Q为产出数量：

（1）产出为500单位时，AFC是多少？

（2）产出为1000单位时，AFC是多少？

（3）产出为300单位时，AVC是多少？

（4）在产出为多少单位时,可变投入开始发生边际收益递减？

（5）在产出为多少单位时,可变投入开始发生平均收益递减？

（6）指出相应的生产阶段。

解：

已知成本函数TC=3000+15Q-3Q2+Q3，TFC=3000

（1）当产出Q=500单位时，AFC=TFC/Q=3000/500=6

（2）当产出Q=1000单位时，AFC=TFC/Q=3000/1000=3

（3）已知TVC=15Q-3Q2+Q3

AVC=TVC/Q=（15Q-3Q2+Q3）/Q=15-3Q+Q2

当产出Q=300单位时，AVC=15-3×300+3002=89115

（4）在产出为多少单位时，可变投入开始发生边际收益递减？

也就是当边际成本的变化量与产出量的变化量之比趋向很小，即等于0时，可变投入开始发生边际收益递减。

MC=TC′=（3000+15Q-3Q2+Q3）′=15-6Q+3Q2

对MC两边微分：

dMC=（15-6Q+3Q2）′dQ=（-6+6Q）dQ

dMC/dQ=-6+6Q令6Q-6=0得Q=1；

所以当产出为1单位时，可变投入开始发生边际收益递减。

（5）在产出为多少单位时，可变投入开始发生平均收益递减？

解：

已知TVC=15Q-3Q2+Q3 

MC=TC′=（3000+15Q-3Q2+Q3）′=15-6Q+3Q2

AVC=（15Q-3Q2+Q3）/Q=15-3Q+Q2

在边际成本MC线与平均可变成本AVC线相交之前，随着产出数量增加，边际成本MC小于平均可变成本，平均可变成本递减，也就是平均收益递增；到了AVC线与MC线相交之后，随着产出数量增加，平均可变成本递增，也就是平均收益递减。

只有当AVC线与MC线相交时，即AVC=MC时，边际收益为最大。

（详见《导学》P53有关边际成本与平均可变成本的关系）

AVC=MC即15-3Q+Q2=15-6Q+3Q22Q2-3Q=0 

Q（2Q-3）=0 

求得：

Q=02Q-3=0Q1=0Q2=1.5 

所以，当产出为1.5单位时，可变投入开始发生平均收益递减。

（6）在Q小于1.5单位时，属于产出递增阶段；在Q等于1.5或大于1.5单位后，属于产出不变或产出递减阶段。

（详阅《导学》P41-44的有关内容）

综合上述计算题得出结论：

（1）边际成本（MC）是总成本函数（TC）的一阶导数。

用总成本函数的二阶导数，并令其等于零，可找出极值（极大值或极小值）。

（2）边际成本先是下降，后是上升。

（3）平均值等于边际值时，如平均可变成本曲线与边际成本曲线相交时，平均值为极值。

4、记住以下公式，并运用这些公式计算，填写完成某工厂成本表。

请填写下列成本表空格：

（详阅教材P53表3-1）

某工厂成本表

 （4）=

（2）+（3）（5）=

（2）/

（1）（6）=（3）/

（1）

（7）=（4）/

（1）或（5）+（6）（8）=ΔTC/ΔQ

TC=TFC+TVCAFC=TFC/Q（Q--表示产量）

AVC=TVC/QATC=TC/Q=AFC+AVCMC=ΔTC/ΔQ

第五章

六、例题

1、某企业生产的商品价格为10元，平均成本为11元，平均可变成本为8元，则

（1）该企业是否亏损？

（2）是否有贡献利润？

（3）在短期内是否继续生产？

（《导学》P98）

解：

已知P=10元AC=11元AVC=8元

（1）企业盈亏=P-AC=10-11=-1（元）

该企业有亏损。

（2）单位贡献利润=P-AVC=10-8=2（元）

该企业存在贡献利润。

（3）只要有贡献利润，企业生产就比停产好。

2、某企业生产的商品价格为6元，平均成本为7元，平均可变成本为6元，则该企业在短期内

（1）是否亏损？

（2）是否有贡献利润？

（3）是否继续生产？

解：

已知P=6元AC=7元，AVC=6元

（1）企业盈亏=P-AC=6-7=-1（元）

该企业有亏损。

（2）单位贡献利润=P-AVC=6-6=0 

该企业的贡献利润为零。

（3）企业在MR=MC的情况下，生产和停产对企业的损失都一样，生产还是比停产更有好处。

3、某企业生产的商品价格为6元，平均成本为11元，平均可变成本为8元，则该企业在短期内

（1）是否亏损？

（2）是否有贡献利润？

（3）是否继续生产？

（《导学》P99）

解：

已知P=6元AC=11元AVC=8元

（1）该企业盈亏=P-AC=6-11=-5（元）

该企业有亏损。

（2）单位贡献利润=P-AVC=6-8=-2（元）

该企业的贡献利润为负数。

（3）由于该企业的贡献利润为负数，表明企业平均变动成本高于产品的售价，企业只要开工，其亏损额就会大于全部固定成本。

在这种情况下，企业的决策只能是停止生产和销售。

（参阅教材P84-86）

4、x公司和y公司是生产相同产品的企业，两家各占市场份额一半，故两家公司的需求曲线均为P=2400-0.1Q，但x公司的成本函数为TC=400000+600Qx+0.1Qx2，y公司的成本函数为TC=600000+300Qy+0.2Qy2，现在要求计算：

（1）x公司和y公司的利润极大化的价格和产出。

（2）两个公司之间是否存在价格冲突？

（3）如果你是x公司的经理，你将对y公司的定价采取什么对策？

（《导学》P101）

解：

（1）已知需求曲线函数P=2400-0.1Q，则两个公司的销售收入均为：

TR=P×Q=（2400-0.1Q）×Q=2400Q-0.1Q2

MR=TR′=（2400Q-0.1Q2）′=2400-0.2Q

①x公司的边际成本 

MC=TC′=（400000+600Qx+0.1Qx2）′=600+0.2Qx

令MR=MC得：

2400-0.2Qx=600+0.2Qx0.4Qx=1800Qx=4500

x公司的产出为4500时，利润最大。

将Qx=4500代入P=2400-0.1Q得 

Px=2400-0.1×4500=1950

②y公司的边际成本 

MC=TC′=（600000+300Qy+0.2Qy2）′=300+0.4Qy

令MR=MC得：

2400-0.2Qy=300+0.4Qy 

0.6Qy=2100Qy=3500

y公司的产出为3500时，利润最大。

将Qy=3500代入P=2400-0.1Q得 

Py=2400-0.1×3500=2050 

（2）x公司产品的价格（Px=1950）低于y公司产品的价格（Py=2050），所以两个公司之间存在价格冲突。

（3）从对y公司的定价看，x公司价格低，销售价格竞争中处于优势。

但y公司产品定价的销售量占市场份额与x公司相当，说明市场竞争不仅仅是价格竞争，而要涉及到公司整体方方面面的考虑。

所以，对y公司的的定价反应，不能仅考虑价格差异，还要考虑其他因素。

5、假定一个单独垄断企业的需求和成本函数如下表所示，为了实现利润极大化，它应当确定什么样的价格？

（《导学》P102）

当价格为100元时，销售500件，销售收入为50000元，减去全部成本20000元，获得利润30000元，实现了利润极大化，所以，应当确定价格为100元。

上述计算，得出的结论：

1、单位贡献利润=P-AVC

2、全部贡献利润=Q（P-AVC）

3、MR=MC时的产出，使利润最大化。

4、利润=TR-TC=P·Q-TC

第六章

七、例题：

1、假定X企业只使用一种可变投入W，其边际销售收入产出函数为MRP=30+3W-W2，其投入W的供给价格固定为15元，求：

利润极大化时的W的投入数量。

（《导学》P107）

解：

已知边际销售收入产出函数为MRP=30+3W-W2

其利润极大化时，即对函数公式两边微分，并令其等于零，得：

dMRP/dW=（30+3W-W2）′=0 

3-2W=0W=1.5

由于投入W的供给价格为15元，所以，利润极大化时的W的投入数量为：

W=1.5×15=22.5（元）

2、完成下列表式，这个表式说明企业只使用一种投入：

问：

利润极大化的投入W的使用数量为多少？

（《导学》P108）

应记住的公式：

边际产出MPx=ΔQx/ΔLx，Lx为可变投入数量，Qx为产出数量，总收益=TR=P·Qx

边际销售收入产出MRPx=ΔTR/ΔLx=MPx·PPx=MRCx

（3）=ΔQx/ΔLx（5）=（4）×

（2）

（6）=（3）×（4）或者ΔTR/ΔLx（7）=（8）

从上表可以看出，当可变投入数量W为4单位时，边际销售收入产出为60，可变投入边际成本为55，两者最为接近，所以，利润极大化的投入W为4单位，总收益为340，总成本为220（4×55=220）,利润为120（340-220=120）。

3、完成下列表式,这个表式说明企业只使用一种投入：

问：

利润极大化的投入W的使用数量为多少？

（《导学》P108） 

记住公式：

总收益TR=P·Qx

边际产出MPx=ΔQx/ΔLx 

边际销售收入产出MRPx=ΔTR/ΔLx

平均产出收益MR=MRPx/MPx 

可变投入总成本TVC=Lx·Px

可变投入边际成本MRCx=ΔTVC/ΔLx

（3）=ΔQx/ΔLx（5）=

（2）×（4）（6）=（7）/（3） 

（7）=ΔTR/ΔLx（9）=（8）×

（1）（10）=ΔTVC/ΔLx

从上表可以看出，利润极大化的投入要素数量为4单位时，此时边际销售收入产出（MRPx=30）大于可变投入边际成本（MRCx=15），但是过了此点，在投入要素数量为5单位的情况下，边际销售收入产出（MRPx=10）小于可变投入边际成本（MRCx=22），该企业利润要减少。

所以尽管在投入要素为4单位时，该企业没有实现边际销售收入产出（MRPx）等于边际成本（MRCx）的生产要素使用理论的最优，这是因为生产要素的不可分割所决定的，但是，它实现了已有条件下的最优，此时的利润为最大，为192，即总收益（TR=240）减去可变投入的总成本（TVC=48）的结果。

第七章

八、计算公式：

1、B=（某项投资的预期收益-该项收益中的非风险收益）/（整个市场投资的平均收益-该期收益中的非风险收益）（教材P139）

2、投资要求的报酬率=无风险报酬率+风险报酬率+通货膨胀率（教材P141）

例题：

1、已知某时期市场的平均投资收益为10%，其中，无风险收益为5%，而某项投资的预期收益为15%，问：

（1）此项投资的B系数是多少？

（2）投资者是否愿意投资？

（《导学》P114）

解：

（1）已知某项投资的预期收益=15%，无风险收益=5%，

某时期市场的平均投资收益=10%，

代入B系数公式：

B=（某项投资的预期收益-该项收益中的非风险收益）/（整个市场投资的平均收益-该期收益中的非风险收益）

得出：

B=（15%-5%）/（10%-5%）=10%/5%=2

（2）由于B=2>1，说明该项目投资的风险收益大于整个市场的投资风险收益，所以，如果不考虑其他因素，投资者是不愿意投资的。

2、已知某时期国库券的收益率为5