高中数学概率教学研究.docx

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高中数学概率教学研究

高中数学“概率”教学研究

梁丽平人民大学附属中学

一、整体把握高中“概率”教学内容

随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础．因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识．

高中数学“概率”位于必修三和选修2-3（理科限选）．主要知识如下：

（一）概率知识结构图

课标要求：

必修三：

（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．

（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式．

（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．

（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义．

（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程．

选修2-3

（1）在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．

（2）通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．

（3）在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．

（4）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

（5）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

（二）重点难点分析

必修三概率部分：

概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义．高中“概率”，是在义务教育阶段的基础上，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，并学习用随机模拟的方法估计简单随机事件发生的概率．

选修2-3（理科限选）部分：

主要内容是离散型随机变量的分布列．研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型．

结合课标要求，可得如下教学的重点和难点：

重点：

从思想方法的角度：

重点是对随机现象的理解，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，从而正确理解概率的意义；

从知识技能的角度：

一是概率的统计定义；

二是古典概型以及概率的加法公式；

三是离散型随机变量的分布列，以及随机变量的数字特征——期望、方差．具体地说：

二项分布（期望、方差）和超几何分布（期望）

难点：

正确理解概率的意义；几何概型；条件概率；

二、高中“概率”教与学的策略

（一）“概率的定义”的教学策略

学生在义务教育阶段已经学习过概率，

（1）知道随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述．

（2）能列出随机现象所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件发生的概率．

（3）知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率．

那么，学生在高中学习概率定义，与义务教育阶段的学习有何区别？

重点应该强调的是什么？

主要有两点：

（1）加强对随机现象的认识，

（2）将“通过大量地重复试验，用频率来估计概率”这种直观地感性认识逐步提升到理论的层面，学习“概率的统计定义”．

如何做到这些呢？

老师首先需要提升认识：

历史上，概率源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：

同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：

事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比．

 古典定义适用的条件有二：

（1）可能结果总数有限；

（2）每个结果的出现有同等可能．其中第

（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提．

这就使得古典定义的方法能应用的范围很窄，同时还有一些数学上的问题（贝特朗悖论）．

1919年，德国数学家冯.米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：

在做大量重复试验时，随着试验次数n的增加，某个事件出现的频率m/n总是在一个固定数值p的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值p定义为这一事件的概率．

 虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率，但是却给出了一个估计概率的方法．而且，它不再需要“等可能”的条件，因此，从应用的角度来讲，它的适用范围更广．但是从数学理论上讲，统计定义仍然是有问题的．有循环定义之嫌．

因为定义中出现了‘可能性’．这指的就是概率．（类似地在古典概率定义中通常出现‘等可能性’）．你可以设法避免这类词出现，但其本质的意义无法避免．事实上，概率的统计定义的数学描述是（弱）贝努里大数律（老师们在大学都学过）：

它说的是：

当试验次数

时，一个事件发生的频率

与某个常数p的偏差

大于任一个正常数

的可能性趋于零．之所以不能用这个式子中的常数p作为‘概率’的定义，是因为在这个式子中已经有了‘概率’

．

也就是说：

概率的概念笼统说并不难，但若深入到理论或哲学中去讨论，问题就有一大堆．在数学上，概率的概念是用公理化的形式定义的．

即使是大学数学系的学生，由于他们大都不学‘测度论’，也无法完整地理解这种公理体系的意义．概率的古典定义、统计定义有其时代背景和现实意义，不能因噎废食．这里希望教师了解的是，在各种教科书中出现的‘概率统计定义’,‘古典概率定义’,‘几何概率定义’都是一些描述性的说法，教师不应该过分地去揣摩，探究那里的用语，而应理解其实质．

那么，我们在中学的教学中，应该如何把握概率的概念呢？

“理解其实质”是指什么呢？

我想主要应该理解以下几点：

1．“重复试验”．“重复试验”是指条件相同下的试验，严格说在现实中两次试验条件完全相同是不可能的，这里给出的是数学模型．至于现实中哪些问题能用这个数学模型来近似描述，这是另一个问题．

2．频率和概率的关系．频率反映了事件发生频繁的程度，从而可以用来度量事件发生的可能性大小．但频率是随机的，是这n次试验中的频率．换另外n次试验，一般说，频率将不同，而概率是一个客观存在的常数．因此，人们用概率来度量事件发生的可能性．不过，在现实中，概率往往是不知道的，通常用频率来估计概率．恰如在现实中，一根木棒的长度是一个客观的常数，但其值是未知的，我们是用测量值来估计其长度，不论仪器多么精确，测得的数值都会有误差（即测量值是随机的），但总是稳定在木棒的真实长度值的附近．

3．概率反映的是多次试验中频率的稳定性．有人往往错误地以为，掷一个均匀硬币，正面出现的概率等于二分之一，就应该两次试验中出现一次正面．掷一个均匀骰子，每掷六次，各点都应该出现一次．否则就是不均匀．事实上，频率的稳定性反映的是大量试验中出现的性质，其稳定性要在试验次数很多时才体现出来．对个别的几次试验，由于其随机性，是无法预料的．

4．随着试验次数的增加，频率趋于概率？

请正确理解

与

的区别．正确的应该是：

即使n非常大，出现频率偏离概率较大的情形也是可能的，这是随机现象的特性．在概率的教学中，对一些学生容易产生误解的地方，有人建议用试验的办法帮助学生理解，这当然是很好的．例如，在讨论抽签与抽取顺序无关时，就可以用试验来模拟．但必须注意到频率偏离概率大的情形．例如,扔一百个均匀硬币，一面出现30个，另一面出现70个，是不奇怪的．对此教师应有充分的认识．

5．结果的随机性不同于结果未知．比如，至今人们还不知道哥德巴赫猜想是否成立，但这个命题没有任何随机性．

6．用频率估计概率，一定要大量试验？

实验次数多少合适？

狄莫弗-拉普拉斯极限定理给出了解答：

．（*）

  其中

，

为标准正态分布的分布函数．

例如掷硬币的问题，若要保证有95%的把握使正面向上的频率与其概率0.5之差落在0.1的范围内，那要抛掷多少次？

根据（*）式，可以估计出

．

有人认为概率的统计定义没什么可讲的，学生有生活经验，很容易理解．从某一方面看，确实如此．学生不难理解掷均匀硬币时，出现正面的可能性是二分之一；掷均匀骰子时，出现各个点数的可能性都是六分之一，等等．（不过，从历史上看，人们认识到这一点是经过了很长的一个时期的．教科书上记载的那些历史上掷硬币的试验说明了这一点．之所以会做这么多的试验，就是因为人们在过去认识不到这种频率的稳定性．）

根据以上分析，我们可以确定这一节课的教学策略：

1）首先通过大量实例，体会随机事件发生的不确定性，归纳出随机事件的概念．

2）然后再深入情境，体会随机事件的规律性．

通过发现随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性，认识概率的意义．很自然地提出问题：

如何把握规律？

3）从已有的生活经验中提取信息，体会可以用（大量重复）试验的方法来估计概率．

紧紧抓住大量、重复这两个关键词，认识用大量重复试验的频率来估计事件的概率这种方法．

4）通过数学实验，观察频率，再次体会随机性与规律性，形成概率的统计定义．

其中还可以结合历史上科学家们做抛掷硬币实验的例子，让学生在了解史实的同时，进一步体会大量重复试验的必要性．

（二）古典概型的教学

需要明确的是古典概率是一类数学模型，并非是现实生活的确切描述．扔一个硬币，可以看成只有两个结果：

“正面向上”和“正面向下”．每个结果出现的可能性相同，从而符合古典概率的模型．但现实情况是，硬币可能卡在一个缝中，每一面既不向上也不向下．另外,硬币是否均匀，也只能是近似的．

同一个现实对象可以用不同的模型来描述．例如物理上，地球有时被看成是一个质点（在研究天体运动时），有时被看成椭球（飞机的航程），有时被看成平面（人在地面行走时）．在这里同样如此．同一个问题可以用不同的古典概率模型来解决．在古典概率的问题中，关键是要给出正确的模型．一题多解所体现的恰是多个模型．下面举一个例子．

例1．某人有6把钥匙，但忘记了打开房门的钥匙是哪一把．于是，他逐把不重复地试开．若6把中只有1把能打开房门，则

（1）恰好第三次打开房门的概率是多少？

（2）最多3次试开一定能打开房门的概率是多少？

解法1：

把6把钥匙分别编号，能打开房门的钥匙记为“k”．把用6把钥匙逐把试开房门当作一次试验（即把6把钥匙全部试完，不论能否打开房门），于是每个基本事件就相当于6把钥匙的一个全排列，所有基本事件的个数为

．这些结果是等可能的．

恰好第三次打开房门，即“k”排在第3位上，共有

种结果，故“恰好第三次打开房门（设为事件A）”的概率为

．

最多3次试开一定能打开房门，即“k”排在前3位上，共有

种结果，故“最多3次试开一定能打开房门（设为事件B）”的概率为

．

解法2：

由于本题中讨论的是恰好第三次打开房门的概率，所以，我们可以着眼于前三次，把“从6把钥匙中选出3把，逐把试开房门”当作一次试验．于是，所有基本事件的个数为

．这些结果是等可能的．

（1）

；

（2）

．

解法3：

还可以着眼于k的位置．把“用6把钥匙逐把试开房门”当作一次试验（即把6把钥匙全部试完，不论能否打开房门），但只考虑第几次能打开房门，也就是考虑k排在第几位，这样，就只有6个基本事件．

（1）

；

（2）

．

解法4：

仍把钥匙如前编号．我们只关注第三次（前三次）取到的钥匙．第三次取到的钥匙显然是这6把钥匙之一，即，有6种结果．且每个结果出现的可能性都是相同的．当第三次取到“k”时，第三次恰好打开房门．因此，“恰好第三次打开房门”的概率为

；最多3次试开一定能打开房门的概率为

．

我们希望通过这样的例子让学生很好地体会概率的古典模型、体会概率模型的意义．但其中排列组合并非必要的知识．

若将问题改为：

有1个黑球和5个白球（除颜色外它们都相同）放在一个袋中，现从中取球，取出记录颜色后再放回．求“第3次取到黑球”的概率．

解：

由于是有放回地抽取，所以，每次抽取都可以看做是相互独立的，故第3次取到黑球的概率为

．

对古典概率模型的认识在具体题目中要注意以下问题：

（ⅰ）等可能性与非等可能性；

（ⅱ）有序取与无序取；

（ⅲ）有放回取与不放回取；

（ⅳ）通过全排列的方法，更容易构造等可能事件．

（三）紧扣“等可能”，突破几何概型教学的难点

前一阵在《中学数学教学参考》上看到这样一个例子：

1．等腰RtΔABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率

2．等腰RtΔABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率

前者的概率是

，后者的概率是

这两个看上去很相近的问题，答案为什么会不同呢？

这个问题引起学生的很多的困惑．其实，要解决它，还得回到几何概型的定义．

几何概型的定义是：

对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域Ω内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件A的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域D中的点，这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这样的方法处理随机试验，称为几何概型．

从几何概型的定义我们可以看出：

解决几何概型问题的基本步骤是：

（1）找出等可能基本事件；

（2）对应几何图形（所有等可能基本事件所在的区域Ω和随机事件中等可能基本事件所在的区域A）；（3）由区域确定测度．

第一个事件所对应的等可能基本事件应该是在线段AB上随机取一点，这一点落在这个线段上是等可能的．

第二个事件所对应的等可能基本事件应该是在直角区域内任取一条射线，显然若射线等可能出现在直角区域内，则点M就不可能等可能出现在线段AB上．

如何确定等可能基本事件？

抓住“任意”、“随机”等词，确定等可能的基本事件空间．

贝特朗悖论：

几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识．然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指几何概率概念本身：

在一个圆内随机地画一条弦，它的长度大于该圆内接等边三角形边长的概率是多少？

从不同方面考虑，可得不同结果：

（1）由于对称性，可预先指定弦的方向．作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长．所有交点是等可能的,则所求概率为1/2．

（2）由于对称性，可预先固定弦的一端．仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求．所有方向是等可能的，则所求概率为1/3．

（3）弦被其中点位置唯一确定．只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求．中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4．

这导致同一事件有不同概率，因此为悖论．

得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：

在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布．这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．

三个结果都正确！

——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因．

这一悖论揭示了几何概率在19世纪刚兴盛时期存在着其逻辑基础的脆弱性，也反映出古典概率有着相当的局限．这也推动了20世纪概率论公理化工作的早日到来．

关于这个悖论有很多种讨论，在此不一一赘述．老师们只需明白的是确定“等可能基本事件”的重要性，在解决几何概型问题时，必须找准观察角度、明确随机选择的意义、判断好基本事件的等可能性．

如何对应几何图形？

有的问题，几何特征较为明显，能迅速找到相应的几何图形，计算其测度．但有的问题中，找到相应的几何图形较为困难．如：

例．一家快递公司的投递员承诺在上午9：

00—10：

00之间将一份文件送到某单位．

（Ⅰ）如果这家单位的接收人员在上午9：

45离开单位，写出他在离开单位前能拿到文件的概率；

（Ⅱ）如果这家单位的接收人员将在上午9：

30—11：

00之间离开单位，那么他在离开单位前能拿到文件的概率是多少？

解：

（Ⅰ）所求事件的概率为

．

（Ⅱ）设

为投递员到达该单位的时间，

为接受人员离开单位的时间．

可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为

，

这是一个长方形区域，面积为

．

设事件

表示“接受人员在离开单位之前能拿到文件”，则事件

所构成的区域为

，

面积为

．

这是一个几何概型，所以

．

即接受人员在离开单位之前能拿到文件的概率为

.

利用几何概型可以很好地给出随机模拟的思想．随机模拟的思想十分重要，老师应给予充分的重视．这里就不多说了．

（四）条件概率与事件独立性的教学

课标要求：

了解．

条件概率：

对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，记作：

P（B|A）

计算公式：

.

例1．某科动物出生后活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.56，求现年为20岁的该科动物活到25岁的概率．

设A表示“活到20岁以上”，B表示“活到25岁以上”，则有P（A）=0.7，

，所求的实际上是

 =0.8.

例2．某电子元件厂有职工180人，男职工100人，女职工80人，男、女职工中非熟练工人分别有20人和5人，现从该厂中任选一名职工，若已知被选出的是女职工，求她是非熟练工人的概率．

设A表示“任选一名职工为女职工”，B表示“任选一名工人为非熟练工人”，则所求就是“在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）”．

方法一：

公式法 

，

，（

，显然

）

.

方法二：

缩小样本空间 P（B|A）=5/80=1/16.

需要注意的是：

1.条件概率中的事件A、B，指的是任何两个事件A和B（事件A、B不一定有包含关系）．

2.分清“AB同时发生”P（AB），还是“在A发生的条件下B发生”P（B|A）

事件的独立性

若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即

，（

），则称事件A、B相互独立．

此时，

事实上，

，

，

相互等价．

独立的直观概念并不难理解．现实中许多问题可以近似看成是相互独立的．例如，对一组对象有放回地抽取；重复地投掷硬币或骰子；不同射手的射击等等．因此，在概率论的研究中，我们给出的数学模型通常会根据其背景假设它满足独立的条件或不满足独立的条件．而不是通过验证

是否成立来判断A、B是否独立．

（五）正确区分概率模型，准确解决概率问题

概率可以进行运算，互斥事件和相互独立事件是概率加、乘两种运算在两个特殊概率模型中的体现．

互斥事件：

是指在同一个试验下，不可能同时发生的两个事件．

特例：

对立事件——在同一试验下必有一个发生的互斥事件．

相互独立事件：

在两个或多个独立实验下，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．

特例：

独立重复实验，将同一实验独立重复n次，研究同一事件发生k次的概率．

正确区分概率模型，有助于准确解决概率问题．

例1．一个口袋中装有大小相同的1个红球，2个黑球和3个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．

（Ⅰ）连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；

（Ⅱ）如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过2次的概率．

解：

（Ⅰ）古典概型

从袋中依次摸出2个球共有6×5=30种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有2×3=6种结果，

则所求概率

．

（Ⅱ）互斥事件有一个发生的概率．

第一次摸出红球的概率为

，第二次摸出红球的概率为

，则摸球次数不超过2次的概率为

．

例2．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.

方法一：

在10箱中各任意抽查一枚；

方法二：

在5箱中各任意抽查两枚.

国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为

和

.则

（A）

  （B）

  （C）

  （D）以上三种情况都有可能

答：

B

解：

每箱抽查可看做相互独立．考查不放回的抽样、重点考查二项分布的概率．

方法一：

每箱不能选中劣币的概率均为

，故至少发现一枚劣币的概率为

；

方法二：

每箱不能选中劣币的概率均为

，故至少发现一枚劣币的概率为

，因为

，显然

<

．

例3．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T

，T

，T

，T

，电源能通过T

，T

，T

的概率都是

，电源能通过T

的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立．已知T

，T

，T

中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求

；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．

分析：

本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率．

解：

记

依次表示事件：

电流能通过

A表示事件：

中至少有一个能通过电流，

B表示事件：

电流能在M与N之间通过，

（Ⅰ）

相互独立，

，

又

，

故

，

（Ⅱ）

，

=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891

1、概率计算中首先要明确随机事件是什么，正确识别概率类型.

2、会将复合事件的概率分解为若干个已知概率或易求概率的事件的“和”或“积”.

（六）随机变量的分布列的教学

在必修课程概率的学习中，学生已经对随机事件发生的不确定性和频率的稳定性有了一定的了解，结果的随机性和频率的稳定性是随机现象的两个最基本的特点，那么，怎样才算把一个随机现象的规律研究清楚了？

了解一个随机现象的规律，就是指了解这个随机现象中所有可能出现的结果及每个结果的概率．为了在数学上处理，一个常用的做法就是：

把每一个可能出现的结果都对应一个数，实际上是建立一个从实验结果的集合到实数集合的映射，这就引出了离散型随机变量及其分布列的概念．

超几何分布、二项分布、正态分布是几类特殊的分布，尽管这些分布无法覆盖各种各样的随机现象，但他们描述了随机现象中最有用，最常见的情形，他们有助于我们对一般随机现象的理解和讨论．

1．注重对具体分布模型的认识和应用

注意超几何分布的使用条件为不放回地抽取，二项分布的使用条件为n次独立重复实验相当于有放回抽取．

二项分布：

n次独立重复试验中，事件A发生的次数ξ服从二项分布：

．

超几何分布：

设有N个产品，其中有M个次品（M≤N），从中任取n个，令ξ表示取到的次品数，则

． k=0，1，2，…，min（M,n）

称随机变量ξ服从超几何分布，其中N，M，n是分布的参数．

例如从全班任取n个人，取到女生的人数；从扑克牌中取n张，取到黑桃的张数；买n张彩票，中奖的张数，等等都可以用超几何分布描述．

正态分布，要从频率分布直方图到总体分布的过程，让学生明确总体分布的来源，从而了解正态分布密度函数的意义．在此基础上，直观认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．了解正态曲线随着μ和σ变化而变化的特点．并结合正态分布密度函数的解析式及概率的性质，了解3σ原则．

应要求学生掌握这三种分布列的结构特点，为后继学习打好基础．不过从写分布列的角度看，学生对各种分布列的特性知道与否，似乎都不太重要，因此我们在教学中遇到其它分布列（单点分布、两点分布、超几何分布、泊