第三章K元线性回归模型.docx

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第三章K元线性回归模型

第三章K元线性回归模型

一、填空题

1.对于模型Yi=Bo+斷+B2Xi2十…+BkXik+比，i=i,2,…,n一般经验认为，

满足模型估计的基本要求的样本容量为__

2.对于总体线性回归模型丫-「2Xi2「3Xi3•比，运用最小二乘法欲

得到参数估计量，所要求的最小样本容量n应满足或至少。

3.多元线性计量经济学模型的矩阵形式，对应的样本线性回归模型的矩

阵形式，模型的最小二乘参数估计量及其方差估计

量。

4.总平方和可以分解为和，可决系数为。

5.多元回归方程中每个解释变量的系数（偏回归系数），指解释变量变化一个单位引

起的被解释变量平均变化个单位。

6.线性模型的含义，就变量而言，指的是回归模型变量的;就参数而言，指

的是回归模型中参数的。

通常线性回归模型指的是。

二、问答题

1.什么是多元回归模型？

它与一元、二元回归模型有何区别？

2.极大似然法（maximumlikehood）的原理是什么？

3.什么是拟合优度（R2）检验？

有什么作用？

4.可决系数R2低的可能的原因是什么？

5.多元回归的判断系数R2具有什么性质？

运用R2时应注意什么问题？

6.多元线性回归模型的基本假设是什么？

试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？

7.说明区间估计的含义。

三、实践题

1.下表给出三变量模型的回归结果:

方差来源

平方和（SS）

自由度（d.f.）

均方差（MSS）

回归平方和（ESS）

65965

残差平方和（RSS）

总平方和（TSS）

66042

14

要求：

（1）样本容量是多少？

（2）求RSS?

（3）ESS和RSS的自由度各是多少？

（4）

22

求R和R?

（5）检验假设：

X1和X2对Y无影响。

你用什么假设检验？

为什么？

（6）根

据以上信息，你能否确定X1和X2各自对Y的贡献吗？

2.下面给出依据15个观察值计算得到的数据，其中小写字母代表了各值与其样本均值

的离差口J向SIo

—2

Y=367.693,Xi=402760,X2=8.0,、yi66042.269

22

Xii=84855.096,、'x?

i二280.0,、'yj=74778.346

7yiX2i=4250.9，、:

Xi,X2i=4796.0

2

要求：

（1）估计三个多元回归系数；

（2）估计它们的标准差；并求出R2与R?

（3）估计；、■:

295%的臵信区间；（4）在:

.=5%下，检验估计的每个回归系数的统计显著性（双

尾检验）；（5）给出方差分析表。

3•考虑以下方程（括号内为估计标准差）：

n=19,R2=0.873

Wi=8.562-0.364Pt-0.004Pt—2.560Ut

（0.080）（0.072）（0.658）

其中：

W—t年的每位雇员的工资和薪水；P—t年的物价水平；U—t年的失业率。

要求：

（1）对个人收入估计的斜率系数进行假设检验；

（2）讨论pt丄在理论上的正确性，对本模型的正确性进行讨论；Pt」是否应从方程中

删除？

为什么？

4.克莱因和戈德伯格曾用1921-1941年与1945-1950年（1942-1944年战争期间略去）

美国国内消费C和工资收入W、非工资一非农业收入P、农业收入A的共27年时间序列资料，利用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：

2

R=0.95,F=107.37

Ct=8.133-1.059Wt-0.452Pt-0.121At

（8.9（20）.17（）0.45（21）.0

题。

（显著性水平〉=5%，已知F0.05（3,23）=3.03,t0.025（23）=2.069）

5.某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为

2edu=10.36-0.094sibs0.131medu0.210fedu,R=0.214

式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu

分别为母亲与父亲受到教育的年数。

问

（1）sibs是否具有预期的影响？

为什么？

若medu与fedu保持不变，为了使预测的受教

育水平减少一年，需要sibs增加多少？

（2）请对medu的系数给予适当的解释。

（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一

个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？

6.以企业研发支出（R&D）占销售额的比重为被解释变量（Y）,以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32个企业的样本估计结果如下：

Y=0.472U-0.32log（X1）■0.05X2

（1.37）（0.22）（0.046）,R2=0.099

其中括号中为系数估计值的标准差。

（1）解释log（X1）的系数。

如果X1增加10%,估计Y会变化多少个百分点？

这在经济上是一个很大的影响吗？

（2）针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假设。

分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。

（3）利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响？

（3）对X2，参数估计值的t统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响。

7.下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计值

（括号内为p-值）（如果某项为空，则意味着模型中没有此变量）。

数据为美国40个城市的

数据。

模型如下：

housing=：

0—,jdensityl'.-'2valu^■■.-,3income—j4popchang

亠.5unemp亠.6localtax亠7statetax-J

式中housing实际颁发的建筑许可证数量，density每平方英里的人口密度，value自由房屋的均值（单位：

百美元），income平均家庭的收入（单位：

千美元）,popchang1980~1992年的人口增长百分比，unemp失业率，localtax人均交纳的地方税，statetax人均缴纳的州税

变量

模型A

模型B

模型C

模型D

C

813（0.74）

-392（0.81）

-1279（0.34）

-973（0.44）

Density

0.075（0.43）

0.062（0.32）

0.042（0.47）

Value

-0.855（0.13）

-0.873（0.11）

-0.994（0.06）

-0.778（0.07）

Income

110.41（0.14）

133.03（0.04）

125.71（0.05）

116.60（0.06）

Popchang

26.77（0.11）

29.19（0.06）

29.41（0.001）

24.86（0.08）

Unemp

-76.55（0.48）

Localtax

-0.061（0.95）

Statetax

-1.006（0.40）

-1.004（0.37）

RSS

4.763e+7

4.843e+7

4.962e+7

5.038e+7

R2

0.349

0.338

0.322

0.312

Se

1.488e+6

1.424e+6

1.418e+6

1.399e+6

AIC

1.776e+6

1.634e+6

1.593e+6

1.538e+6

（1）检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括号中的值为双边备择P-值）。

根据检验结果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？

（2）在模型A中，在10%水平下检验联合假设Ho:

■:

i=0（i=1,5,6,7）。

说明被择假设，计算检验统计值，说明其在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。

说明你的结论。

（3）哪个模型是最优的”？

解释你的选择标准。

（4）说明最优模型中有哪些系数的符号是错误的”说明你的预期符号并解释原因。

确认其是否为正确符号。

参考答案

一、填空题

1.n濾0或至少nk+1）;2.n》30或至少n》243.Y=x一：

u,y=xbe,b=（xx）」XY,2_1

Var（b）=；「u（XX）h;4.回归平方和；残差平方和；回归平方和与残差平方和之比。

5.3；

6.非线性；非线性；变量非线性而参数为线性。

二、问答题

1.答：

回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几方面：

一是解释变量的个数

不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之

间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更复杂。

2.答：

极大似然法（ML）是不同于OLS法的另一种模型参数估计方法。

ML方法需要

利用有关模型随机扰动项分布的知识构建似然函数，然后利用使似然函数最大的方法得出参

数估计。

其基本思路是确定观察到的样本数据最可能来自某个分布，该分布的参数值即为总

体参数的估计量。

3.答：

所谓拟合优度检验，指对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。

如

果所有的观测值都落在回归线上，称为“完全拟合”。

这种情况很少发生。

一般情况下，总

会出现围绕在回归直线周围的正或负的残差。

通过对残差的分析，有助于衡量回归直线与样

本观察值的拟合程度。

反映回归模型拟合优劣的一个数量指标是样本可决系数R2,也称判

定系数。

另一个是对回归模型的F统计检验。

估计方程的目的常常不是为了获得高R2,而

是要得到可靠的参数估计，以便利用估计结果进行统计推断。

注意不要将判断系数作为评价

模型优劣的唯一标准。

4.答：

可能由于：

X不是Y的良好解释变量；模型形式设定有误。

一般地，利用时间序

列数据估计的模型R2值较高，而利用截面数据估计的模型R2值较低。

5.答：

R2的取值取决在0〜1之间。

若Y的全部变异都得到了解释，则R2=1，若解释变

量没有如何解释能力，有R2=0。

在模型中不包含常数项的情况下，R2的值可能超出0〜1

范围；是解释变量的非减函数，即增加解释变量不会降低R2，在大多数情况下，R2会增大。

在实际工作中，我们可以借助于R的增减，判断回归模型不同表达形式的优劣。

需要

注意的是，对于不同因变量的回归模型，比较R2的大小没有任何意义。

用同一变量的不同

数学表达式作为因变量，R2也是不可比的。

时间序列数据建模中如果考虑了滞后的行为反

应，导致样本区间发生变动，R2也不可比。

6.答：

回归模型的基本假定有：

零均值假定、随机项独立同方差假定、解释变量的非

随机性假定、解释变量之间不存在线性相关关系假定、随机误差项山服从均值为0方差为二

的正态分布假定。

在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量与随机误差项不相关

的假定；在有效性的证明中，禾U用了随机项独立同方差假定。

7.答：

区间估计是指研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围。

三、实践题

2.解:

b2

74778.346280-4250.94796.0

_2

84855.096280「4796.0

550620

0.7266

757810

4250.984855.096-74778.3464796.0

84855.096280-4796.02

2073580

2.7363

7578i0

b0二丫一SXi-b2X2

=367.693-0.7266402.760-2.73638.0

=53.i572

22

2Zei送yi_bi^yiXii_b2瓦yiX2i

（2）;「u

n_315_3

66042.269-0.726674778.346-2.73634250.9

—12

=6.3821

s（bo）=.Var（b°）

=J—x^cr*2■一15

=12.768

2222

其中:

X：

.二.x2i•X:

二.吃X1iX2i

b2的95%的臵信区间:

0.894公b2乞4.5784

2.179

⑷H0：

[=0（i=1,2,3）,

:

-=5%,d.f.=15-3=12，查表得临界值为：

-2.179乞t<

则：

tb0二53.15720=4.0963■2.179,则拒绝原假设：

■:

0

12.9768

0.7266_0

tb114.9509.2.179,拒绝原假设：

睛=0

0.0486

tb2.7363-^3.2367.2.179,拒绝原假设：

鼻二。

0.8454

（5）方差分析表

方差来源

平方和

自由度

均方差

回归平方和

65963.018

2

32981.509

残差平方和

79.2507

12

6.6042

总平方和

66042.269

32981509

F4994.0203，-.=5%,d.f.=2,12,F临界值为3.89

6.6042

-F值是显著的，所以拒绝零假设。

5.解：

（1）预期sibs对劳动者受教育的年数有影响。

因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。

根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不

变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094年，因此，要减少1年受教育的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个。

（2）medu的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1

年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育机会。

（3）首先计算两人受教育的年数分别为

10.36+0.13112+0.21012=14.452

10.36+0.13116+0.21016=15.816

因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364

6.解：

（1）Iog（x1）的系数表明在其他条件不变时，Iog（x1）变化1个单位，Y变化的单

位数，即Y=0.32.：

log（X1）：

0.32（.：

X1/X1）=0.32100%，换言之，当企业销售X1增长100%时，企业研发支出占销售额的比重Y会增加0.32个百分点。

由此，如果X1增加10%，Y

会增加0.032个百分点。

这在经济上不是一个较大的影响。

（2）针对备择假设已：

■-1■0，

检验原假设H0:

肾=0。

易知计算的t统计量的值为t=0.32/0.22=1.468。

在5%的显著性水

平下，自由度为32-3=29的t分布的临界值为1.699（单侧），计算的t值小于该临界值，所以不拒绝原假设。

意味着R&D强度不随销售额的增加而变化。

在10%的显著性水平下，t

分布的临界值为1.311,计算的t值小于该值，拒绝原假设，意味着R&D强度随销售额的

增加而增加。

7.解：

（1）直接给出了P-值，所以没有必要计算t-统计值以及查t分布表。

根据题意,如果p-值<0.10,则我们拒绝参数为零的原假设。

由于表中所有参数的P-值都超过了10%，所以没有系数是显著不为零的。

但由此去掉所有解释变量，则会得到非常奇怪的结果。

其实正如我们所知道的，多元回去归中在省略变量时一定要谨慎，要有所选择。

本例中，value、income、popchang的p值仅比0.1稍大一点，

在略掉unemp>localtax、statetax的模型C中，这些变量的系数都是显著的。

（2）针对联合假设Ho:

-=0（i=1,5,6,7）的备择假设为H1:

=0（i=1,5,6,7）

中至少有一个不为零。

检验假设H。

，实际上就是参数的约束性检验，非约束模型为模型A，

约束模型为模型D，检验统计值为

（RSSr—RSSu）/（ku-kR）（5.038e+7—4.763e+7）/（7—3）

F0.462

RSSu/（n—心-1）（4.763e7）/（40—8）

显然，在Ho假设下，上述统计量满足F分布，在10%的显著性水平下，自由度为（4,32）

的F分布的临界值位于2.09和2.14之间。

显然，计算的F值小于临界值，我们不能拒绝

Ho,所以］（i=1,5,6,7）是联合不显著的。

（3）模型D中的3个解释变量全部通过显著性检验。

尽管R2与残差平方和较大，但相对

来说其AIC值最低，所以我们选择该模型为最优的模型。

（4）随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。

所以可以预期爲>0,事实上其估计值确是大于零的。

同样地，随着人口的增加，住房需求也会随之增加，所以我们预期34>0事实其估计值也是如此。

随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预期爲估计值的符号为负，回归结果与直觉相符。

出乎预料的是，地方税与州税为不显著的。

由于税收的增加将使可支配收入降低，所以我们预期住房的需求将下降。

虽然模型A是这

种情况，但它们的影响却非常微弱。

22.

二.X1i.二.x2i二x1ix2i.二.x1ix2i

同理，可得：

se（b1^0.0486,se（b2）=0.8454

2S'yix1ib2、yix2i

拟合优度为：

ry20.9988

22n-1

R1-（1-R）0.9986

n-k

⑶d.f.=12,a=5%，查表得P（t兰2.179）=0.95

-2.179<0.7266也<2.179，得到0.6207

27363-b2

-2.1792-2.179，得到0.8942_b2_4.5784

0.8454

b1的95%的臵信区间：

0.6207