北师大版初中数学八年级上册知识讲解 第30讲《平行线的证明》全章复习与巩固基础.docx

北师大版初中数学八年级上册知识讲解 第30讲《平行线的证明》全章复习与巩固基础.docx

《北师大版初中数学八年级上册知识讲解 第30讲《平行线的证明》全章复习与巩固基础.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版初中数学八年级上册知识讲解 第30讲《平行线的证明》全章复习与巩固基础.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北师大版初中数学八年级上册知识讲解第30讲《平行线的证明》全章复习与巩固基础

《平行线的证明》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1．了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；

2.区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；

3.理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、定义、命题及证明

1.定义：

一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

2.命题：

判断一件事情的句子，叫做命题.

要点诠释：

（1）命题一般由条件和结论组成.

（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.

（3）公认的真命题叫做公理.

（4）经过证明的真命题称为定理.

3.证明:

除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种演绎推理的过程叫做证明.

要点诠释：

实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．

要点二、平行线的判定与性质

1．平行线的判定

判定方法1：

同位角相等，两直线平行．

判定方法2：

内错角相等，两直线平行．

判定方法3：

同旁内角互补，两直线平行．

要点诠释：

根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

（1）平行线的定义：

在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.

（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：

两直线平行，同位角相等；

性质2：

两直线平行，内错角相等；

性质3：

两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：

根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．

要点三、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：

三角形的内角和等于180°．

推论：

（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

要点诠释：

（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.

（2）推论可以当做定理使用.

【典型例题】

类型一、定义、命题及证明

1.我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个命题的条件变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个命题?

试举例说明.

【答案与解析】

解：

是一个命题,例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角”.

【总结升华】如果将一个命题的条件与结论互换，则得到这个命题的逆命题，但原命题正确，逆命题不一定正确.

举一反三：

【变式】下列命题中,真命题有（）.

1若x＝a，则x2－（a+b）x+ab＝0

2直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离

3如果

＝0,那么x＝±2

4如果a＝b,那么a3＝b3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

2.如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角．

【答案】

证明：

因为∠AOC+∠COB＝180°（平角定义），

又因为∠AOC＝∠BOD（已知），

所以∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°．

所以C、O、D三点在一条直线上（平角定义），

即直线AB、CD相交于点O，

所以∠AOC与∠BOD是对顶角（对顶角定义）．

【总结升华】证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠COD＝180°．

类型二、平行线的性质与判定

3.（2019春•胶州市期中）将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．

（1）若∠BCD=150°，求∠ACE的度数；

（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；

（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．

【思路点拨】

（1）由∠BCD=150°，∠ACB=90°，可得出∠DCA的度数，进而得出∠ACE的度数；

（2）根据

（1）中的结论可提出猜想，再由∠BCD=∠ACB+∠ACD，∠ACE=∠DCE﹣∠ACD可得出结论；

（3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解．

【答案与解析】解：

（1）∵∠BCA=∠ECD=90°，∠BCD=150°，

∴∠DCA=∠BCD﹣∠BCA=150°﹣90°=60°，

∴∠ACE=∠ECD﹣∠DCA=90°﹣60°=30°；

（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：

∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，

∠ACE=∠DCE﹣∠ACD=90°﹣∠ACD，

∴∠BCD+∠ACE=180°；

（3）当∠BCD=120°或60°时，CD∥AB．

如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，

当∠B+∠BCD=180°时，CD∥AB，此时∠BCD=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°；

如图③，根据内错角相等，两直线平行，

当∠B=∠BCD=60°时，CD∥AB．

【总结升华】本题考查了平行线的判定：

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键．

4.（2018春•海珠区期末）如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，求证：

∠3+∠4=180°．

【思路点拨】欲证∠3+∠4=180°，需证BE∥DF，而由AD∥BC，易得∠1=∠3，又∠1=∠2，所以∠2=∠3，即可求证．

【答案与解析】

证明：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴BE∥DF，

∴∠3+∠4=180°．

【总结升华】此题考查平行线的判定和性质：

同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．要灵活应用．

举一反三：

【变式1】（2018春•大名）如图：

AD∥BC，∠DAC=60°，∠ACF=25°，∠EFC=145°，则直线EF与BC的位置关系是　．

【答案】

解：

平行．

∵AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC=60°，

∵∠ACF=25°，

∴∠FCB=35°，

∴∠EFC+∠FCB=145°+35°=180°，

∴EF∥BC，故答案为：

平行．

【变式2】已知：

如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3.

求证：

AB∥DC.

【答案】

证明：

∵∠ABC＝∠ADC,

∴

（等式性质）.

又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,

∴∠1＝

，∠2＝

（角平分线的定义）.

∴∠1＝∠2　（等量代换）.

又∵∠1＝∠3（已知）,

∴∠2＝∠3（等量代换）.

∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）.

类型三、三角形的内角和定理及推论

5.如图，P是△ABC内一点，请用量角器量出∠ABP.∠ACP.∠A和∠BPC的大小，再计算一下，∠ABP＋∠ACP＋∠A是多少度？

这三个角的和与∠BPC有什么关系？

你能用学到的知识来解释其中的道理吗？

你能判断∠BPC和∠A的大小吗？

【答案与解析】

解：

∠ABP＋∠ACP＋∠A＝∠BPC，∠BPC＞∠A。

证明：

如下图，延长BP到D，

则∠PDC＝∠A＋∠∠ABP，∠PDC>∠A.

同理，∠BPC＝∠PDC＋∠ACP，∠BPC>∠PDC.

所以∠BPC＝∠ABP＋∠ACP＋∠A，∠BPC＞∠A.

举一反三：

【变式1】如图,△ABC的两外角平分线交于点P,易证∠P＝90°-

∠A；△ABC两内角的平分线交于点Q,易证∠BQC＝90°+

∠A；那么△ABC的内角平分线BM与外角平分CM的夹角

∠M＝_____∠A.

【答案】

【变式2】如图,E是BC延长线上的点,∠1＝∠2.求证:

∠BAC＞∠B.

【答案】

证明：

∵∠2＝∠B+∠D

∴∠B＝∠2-∠D

又∵∠BAC＝∠1+∠D∠1＝∠2

∴∠BAC>∠B

类型四、实际应用

6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGF的度数吗？

【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因为折后重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以∠EGC＝180°－∠DEG，问题可解.

【答案与解析】

解：

因为AD∥BC（已知），

所以∠DEF＝∠EFG＝30°（两直线平行，内错角相等）.

因为∠GEF＝∠DEF＝30°（对折后重合部分相等），

所以∠DEG＝2∠DEF＝60°.

所以∠EGC＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）.

【总结升华】本题利用了：

（1）折叠的性质：

折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；

（2）平行线的性质．

【巩固练习】

一、选择题

1．下列命题中，真命题是（）.

A．任何数的绝对值都是正数B．任何数的零次幂都等于1

C．互为倒数的两个数的和为零D．在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大

2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）.

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°

B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°

3．（2018春•通川区期末）如图，如果∠1=∠2，DE∥BC，则下列结论正确的个数为（　　）

（1）FG∥DC；

（2）∠AED=∠ACB；（3）CD平分∠ACB；（4）∠1+∠B=90°；

（5）∠BFG=∠BDC．

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（）.

　　A．同位角　　　B．同旁内角　　　C．内错角　　　D.同位角或内错角

5.（2019•南湖区一模）如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=98°，则∠C的度数为（　　）

A．40°B．41°C．42°D．43°

6.如图，已知∠A＝∠C，如果要判断AB∥CD，则需要补充的条件是（）．

A．∠ABD＝∠CEFB．∠CED＝∠ADB

C．∠CDB＝∠CEFD．∠ABD+∠CED＝180°

7.如图，

，则

AEB＝（）．

A．

B．

C．

D．

8.把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论不正确的有（）．

A.

B.∠AEC＝148°C.∠BGE＝64°D.∠BFD＝116°

二、填空题

9．（荆州二模）如图所示，AB∥CD，点E在CB的延长线上．若∠ECD＝110°，则∠ABE的度数为________．

10.如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝．

11.如图所示，AB∥CD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，那么EG与FG的位置关系是．

12．（2019春•南陵县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=　　．

13．（2018春•苏州）如图所示，∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADE=∠EDF，∠CED=∠FEG．则∠F=　　．

14.我们已经证明了“三角形的内角等于180°”,易证“四边形的内角和等于360°＝2×180°,五边形的内角和等于540°＝3×180°，……”试猜想十边形的内角和等于

度．

15.五角形的五个内角的和是________.

16.如图，下面四个条件：

（1）

，

（2）

，（3）

，（4）

，

请你以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题：

如果③④

，那么②

．（只填序号即可）

三、解答题

17．如图所示，在平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，

∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．（推理过程中用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）

18.如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．

19.如图所示，已知AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x的大小．

20.（2018春•沛县期末）已知在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．

（1）∠ABC+∠ADC=　　；

（2）如图1，若DE平分∠ABC的外角，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明．

（3）如图2，若BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=

∠CDN，∠CBE=

∠CBM），试求∠E的度数．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】D；

2.【答案】A；

【解析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案.

3.【答案】C；

【解析】解：

∵DE∥BC，∴∠DCB=∠1，∠AED=∠ACB，

（2）正确；

∵∠1=∠2，∴∠2=∠DCB，∴FG∥DC，

（1）正确；∴∠BFG=∠BDC，（5）正确；

正确的个数有3个，故选：

C．

4.【答案】D；

【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两角是同旁内角.

5.【答案】B；

【解析】解：

如图，连接AO、BO．

由题意EA=EB=EO，

∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，

∵DO=DA，FO=FB，

∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，

∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，

∵∠CDO+∠CFO=98°，

∴2∠DAO+2∠FBO=98°，

∴∠DAO+∠FBO=49°，

∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=139°，

∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣139°=41°，故选B．

6.【答案】B；

7.【答案】B；

【解析】

∠EAB＝75°－25°＝50°.

8.【答案】B；

【解析】选项B中，∠AEC＝180°－32°×2＝116°，所以选项B错误.

二、填空题

9.【答案】70°；

【解析】因AB∥CD，所以∠ABC＝∠ECD＝110°，所以∠ABE＝180°-110°＝70°．

10.【答案】150°；

【解析】∠1＋∠2＋∠3＝360°，所以∠3＝360°－（115°＋95°）＝150°．

11.【答案】垂直；

【解析】

解：

EG⊥FG，理由如下：

∵AB∥CD，∴∠BEN+∠MFD＝180°．

∵EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，

∴∠GEN+∠GFM＝

（∠BEN+∠MFD）＝

×180°＝90°．

∴∠EGF＝180°-∠GEN-∠GFM＝90°．

∴EG⊥FG．

12.【答案】50°；

【解析】∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，

Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°．

13.【答案】70°；

14.【答案】1440°；

【解析】十边形的内角和:

（10-2）×180°＝1440°，

由此得n边形的内角和:

（n-2）×180°．

15.【答案】180°；

【解析】如下图，∠A＋∠C＝∠2，∠B＋∠D＝∠1，而∠1＋∠2＋∠E＝180°，从而得答案．

16.【答案】

（2）（4），

（1）；（答案不唯一，只要答案合理即可）

【解析】通过证明全等可得答案．

三、解答题

17.【解析】

解：

四边形PQMN为长方形．

在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°，

又BN、CN分别平分∠ABC和∠BCD，

∴∠N＝90°，

同理∠CMD＝∠Q＝∠APB＝90°，

又∵∠CMD＝∠NMQ，∠APB＝∠NPQ，

∴四边形PQMN为长方形．

18.【解析】

解：

因为∠1＝50°，∠2＝130°（已知），

所以∠1+∠2＝180°．

所以a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．

所以∠3＝∠1＝50°（两直线平行，同位角相等）．

又因为∠4＝50°（已知），

所以∠3＝∠4（等量代换）．

所以d∥e（同位角相等，两直线平行）．

因为∠5+∠6＝180°（平角定义），∠6＝130°（已知），

所以∠5＝50°（等式的性质）．

所以∠4＝∠5（等量代换）．

所以b∥c（内错角相等，两直线平行）．

因为a∥b，b∥c（已知），

所以a∥c（平行于同一直线的两直线平行）．

19.【解析】

解：

过E点作EF∥AB，则∠3＝180°-∠1＝70°．

因为EF∥AB，AB∥CD，

所以EF∥CD．

所以∠4＝180°-∠2＝55°．

所以∠x＝180°-∠3-∠4＝55°．

20.【解析】

（1）解：

∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=360°﹣90°×2=180°；

故答案为：

180°；

（2）解：

延长DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，

∴∠CDE=

∠ADC，∠CBF=

∠CBM，

又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC，

∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°，

∴DG⊥BF，

即DE⊥BF；

（3）解：

由

（1）得：

∠CDN+∠CBM=180°，

∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，

∴∠CDE+∠CBE=

×180°45°，

延长DC交BE于H，

由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，

∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，

∴∠E=90°﹣45°=45°．