第三章K元线性回归模型.docx

1、第三章K元线性回归模型第三章K元线性回归模型一、 填空题1.对于模型Yi = Bo +斷+B2Xi2十+BkXik +比，i=i,2,n 一般经验认为，满足模型估计的基本要求的样本容量为 _ _2.对于总体线性回归模型 丫- 2Xi23Xi3 比，运用最小二乘法欲得到参数估计量，所要求的最小样本容量 n应满足 或至少 。3.多元线性计量经济学模型的矩阵形式 ，对应的样本线性回归模型的矩阵形式 ，模型的最小二乘参数估计量 及其方差估计量 。4.总平方和可以分解为 和 ，可决系数为 。5.多元回归方程中每个解释变量的系数 （偏回归系数），指解释变量变化一个单位引起的被解释变量平均变化 个单位。6.

2、线性模型的含义，就变量而言，指的是回归模型变量的 ;就参数而言，指的是回归模型中参数的 。通常线性回归模型指的是 。二、 问答题1.什么是多元回归模型？它与一元、二元回归模型有何区别？2.极大似然法（maximum likehood ）的原理是什么？3. 什么是拟合优度（R2）检验？有什么作用？4.可决系数R2低的可能的原因是什么？5. 多元回归的判断系数 R2具有什么性质？运用 R2时应注意什么问题？6.多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有 效性的过程中，哪些基本假设起了作用？7.说明区间估计的含义。三、实践题1.下表给出三变量模型的回归结果:方差来源平方

3、和（SS）自由度（d.f.）均方差（MSS）回归平方和（ESS）65965残差平方和（RSS）总平方和（TSS）6604214要求：（1）样本容量是多少？ （ 2）求RSS? （ 3） ESS和RSS的自由度各是多少？ （ 4）2 2求R和R ? (5)检验假设：X 1和X 2对Y无影响。你用什么假设检验？为什么？( 6)根据以上信息，你能否确定 X1和X2各自对Y的贡献吗？2.下面给出依据15个观察值计算得到的数据， 其中小写字母代表了各值与其样本均值的离差 口 J 向 SI o 2Y =367.693 , X i =40 276 0 , X2 =8.0 ,、yi 66042.2692 2X

4、ii = 84855 .096 , 、 x?i 二 280.0 , 、 yj = 74778 .3467 yi X2i =4250 .9，、: Xi, X2i =4796 .02要求：(1)估计三个多元回归系数；(2)估计它们的标准差；并求出 R2与R ? ( 3) 估计；、:295%的臵信区间；(4)在:.=5%下，检验估计的每个回归系数的统计显著性 (双尾检验)；(5)给出方差分析表。3考虑以下方程(括号内为估计标准差) ：n =19 , R2 =0.873Wi =8.562 - 0 .364 Pt - 0 .004 Pt 2.560 Ut(0.080) (0.072) (0.658)其中

5、：W t年的每位雇员的工资和薪水； P t年的物价水平；U t年的失业率。要求：(1 )对个人收入估计的斜率系数进行假设检验；(2)讨论pt丄在理论上的正确性，对本模型的正确性进行讨论； Pt是否应从方程中删除？为什么？4.克莱因和戈德伯格曾用 1921-1941年与1945-1950年(1942-1944年战争期间略去)美国国内消费 C和工资收入 W、非工资一非农业收入P、农业收入A的共27年时间序列资 料，利用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：2R =0.95, F =107.37Ct =8.133 - 1 .059 Wt - 0.452 Pt - 0.121 At (8 . 9( 2

6、0 ). 1 7 () 0 . 4 5( 21 ). 0题。(显著性水平=5%，已知 F 0.05 (3,23 ) = 3.03, t 0.025 (23 ) = 2.069)5.某地区通过一个样本容量为 722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为2 edu =10.36 -0.094 sibs 0.131 medu 0.210 fedu , R =0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数， medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。问(1) sibs是否具有预期的影响？为什么？若 medu与fedu保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年

7、，需要 sibs增加多少？(2)请对medu的系数给予适当的解释。(3)如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为 12年，另一个的父母受教育的年数为 16年，则两人受教育的年数预期相差多少？6. 以企业研发支出(R&D )占销售额的比重为被解释变量( Y),以企业销售额(X1) 与利润占销售额的比重(X2)为解释变量，一个有 32个企业的样本估计结果如下：Y =0.472 U-0.32 log( X1) 0.05X 2(1 .37 ) (0.22) (0.046 ) , R2 =0.099其中括号中为系数估计值的标准差。(1)解释log(X1)的系数。如果X1增加10%,估

8、计Y会变化多少个百分点？这在经济 上是一个很大的影响吗？(2) 针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设， 检验它不虽X1而变化的假 设。分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。(3)利润占销售额的比重 X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响？(3)对X2，参数估计值的t统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的 临界值还小，因此可以认为它对 Y在统计上没有显著的影响。7. 下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的 4个模型的估计量和相关统计值(括号内为p-值)(如果某项为空，则意味着模型中没有此变量) 。数据为美国40个城市的数据。模型如下：ho

9、u sin g = ：0 ,jdensity l .-2valu .-,3income j4 popchang亠.5unemp 亠.6 localtax 亠7 statetax - J式中housing 实际颁发的建筑许可证数量，density 每平方英里的人口密度，value 自由房屋的均值(单位：百美元)，in come 平均家庭的收入(单位：千美元), popchang 19801992年的人口增长百分比， unemp 失业率，localtax 人均交纳的 地方税，statetax 人均缴纳的州税变量模型A模型B模型C模型DC813 (0.74)-392 (0.81)-1279 (0.3

10、4)-973 (0.44)Den sity0.075 (0.43)0.062 (0.32)0.042 (0.47)Value-0.855 (0.13)-0.873 (0.11)-0.994 (0.06)-0.778 (0.07)In come110.41 (0.14)133.03 (0.04)125.71 (0.05)116.60 (0.06)Popchang26.77 (0.11)29.19 (0.06)29.41 (0.001)24.86 (0.08)Un emp-76.55 (0.48)Localtax-0.061 (0.95)Statetax-1.006 (0.40)-1.004 (0

11、.37)RSS4.763e+74.843e+74.962e+75.038e+7R20.3490.3380.3220.312Se1.488e+61.424e+61.418e+61.399e+6AIC1.776e+61.634e+61.593e+61.538e+6（1） 检验模型A中的每一个回归系数在 10%水平下是否为零（括号中的值为双边备择 P-值）。根据检验结果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？（2） 在模型A中，在10%水平下检验联合假设 Ho: :i =0（i=1,5,6,7）。说明被择假设， 计算检验统计值，说明其在零假设条件下的分布， 拒绝或接受零假设的标准。 说明你的结论。（

12、3） 哪个模型是 最优的”？解释你的选择标准。（4） 说明最优模型中有哪些系数的符号是 错误的”说明你的预期符号并解释原因。 确认其是否为正确符号。参考答案一、 填空题1. n 濾0 或至少 n k+1 ） ; 2. n30或至少 n24 3.Y =x 一： u , y =xb e , b=（xx）XY , 2 _1Var （b） =；u （X X）h ; 4.回归平方和；残差平方和；回归平方和与残差平方和之比。 5. 3 ；6.非线性；非线性；变量非线性而参数为线性。二、 问答题1.答：回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同， 多元线

13、性回归模型比一元线性回归模型多了 “解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更复杂。2.答：极大似然法（ML ）是不同于OLS法的另一种模型参数估计方法。 ML方法需要利用有关模型随机扰动项分布的知识构建似然函数， 然后利用使似然函数最大的方法得出参数估计。其基本思路是确定观察到的样本数据最可能来自某个分布， 该分布的参数值即为总体参数的估计量。3.答：所谓拟合优度检验，指对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。如果所有的观测值都落在回归线上，称为“完全拟合” 。这种情况很少发生。一般情况下，总会出现围绕在回归直线周围的正或负的残差。 通过对残差的分

14、析，有助于衡量回归直线与样本观察值的拟合程度。反映回归模型拟合优劣的一个数量指标是样本可决系数 R2,也称判定系数。另一个是对回归模型的 F统计检验。估计方程的目的常常不是为了获得高 R2,而是要得到可靠的参数估计，以便利用估计结果进行统计推断。 注意不要将判断系数作为评价模型优劣的唯一标准。4.答：可能由于：X不是Y的良好解释变量；模型形式设定有误。一般地，利用时间序列数据估计的模型 R2值较高，而利用截面数据估计的模型 R2值较低。5.答：R2的取值取决在01之间。若Y的全部变异都得到了解释， 则R2=1，若解释变量没有如何解释能力，有 R2=0。在模型中不包含常数项的情况下， R2的值可

15、能超出01范围；是解释变量的非减函数，即增加解释变量不会降低 R2，在大多数情况下，R2会增大。在实际工作中，我们可以借助于 R的增减，判断回归模型不同表达形式的优劣。需要注意的是，对于不同因变量的回归模型，比较 R2的大小没有任何意义。用同一变量的不同数学表达式作为因变量， R2也是不可比的。时间序列数据建模中如果考虑了滞后的行为反应，导致样本区间发生变动， R2也不可比。6.答：回归模型的基本假定有：零均值假定、随机项独立同方差假定、解释变量的非随机性假定、解释变量之间不存在线性相关关系假定、 随机误差项山服从均值为0方差为二的正态分布假定。在证明最小二乘估计量的无偏性中， 利用了解释变量

16、与随机误差项不相关的假定；在有效性的证明中，禾U用了随机项独立同方差假定。7.答：区间估计是指研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近 似值的精确程度和误差范围。三、实践题2. 解:b274778 .346 280 -4250 .9 4796 .0_ 284855 .096 2804796 .05506200.72667578104250.9 84855.096 -74778.346 4796.084855 .096 280 -4796.0 220735802.73637578i0b0 二丫 一S Xi -b2X 2= 367.693 -0.7266 402 .760 -2.7

17、363 8.0=53 .i5722 22 Z ei 送 yi _bi yiXii _b2瓦 yiX2i(2) ;un _3 15 _366042 .269 -0.7266 74778 .346 -2.7363 4250.9 12= 6.3821s(bo ) = . Var (b)=Jxcr* 2 一 15= 12.7682 2 2 2其中:X ：.二.x2i X :二. 吃 X1i X2ib2的95%的臵信区间:0.8 9 4 公 b2 乞 4.5 7 8 42.179 H 0 ： =0 (i =1, 2, 3),:-=5% , d . f . = 15 -3 = 12，查表得临界值为： -

18、2.179 乞 t 则：tb0 二 53.1572 0 = 4.0963 2.179,则拒绝原假设：: 012.97680.7266 _0tb1 14.9509 .2.179,拒绝原假设： 睛=00.0486tb 2.7363 -3.2367 .2.179,拒绝原假设：鼻二。0.8454（5）方差分析表方差来源平方和自由度均方差回归平方和65963.018232981.509残差平方和79.2507126.6042总平方和66042.26932981 509F 4994 .0203，-. = 5%, d . f . = 2,12 , F 临界值为 3.896.6042-F值是显著的，所以拒绝零

19、假设。5.解：（1）预期sibs对劳动者受教育的年数有影响。因此在收入及支出预算约束一定的 条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。根据多元回归模型偏回归系数的含义， sibs前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不变的情况下，每增加 1个兄弟姐妹，受教育年数会减少 0.094年，因此，要减少1年受教育 的时间，兄弟姐妹需增加 1/0.094=10.6个。（2） medu的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加 1年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加 0.131年的教育机会。（3） 首先计算两人受教育的年数分别为10.36+0.131 12+0.

20、210 12=14.45210.36+0.131 16+0.210 16=15.816因此，两人的受教育年限的差别为 15.816-14.452=1.3646.解：（1）Iog（x1）的系数表明在其他条件不变时， Iog（x1）变化1个单位，Y变化的单位数，即 Y=0.32 . ：log（X1） ： 0.32（. ：X1/X1）=0.32 100%，换言之，当企业销售 X1 增长 100% 时，企业研发支出占销售额的比重 Y会增加0.32个百分点。由此，如果 X1增加10%，Y会增加0.032个百分点。这在经济上不是一个较大的影响。 （2）针对备择假设 已：-1 0，检验原假设H0 :肾=0。

21、易知计算的t统计量的值为t=0.32/0.22=1.468。在5%的显著性水平下，自由度为32-3=29的t分布的临界值为1.699 （单侧），计算的t值小于该临界值，所 以不拒绝原假设。意味着 R&D强度不随销售额的增加而变化。在 10%的显著性水平下，t分布的临界值为1.311,计算的t值小于该值，拒绝原假设，意味着 R&D强度随销售额的增加而增加。7.解：（1）直接给出了 P-值，所以没有必要计算 t-统计值以及查t分布表。根据题意, 如果p-值 localtax、statetax的模型C中，这些变量的系数都是显著的。(2)针对联合假设 Ho : -=0 (i=1,5,6,7)的备择假设

22、为 H1 : =0 (i=1,5,6,7)中至少有一个不为零。检验假设 H。，实际上就是参数的约束性检验，非约束模型为模型 A，约束模型为模型 D，检验统计值为(RSSr RSSu )/(ku -kR) (5.038e+7 4.763e+7)/(7 3)F 0.462RSSu /(n 心 -1) (4.763 e 7)/(40 8)显然，在Ho假设下，上述统计量满足 F分布，在10%的显著性水平下，自由度为(4, 32)的F分布的临界值位于 2.09和2.14之间。显然，计算的 F值小于临界值，我们不能拒绝Ho,所以(i=1,5,6,7)是联合不显著的。(3) 模型D中的3个解释变量全部通过显

23、著性检验。 尽管R2与残差平方和较大， 但相对来说其AIC值最低，所以我们选择该模型为最优的模型。(4) 随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。 所以可以预期 爲0,事实上其估 计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，住房需求也会随之增加， 所以我们预期3 40 事实其估计值也是如此。 随着房屋价格的上升， 我们预期对住房的需求人数减少， 即我们预 期爲估计值的符号为负，回归结果与直觉相符。出乎预料的是，地方税与州税为不显著的。由于税收的增加将使可支配收入降低，所以我们预期住房的需求将下降。虽然模型 A是这种情况，但它们的影响却非常微弱。2 2.二. X1i .二. x2i 二 x1ix2i .二. x1i x2i同理，可得：se(b1 0.0486 , se(b2 ) = 0.84542 S yix1i b2、 yi x2i拟合优度为：r y2 0.99882 2 n -1R 1-(1-R) 0.9986n -k d.f. =12, a =5%，查表得 P(t 兰 2.179) =0.95-2.179 0.7266 也 2.179，得到 0.6207 b 0.8325 0.04862 7363 -b2-2.179 2 - 2.179，得到 0.8942 _ b2 _ 4.57840.8454b1 的 95% 的臵信区间： 0.6207 bl 0.8325