北师大版初中数学八年级上册知识讲解 第30讲《平行线的证明》全章复习与巩固基础.docx

1、北师大版初中数学八年级上册知识讲解 第30讲平行线的证明全章复习与巩固基础平行线的证明全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1 了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.【知识网络】【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点诠释：（1）命题一般由条件和结论组成. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题

2、称为定理.3.证明: 除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种演绎推理的过程叫做证明. 要点诠释：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论要点二、平行线的判定与性质1平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行判定方法2：内错角相等，两直线平行判定方法3：同旁内角互补，两直线平行要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的

3、两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角要点诠释：（1）由一个公理或定

4、理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.【典型例题】类型一、定义、命题及证明1. 我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个命题的条件变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个命题?试举例说明.【答案与解析】解：是一个命题,例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角”.【总结升华】如果将一个命题的条件与结论互换，则得到这个命题的逆命题，但原命题正确，逆命题不一定正确.举一反三：【变式】下列命题中,真命题有( ) .1 若xa，则x2(a+b)x+ab02 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离3 如果 0,那么x2

5、 4 如果ab,那么a3b3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C2.如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且AOCBOD，试证明AOC与BOD是对顶角【答案】 证明：因为AOC+COB180(平角定义)， 又因为AOCBOD(已知)， 所以BOD+COB180，即COD180 所以C、O、D三点在一条直线上(平角定义)， 即直线AB、CD相交于点O， 所以AOC与BOD是对顶角(对顶角定义) 【总结升华】证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即COD180类型二、平行线的性质与判定3. （2019春胶州市期中）将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一

6、起（如图），其中A=30，B=60，D=E=45（1）若BCD=150，求ACE的度数；（2）试猜想BCD与ACE的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究BCD等于多少度时，CDAB，并简要说明理由【思路点拨】（1）由BCD=150，ACB=90，可得出DCA的度数，进而得出ACE的度数；（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由BCD=ACB+ACD，ACE=DCEACD可得出结论；（3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解【答案与解析】解：（1）BCA=ECD=90，BCD=150，DCA=BCDBCA=15090=60，ACE=ECDDCA=

7、9060=30；（2）BCD+ACE=180，理由如下：BCD=ACB+ACD=90+ACD，ACE=DCEACD=90ACD，BCD+ACE=180；（3）当BCD=120或60时，CDAB如图，根据同旁内角互补，两直线平行，当B+BCD=180时，CDAB，此时BCD=180B=18060=120；如图，根据内错角相等，两直线平行，当B=BCD=60时，CDAB【总结升华】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键4. （2018春海珠区期末）如图，已知ADBC，1=2，求证：3+4=180【思路

8、点拨】欲证3+4=180，需证BEDF，而由ADBC，易得1=3，又1=2，所以2=3，即可求证【答案与解析】证明：ADBC，1=3，1=2，2=3，BEDF，3+4=180【总结升华】此题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补要灵活应用举一反三：【变式1】（2018春大名）如图：ADBC，DAC=60，ACF=25，EFC=145，则直线EF与BC的位置关系是 【答案】解：平行ADBC，ACB=DAC=60，ACF=25，FCB=35，EFC+FCB=145+35=180，EFBC，故答案为：平行【变式2】已知：如图，ABCADC，B

9、F、DE分别平分ABC与ADC，且13.求证：ABDC.【答案】证明：ABCADC,（等式性质）.又BF、DE分别平分ABC与ADC,1，2（角平分线的定义）.12（等量代换）.又13（已知）,23（等量代换）.ABDC(内错角相等，两直线平行).类型三、三角形的内角和定理及推论5.如图，P是ABC 内一点，请用量角器量出ABP.ACP.A和BPC的大小，再计算一下，ABPACPA是多少度？这三个角的和与BPC有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断BPC和A的大小吗？【答案与解析】解：ABPACPABPC，BPCA。证明：如下图，延长BP到D，则PDCAABP，PDCA. 同

10、理，BPCPDCACP，BPCPDC.所以BPCABPACPA ，BPCA .举一反三：【变式1】如图,ABC的两外角平分线交于点P,易证P90-A；ABC两内角的平分线交于点Q,易证BQC90+A；那么ABC的内角平分线BM与外角平分CM的夹角M_A.【答案】【变式2】如图,E是BC延长线上的点,12.求证:BACB.【答案】证明：2B+D B2-D 又BAC1+D 12 BACB类型四、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角EFB30，你能说出EGF的度数吗？【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以ADBC，可得DEFEFG30，又因为

11、折后重合部分相等，所以GEFDEF30，所以DEG2DEF60，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以EGC180DEG，问题可解.【答案与解析】解：因为ADBC（已知），所以DEFEFG30（两直线平行，内错角相等）.因为GEFDEF30（对折后重合部分相等），所以DEG2DEF60.所以EGC180DEG18060120（两直线平行，同旁内角互补）.【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质【巩固练习】一、选择题1下列命题中，真命题是（ ）.A任何数的绝对值都是正数 B任何数的零次幂都等于1C互为倒数的两个数的和为

12、零D在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大2一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) .A第一次向左拐30，第二次向右拐30B第一次向右拐50，第二次向左拐130C第一次向左拐50，第二次向左拐130D第一次向左拐50，第二次向右拐1303（2018春通川区期末）如图，如果1=2，DEBC，则下列结论正确的个数为（）（1）FGDC；（2）AED=ACB；（3）CD平分ACB；（4）1+B=90；（5）BFG=BDCA1个 B2个 C3个 D4个4两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）.A同位角

13、B同旁内角 C内错角 D. 同位角或内错角5.（2019南湖区一模）如图，将ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若CDO+CFO=98，则C的度数为（）A40 B41 C42 D436. 如图，已知AC，如果要判断ABCD，则需要补充的条件是（ ） AABDCEF BCEDADB CCDBCEF DABD+CED180 7.如图，则AEB（ ） A B C D 8. 把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若EFB32，则下列结论不正确的有（ ）A. B. AEC148 C. BGE64 D. BFD116二、填空题9(荆州二模)如图所示，AB

14、CD，点E在CB的延长线上若ECD110，则ABE的度数为_ 10.如图，lm，1115，295，则3 11.如图所示，ABCD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分别是BEN和MFD的平分线，那么EG与FG的位置关系是 12（2019春南陵县期中）如图，在ABC中，ADBC，AE平分BAC，若1=30，2=20，则B=13（2018春苏州）如图所示，A=10，ABC=90，ACB=DCE，ADE=EDF，CED=FEG则F=14. 我们已经证明了“三角形的内角等于180”,易证“四边形的内角和等于3602180,五边形的内角和等于5403180，”试猜想十边形的内角和等于 度15. 五角形

15、的五个内角的和是_.16. 如图，下面四个条件：（1），（2），（3），（4），请你以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题：如果 ，那么 （只填序号即可）三、解答题17如图所示，在平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是DAB，ABC，BCD，CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（推理过程中用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）18. 如图所示，已知150，2130，450，6130，试说明ab，bc，de，ac19. 如图所示，已知ABCD，1110，2125，求x的大小 2

16、0. （2018春沛县期末）已知在四边形ABCD中，A=C=90（1）ABC+ADC= ；（2）如图1，若DE平分ABC的外角，BF平分ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明（3）如图2，若BE、DE分别四等分ABC、ADC的外角（即CDE=CDN，CBE=CBM），试求E的度数【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；2. 【答案】A； 【解析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案.3. 【答案】C； 【解析】解：DEBC，DCB=1，AED=ACB，（2）正确；1=2，2=DCB， FGDC，（1）正确；BFG=BDC，（5）正确；正

17、确的个数有3个，故选：C4. 【答案】D； 【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两角是同旁内角.5. 【答案】B； 【解析】解：如图，连接AO、BO由题意EA=EB=EO，AOB=90，OAB+OBA=90，DO=DA，FO=FB，DAO=DOA，FOB=FBO，CDO=2DAO，CFO=2FBO，CDO+CFO=98，2DAO+2FBO=98，DAO+FBO=49，CAB+CBA=DAO+OAB+OBA+FBO=139，C=180（CAB+CBA）=180139=41，故选B6. 【答案】B；7. 【答案】B； 【解析】EAB752550.8.【答案】B；

18、【解析】选项B中，AEC180322116，所以选项B错误.二、填空题9. 【答案】70； 【解析】因ABCD，所以ABCECD110，所以ABE180-1107010.【答案】150；【解析】123360，所以3360（11595）15011.【答案】垂直； 【解析】 解：EGFG，理由如下： ABCD， BEN+MFD180 EG和FG分别是BEN和MFD的平分线， GEN+GFM(BEN+MFD)18090 EGF180-GEN-GFM90 EGFG12.【答案】50；【解析】AE平分BAC，1=EAD+2，EAD=12=3020=10，RtABD中，B=90BAD=903010=501

19、3.【答案】70；14.【答案】1440；【解析】十边形的内角和:(10-2)1801440，由此得n边形的内角和:(n-2)18015.【答案】180；【解析】如下图，AC2，BD1，而12E180，从而得答案16.【答案】（2）（4），（1）；（答案不唯一，只要答案合理即可）【解析】通过证明全等可得答案三、解答题17.【解析】 解：四边形PQMN为长方形在平行四边形ABCD中，ABC+BCD180，又BN、CN分别平分ABC和BCD，N90，同理CMDQAPB90，又CMDNMQ，APBNPQ，四边形PQMN为长方形18.【解析】解：因为150，2130(已知)， 所以1+2180 所以a

20、b(同旁内角互补，两直线平行) 所以3150(两直线平行，同位角相等) 又因为450(已知)， 所以34(等量代换) 所以de(同位角相等，两直线平行) 因为5+6180(平角定义)，6130(已知)， 所以550(等式的性质) 所以45(等量代换) 所以bc(内错角相等，两直线平行) 因为ab，bc(已知)， 所以ac(平行于同一直线的两直线平行)19.【解析】解：过E点作EFAB，则3180-170 因为EFAB，ABCD， 所以EFCD 所以4180-255 所以x180-3-45520.【解析】（1）解：A=C=90，ABC+ADC=360902=180；故答案为：180；（2）解：延长DE交BF于G，DE平分ADC，BF平分CBM，CDE=ADC，CBF=CBM，又CBM=180ABC=180（180ADC）=ADC，CDE=CBF，又BED=CDE+C=CBF+BGE，BGE=C=90，DGBF，即DEBF；（3）解：由（1）得：CDN+CBM=180，BE、DE分别四等分ABC、ADC的外角，CDE+CBE=18045，延长DC交BE于H，由三角形的外角性质得，BHD=CDE+E，BCD=BHD+CBE，BCD=CBE+CDE+E，E=9045=45