河北省中考数学总复习第一编教材知识《51图形的相似与位似》精讲与精炼试题含答案.docx
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河北省中考数学总复习第一编教材知识《51图形的相似与位似》精讲与精炼试题含答案
第五章 图形的相似与解直角三角形
第一节 图形的相似与位似
河北五年中考命题规律
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
15
相似三角形判定
从一个三角形纸片剪下一个三角形，判定与原三角形相似条件
2
11
23
位似图形的性质
利用位似图形的性质证线段的数量和位置关系
9
2014
13
相似三角形、相似多边形的判定
根据已知方式变换后得到新图形，判定两个图形是否相似
3
3
2013
11
相似三角形的判定及性质
以菱形为背景，利用菱形的性质及相似三角形的判定及性质求线段长度
3
3
2017、2015年均未考查
命题规律
纵观河北近五年中考，本考点共考查了4次，题型有选择题、解答题，分值2～11分，难度中偏下，基础题为主，其中相似三角形的判定和性质考查了3次，相似多边形考查了1次（选择题）.
河北五年中考真题及模拟
图形相似的判定及性质
1．（2016河北中考）如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ C ）
A）
B）
C）
D）
2．（2014河北中考）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：
将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.
图①
图②
乙：
将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ A ）
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
图形的位似
3．（2017保定中考模拟）图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是（ D ）
A．点MB．点NC．点OD．点P
4．（2017保定中考模拟）若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是（ A ）
A．87°B．60°C．75°D．120°
5．（2017唐山中考模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是（ D ）
①∠B和∠A互为补角；②∠A和∠ADE互为余角；③△ABC∽△ADE；④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC与△ADE位似．
A．4B．2C．1D．3
6．（2016沧州八中一模）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于（ A ）
A．5∶8B．3∶8
C．3∶5D．2∶5
（第6题图）
（第7题图）
7．（2016石家庄二十八中一模）如图，在
▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线
于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4
，则△EFC
的周长为（ D ）
A．11B．10C．9D．8
8．（2016保定中考模拟）在直角坐标系中，已知点A（－2，0），B（0，4），C（0，3），过C作直线交x轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作（ C ）
A．2条B．3条
C．4条D．6条
9．（2016邯郸一模）如图，在正方形ABCD
中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（ D ）
A．4B．2
C．5D．3
10．（2016保定十七中一模）下列四组图形中，一定相似的是（ D ）
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
11．（2016石家庄二十八中一模）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.
（1）求证：
AC＝AD＋CE；
（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求
的值．
解：
（1）∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE，
∴∠ADB＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°.
∴∠ADB＝∠EBC.
又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE（ASA），
∴AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE；
（2）过点Q作QH⊥BC于点H.
则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，
∴
＝
，
＝
.
设AP＝x，QH＝y，则有
＝
，
∴BH＝
，PH＝
＋5－x，
∴
＝
，即（x－5）·（3y－5x）＝0.
又点P不与A，B重合，
∴x≠5，即x－5≠0.
∴3y－5x＝0，即3y＝5x.
∴
＝
＝
.
12．（2016河北中考）如图①，E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．
（1）AE和ED的数量关系为________；
AE和ED的位置关系为________；
（2）在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，H是B
C所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到图②和图③.
①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点，求证：
GH＝HD，GH⊥HD.
②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.（用含k的代数式表示）
解：
（1）AE＝ED；AE⊥ED；
（2）①由题意，得∠B＝∠C＝90°，
AB＝BE＝EC＝DC.
∵△EGF与△EAB的相似比为1∶2，
∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝
AB，EF＝
EB，
∴∠GFE＝∠C.
∵H是EC的中点，
∴EH＝HC＝
EC，
∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝
EB＋
EC＝
BC＝EC＝CD，
∴△HGF≌△DHC.
∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.
∵∠HDC＋∠DHC＝90°，
∴∠GHF＋∠DHC＝90°.
∴∠GHD＝90°，∴GH⊥HD；
②∵GH＝HD，GH⊥HD，
∴∠FHG＋∠DHC＝90°.
∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC.
在△FGH和△CHD中，
∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH.
∵EF＝FG，∴EF＝CH.
∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，
∴BE＝EC＝1，
∴EF＝k，∴CH的长为k.
中考考点清单）
比例的相关概念及性质
1．线段的比：
两条线段的比是两条线段的__长度__之比．
2．比例中项：
如果
＝
，即b2＝__ac__，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
性质
内容
性质1
＝
⇔__ad__＝bc（a，b，c，d≠0）．
性质2
如果
＝
，那么
＝
.
性质3
如果
＝
＝…＝
（b＋d＋…＋n≠0），则
＝__
（不唯一）__.
4.黄金分割：
如果点C把线段AB分成两条线段，使
＝__
__，那么点C叫做线段AC的__黄金分割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__．
相似三角形的判定及性质
5．定义：
对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
6．性质：
（1）相似三角形的__对应角__相等；
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__．
7．判定：
（1）__有两角__对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似；
（3）三边__对应成比例__，两三角形相似；
（4）两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定
（1）；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定
（1）]或再找夹边成比例[用判定
（2）]；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．
如：
＝
，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？
请举例说明．
相似多边形
8．定义：
对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
9．性质：
（1）相似多边形的对应边__成比例__；
（2）相似多边形的对应角__相等__；
（3）相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．
位似图形
10．定义：
如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．
11．性质：
（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的
比等于__k或－k__；
（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．
12．找位似中心的方法：
将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．
13．画位似图形的步骤：
（1）确定__位似中心__；
（2）确定原图形的关键点；
（3）确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数；
（4）作出原图形中各关键点的对应点；
（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
中考重难点突破）
比例的性质
【例1】已知
＝
＝
，且3a－2b＋c＝20，则2a－4b＋c的值为________．
【解析】比例的性质中常见题型，把a，b，c用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可．
【答案】－6
1．（2015沧州十三中一模）若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则
的值是（ A ）
A．－5B．－
C.
D．5
相似三角形的判定与性质
【例2】（茂名中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为ts
，连接MN.
（1）如图①，若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）如图②，连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
【解析】
（1）△BMN与△ABC相似，分两种情况：
△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例，求得t的值；
（2）过点M作MD⊥BC于点D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t的方程，求出t的值．
【答案】解：
（1）由题意知BA＝
＝10（cm），BM＝3tcm，CN＝2tcm，
∴
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