太阳能小屋的设计.docx

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太阳能小屋的设计太阳能小屋的设计2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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基于多元组合优化模型的太阳能小屋设计摘要设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面铺设光伏电池，不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，故研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设非常重要。

本文通过对太阳能小屋外表面光伏电池的优化铺设问题进行研究，采用多元组合优化模型-组合优化方法，以达到小屋全年发电量尽可能大，单位面积费用尽可能小的目的。

对于问题

（1），在仅考虑光伏电池组件贴附安装以及小屋各向太阳总辐射强度的基础上，将房子的表面积看作“背包”，而使小屋全年太阳能光伏发电总量尽可能大则是实现“背包”的最大价值问题。

用模糊数学中的最大隶属原则和多元组合优化模型求解出小屋各面电池组件分组规格和数量以及相应的逆变器的容量和数量（见表2）。

对于问题

（2），就是在问题

（1）的基础上，主要考虑房顶电池板的朝向和倾角可以改变这一约束条件，利用树搜索算法计算出房顶最佳倾斜角度为=49.6，并且房顶要抠去一个长3600.00mm、宽2913.44mm的天窗。

房顶太阳能光伏板的规格和数量为：

A1、C10、C7各70、20、10块；逆变器需要1个SN8、2个SN11。

东、西、南、北面墙的电池组件分组规格和数量以及相应的逆变器的容量和数量选择与问题

（1）一样。

对于问题（3），在问题

（1）、

（2）的基础上，小屋的朝向，角度，以及尺寸均可改变的条件下，考虑到光伏组件匹配和工作的稳定性及外观等因素我们在同一表面尽量选择相同类型的组件，从而可以简化问题的计算复杂度，在相对小的范围内进行优化，得出小屋顶面、东、西、南、北面各用30块B7、14块C5、18块A3、12块A1和18块A3。

在设计模型的过程中，本文考虑了小屋的美观性以及光伏组件匹配和工作的稳定性，尽量组件之间连接线路最简，并且使用的逆变器数量尽可能少，价位尽可能低，使本方案更具可行性和实用性。

关键词：

优化铺设发电量单位面积费用多元组合优化1.问题的重述在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。

在小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小的约束条件下，做出小屋外表面光伏电池的铺设方案。

再考虑到太阳能光伏板的连接以及每天的太阳辐射强度，在这一系列的约束条件下求解。

问题

（2）、（3）中是将

（1）问题中的约束条件进一步改变：

（2）中选择架空方式就是考虑房顶的角度和面积可调（3）中对小屋进行重新设计就是小屋的朝向以及面积均可变化。

所以，设计小屋的铺设方案达到如下的要求：

（1）小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大；

（2）单位发电量的费用尽可能小；（3）小屋的尺寸符合附件中的要求；（4）光伏分组阵列的端电压满足逆变器直流输入电压范围；（5）光伏阵列的最大功率不能超过逆变器的额定容量；（6）根据设计的电池组件分组阵列的输出电压和总功率选配相应工作电压和功率的逆变器。

根据要求，设计出铺设方案，给出共需要的光伏板的数量以及不同规格的光伏板的数量以及每面墙所需的光伏板的规格和数量，根据光伏电池组件的输出电压和总功率再选出相应的逆变器，最终满足小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小。

在设计过程中，有满足不同约束的多种方案的对比，每种方案各有优势和改进的方向，如果实际综合运用各种方案，效果就会更理想。

2.问题的分析解决这个问题的关键之一是恰当的抽象出整体的模型。

将小屋的铺设看成一个“变形”的背包问题，小屋的表面积相当于背包，而使其全年太阳能光伏发电总量尽可能大解决的是如何设计能使其应用的价值最大，即背包的最大价值问题。

而单位发电量的费用尽可能小是求解的另一个约束。

而小屋的铺设又要考虑到太阳辐射强度以及太阳辐射角度的问题，即在第一问求解的基础上再改变约束条件求解即可。

对于问题

（1）根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件对小屋进行铺设，使全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小。

（1）影响年发电量的因素有小屋所铺的光伏电池板的面积，光伏电池板的转换效率以及太阳总辐射强度。

（2）各面的结构不同，所铺设的方案要满足各面的面积约束，故要分开考虑。

（3）光伏电池组件的规格不同，其面积和转化效率也不同，故要考虑到规格选择时，房子表面积和发电量的约束。

（4）做出铺设的具体方案后，根据逆变器的选配容量光伏电池组件分组安装的容量选择逆变器的规格和容量。

对于问题

（2）考虑电池板的朝向与倾角影响到光伏电池的工作效率，选择架空方式安装光伏电池。

架空方式主要是指房顶太阳能电池板的倾角可调。

将

（1）中的解决方案中，在屋顶可以改变其倾斜角度的条件下重新铺设。

影响的因素有太阳的辐射角和大同市的经纬度。

考虑将房顶太阳能板与太阳光线垂直以获得最大的总辐射强度最大。

对于问题（3）则是考虑改变小屋的朝向以及改变小屋的外型使其尽可能更多地接收太阳辐射。

3.模型的假设与符号的说明3.1模型的假设

（1）铺设时，允许1cm误差时，模型最理想；

（2）在

（1）、

（2）问中假设小屋朝向正南；（3）光电转化效率不变；（4）所有光伏组件及逆变器在35年内均正常工作。

3.2符号的说明Xij表示i类j型电池板块数（i、j均为整数）Lij表示i类j型电池板长度；Hij表示i类j型电池板宽度；Sij=Lij*HijSij表示i类j型电池板面积；Vij表示i类j型电压；Iij表示i类j型电流；di表示i类单块价格；Wij表示i类j型功率总和；Ek表示辐射强度（某时）小时；Es表示南向总辐射强度；En表示北向总辐射强度；Ee表示东向总辐射强度；Ew表示西向总辐射强度；i表示三种材料ABC三种光伏电池板类型；J表示光伏电池板的型号；w表示总功率；表示i类j型转换效率；表示组件功率；表示逆变器额定功率；4.模型的建立与求解4.1问题

（1）的铺设方案及模型4.1.1选定光伏电池组件对小屋的各个面进行分析，由于后墙顶的坡度很大，由模糊数学中的最大隶属性原则将后房顶归入后墙计算。

考虑到，光伏太阳能板的规格和型号不同以及光伏电池组件启动发电时其表面所应接受到的最低辐射量限值，单晶硅和多晶硅电池启动发电的表面总辐射量80W/m2、薄膜电池表面总辐射量30W/m2，故对山西大同典型气象年逐时参数及各方向辐射强度的数据进行筛选和整合，得到其中总辐射量在030，3080，80以上的各个分组所占的比重。

（1）总辐射量东向总辐射强度南向总辐射强度西向总辐射强度北向总辐射强度大于等于30578773.21051043402.41872801.5911243181.05大于等于80522493.33851007701.51795135.471132000.7101表1各向总辐射量

（2）图1各向总辐射强度统计由上图分析出各向辐射强度所占的比例，分析出南向以总辐射量80W/m2、北向以80W/m2总辐射量30W/m2为主，东、西向总辐射强度分布比较相似，以80W/m2为主。

对各个面分析计算，先以一种类型版的铺设为主，再添加另一类型的板子进行补充，利用多元线性组合优化模型，列出目标函数全年太阳能光伏发电总量，而单位发电量的费用尽可能小。

以西面墙为例,计算如下：

目标函数为：

（5.1.1）（5.12）约束条件为：

（5.1.3）（5.1.4）若大于等于30则i=3；若大于等于80则i=1,2,3；将数据代入上式得出西面墙的光伏电池组件搭配，其他面同理可得，结果见表2。

再依据相同型号的光伏组件进行串，多个光伏组件串联后可以再进行并联，并联的光伏组件端电压相差不应超过10%来进行光伏电池板之间的实际连接，并且考虑到美观性以及尽量简化线路来达到所用费用尽可能低。

4.1.2逆变器的选配依据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量时要满足一下要求：

a）光伏分组阵列的端电压应满足逆变器直流输入电压范围；b）光伏阵列的最大功率不能超过逆变器的额定容量。

由此列出约束条件：

（5.1.5）将数据代入计算，考虑到光伏组件匹配和工作的稳定性及外观等因素我们在同一表面尽量选择相同类型的组件，从而可以简化问题的计算复杂度，在相对小的范围内进行优化，并考虑a）、b）条件，将5.1.1中计算得出的光伏电池板进行同类的尽量先串联然后并联，再与不同类的光伏电池板进行并联，以得到尽可能小的输出直压，以便选择价位相对低的逆变器。

综上，得出各个面的光伏电池板组件的规格和数量，以及各个面中所用的逆变器的数量，并画出了小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，以及电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表（见表2）。

方位PV电池类型开路电压（Voc）电池组搭配（个）总电池电压（V）总功率（KW）逆变器型号逆变器额定功率标注南立面A146.13+31381.29SN72.4A1与A3可并C826.710+92600.152SN110.8A346.13个1381.2SN72.4东立面A146.14个184.40.86SN121.6C1和C6可并B333.66201.60.216SN121.6C113822760.2SN110.8C262.32124.60.116SN110.8C626.792400.036SN110.8C712.6450.40.016SN110.8西立面A146.15+52302.15SN132.4C262.342490.232SN110.8C712.6225.20.016SN10.4北立面C51002+2+2+2+22005.5SN156C926.75+5133.50.12SN72.4C11552+2+21100.3SN110.8C11003+33000.828SN121.6顶视图A246.913+3140.731.95SN72.4A2和A3可并B137.916227.461.59SN121.6A346.13138.30.6SN72.4B737.838+83004SN144表2电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图如下：

图2西面墙光伏电池组件铺设分组阵列图形图3西面墙电池组件连接方式（串、并联）示意图其他面的光伏电池组件铺设分组阵列图形及连接方式（串、并联）示意图如下：

图4东面墙光伏电池组件铺设分组阵列图形A1A1A1A1A1A1A1A1A1A1SN3C2C2C2C2SN11C7SN1C7图5东面墙电池组件连接方式（串、并联）示意图图6南面墙光伏电池组件铺设分组阵列图形A1A1A1A1SN12B3B3B3B3B3B3SN12C1C1C6C6C6C6C6C6C6C6C6SN11C2C2SN11C7C7C7C7SN11A1A1A1A1A1A1A1A1A1SN7图7南面墙电池组件连接方式（串、并联）示意图图8顶面光伏电池组件铺设分组阵列图形C8C8C8C8C8C8C8C8C8C8SN11C8C8C8C8C8C8C8C8C8A2A2A2A2A2A2A2A2A2SN7B1B1B1B1B1B1SN12图9顶面电池组件连接方式（串、并联）示意图图10北面墙光伏电池组件铺设分组阵列图形B7B7B7B7B7B7B7B7B7B7B7B7B7B7B7B7SN14C5C5C5C5C5C5C5C5C5C5SN15C11C11C11C11C11C11C11C11C11C11SN7C1C1C1C1C1C1SN12图11北面墙电池组件连接方式（串、并联）示意图光伏电池组件的型号和数量以及逆变器的型号和数量确定后，用目标函数（5.1.1）计算出各个墙面的发电量以及总的发电量，用（式5.1.2）计算出发电的费用，并将一年的成本与其收入做比较，得出太阳能发电其实短时间内盈利很少。

先将各个面的单位产能和成本以及各个面得总发电量、收入、费用列表如下（表3、表4）。

方位单位产能成本南立面0.71619504294210.8599447045229.61.40957406719140东立面0.199914197140.115901105226500.03653322854600.016073645056.82.149861764672.80.2318022114576.8西立面0.00803682423350.999465613.60.11953562938.4北立面0.300071688268000.599742107761.93529456659401.5903468997800.61202121639255C11C11C11C11C11C11SN11房顶4.000531226775191400.71619504653000.859944704370574表3各个面的单位产能和成本电量收入费用东1567.5011783.7505562130.4西2105.8951052.947550887北527.87587263.93793553296顶14257.534597128.767295249889南2266.189551133.09477553790.6故电池板的发出的电能，收入及盈利的状况如（表5）所示。

电池板的发出的电能盈利（元）35年收入总电能KWH10493.2374367263.309120986.475.2问题

（2）的铺设方案及模型问题

（2）是在考虑架空方式的条件下对问题一重新考虑，而架空方式只能是屋顶的朝向和倾斜角度变化，在这个条件的约束下以达到全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小的目的。

实质上是在问题

（1）的基础上，增加一个房顶倾斜角度可调的约束条件来进一步求解。

此时，就要考虑太阳的方位角。

方位角（一天中负荷的峰值时刻（24小时制）12）15（经度116）太阳能光伏电池板处于不同方位角时，日射量与时间推移的关系曲线。

在不同的季节，各个方位的日射量峰值产生时刻是不一样的。

故由大同市的经度为计算出其方位角。

要计算方位角，首先要计算一天中负荷的峰值时刻，故对附件4中的水平面总辐射强度的数据进行分析、筛选，水平面总辐射强度的峰值出现在春分、夏至、秋分、冬至这四天中，故对这四天的数据进行画图拟合，得到这四天中总辐射强度随时间变化的曲线（图12）图12总辐射强度变化曲线对这四天中的峰值求平均数，得出总辐射强度的峰值出现在12.58时刻，代入到方位角公式计算得方位角为：

32.91。

在方位角为32.91的条件下，计算出房顶的倾斜角，让太阳能板与太阳光线恰好垂直，以获得最大的辐射强度，从而使发电效率最大。

计算倾斜角的公式为：

（水平面总辐射强度-水平面散射辐射强度）/法向直射辐射强度=（5.2.1）依据公式并计算出每个时刻所对应的倾斜角，并统计列表如下（表6）范围个数角度范围个数0.30-0.32470.00.11618415-901610.34-0.36730.10.22467827-84152460.36-0.38870.20.33537232-78273530.38-0.40960.30.43656625-72323650.40-0.42930.40.550560-66255050.44-0.461030.50.6369537-603690.46-0.481120.60.72934534-5372930.48-0.50690.70.82983652-45342980.50-0.52750.80.93052550-36523050.52-0.54710.91.01920-25501920.54-0.56790.56-0.5884表6不同时刻所对应的方位角的统计用插值拟合出分布曲线，如下图所示（图13）图13不同时刻所对应的方位角的统计由图分析知，倾斜角的众数大约在4550，故缩小步长，用差值拟合出4550内倾斜角的分布图（图14）图146066方位角的分布由图知，倾斜角的众数为49.6。

故倾斜角选用49.6时来计算房顶最合适的朝向，考虑到房顶的天窗问题，故太阳能板要扣除天窗的位置，以免阻挡光线，具体计算原理图如下（图15）图15倾角计算原理图根据原理图，有多元组合优化模型，列出目标函数和约束条件：

目标函数为：

（5.2.2）（5.2.3）约束条件为：

m=7100（5.2.4）（5.2.5）Xijhij（5.2.6）ij（5.2.7）为天窗的宽度；为天窗的长度；计算得出，在倾斜角为=62.612时，=87.365时可以达到最佳的辐射强度，从而进行光伏电池的铺设，此时，由正弦定理得y=14184.98mm。

=2913.44mm;=10100.00mm.房顶太阳能光伏板的规格和数量为：

A1、C10、C7各70、20、10块；逆变器需要1个SN8、2个SN11。

东、西、南、北面的墙的太阳能光伏电池板的选择以及逆变器的选择与问题

（1）一样。

房顶具体光伏电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图见图16、图17。

图16改变倾角后房顶光伏电池组件铺设分组阵列图形图17改变倾角后房顶电池组件连接方式（串、并联）示意图光伏电池组件的型号和数量以及逆变器的型号和数量确定后，用目标函数（5.2.2）计算出各个墙面的发电量以及总的发电量，用（式5.2.3）计算出发电的费用，并将一年的成本与其收入做比较，得出太阳能发电其实短时间内盈利很少。

先将各个方位的PV电池类型、电池组搭配、转换效率、单个电池面积、逆变器型号、逆变器的价格列表格（表7）进行整理运算，并在此基础上计算出重新设计房顶后的总费用以及每年的收入，进而计算得出盈利状况。

方位PV电池类型电池组搭配（个）转换效率（%）单个电池面积（m2）转换效率（%）单个电池面积（m2）逆变器型号逆变器额定功率逆变器价格表南立面A1616.84%1.2766416.84%1.27664SN72.410200C8193.66%0.2183253.66%0.218325SN110.84500A3318.70%1.2766418.70%1.27664SN72.410200东立面A1416.84%1.2766416.84%1.27664SN121.66900B3615.98%1.47014415.98%1.470144SN121.66900C126.99%1.436.99%1.43SN110.84500C226.17%0.9392316.17%0.939231SN110.84500C693.63%0.1118253.63%0.111825SN110.84500C743.63%0.11073.63%0.1107SN110.84500西立面A11016.84%1.2766416.84%1.27664SN132.410300C246.17%0.9392316.17%0.939231SN110.84500C723.63%0.11073.63%0.1107SN10.42900北立面C5106.49%1.546.49%1.54SN15622000C9103.66%0.32663.66%0.3266SN72.410200C1164.27%1.171244.27%1.17124SN110.84500C166.99%1.436.99%1.43SN121.66900顶部新A17016.84%1.2766416.84%1.27664SN8415300C10204.13%0.290394.13%0.29039SN110.84500C7103.63%0.11073.63%0.1107SN110.84500表7电池类型、电池组搭配、转换效率方位单位产能成本南立面1.289917056294210.1518232055229.60.7161950419140东立面0.859944704197141.409574067226500.19991454600.1159011055056.80.0365332284672.80.016073644576.8西立面2.14986176423350.2318022115613.60.008036822938.4北立面0.99946268000.1195356107760.30007168859400.5997429780房顶2.149861762395450.07195864256520.024110464692469993表8各个面的单位产能和成本5.3问题（3）的铺设方案及模型重新设计小屋的朝向，尺寸大小，这是一个非常灵活的问题。

依旧将问题抽象为“背包”问题，而“背包”外形和大小均可以改变。

综合考虑光伏电池板的尺寸以及其对应的转化效率以及小屋采光要求至少应满足窗地比（开窗面积与房间地板面积的比值，可不分朝向）0.2，各个墙面的设计思路如下：

（1）东西面墙相互对应，各有一780808的窗户，满足通风要求，并且两墙上的窗户对流通风，挖去窗户后形状相对规则，故选择A1和A3均可，但是A3效率较高，故整面墙都