高等代数北京大学第三版北京大学精品课程.docx
《高等代数北京大学第三版北京大学精品课程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数北京大学第三版北京大学精品课程.docx（123页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高等代数北京大学第三版北京大学精品课程
第一学期第一次课
第一章代数学的经典课题
§1若干准备知识
1.1.1代数系统的概念
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算,
这些运算满足一定的运算法则,
则称这样的一个体系为
个代数系统。
1.1.2数域的定义
定义（数域）
设K是某些复数所组成的集合。
如果
K中至少包含两个不同的复数，且
K对复数的加、减、乘、
四则运算
是封闭的，即对K内任
两个数a、b（a可
以等于b），必有
bK，ab
K，且当b0时，a/bK，则称
K为一个数域。
1.1典型的数域举例：
复数域C；实数域R;有理数域
Q;Gauss数域：
Q（i）={abi|a,b€Q}，其中i=•.1。
命题
任意数域K都包括有理数域Q。
证明
设K为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素
K，且a0。
于是
进而
最后，
m,nZ
巴K。
这就证明了
n
K。
证毕。
1.1.3
集合的运算,
集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念
定义（集合的交、并、差）设S是集合，A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集，记作AB;把A
和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集，
记做AB;从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩
下的元素组成的集合成为A与B的差集，记做AB。
定义（集合的映射）设A、B为集合。
如果存在法则
f，使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定
的元素（记做f（a）），则称f是A到B的一个映射，记为
B,f（a）.
如果f（a）bB，则b称为a在f下的像，a称为b在f下的原像。
A的所有元素在f下的像构成的B的
子集称为A在f下的像，记做
f（A），即f（A）f（a）|aA。
若aa'代都有f（a）
f（a'）,则称f为单射。
若bB,都存在aA，使得f（a）b，则称f为满射。
如果f既是单射又是满射，则称
f为双射，或称一一对应。
1.1.4求和号与求积号
1•求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。
设给定某个数域K上n个数a1,a2,,an，我们使用如下记号：
当然也可以写成
2.求和号的性质.容易证明，
a1a2
an
n
ai.
i1
a1a2
an
ai
1i
n
a1a2..
.an
ai
1i
n
n
n
a
i
ai
i1
i1
n
n
n
（aib
i）
a
i
bi
i1
i
1
i
1
nm
m
n
ai
j
a
j
i1j1
j1i
1
anai
i1
事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
a11a12a1m
a21a22a2m
an1an2anm
分别先按行和列求和，再求总和即可。
第一学期第二次课
§2一元高次代数方程的基础知识
1.2.1高等代数基本定理及其等价命题
1.高等代数基本定理
设K为数域。
以K[x]表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。
如
f（x）a°xnaiXn1……anK[x],（a。
0），则称n为f（x）的次数，记为degf（x）。
定理（高等代数基本定理）C[x]的任一元素在C中必有零点。
命题设f（x）a0xna1xn1……an,（a00，n1）是C上一个n次多项式，a是一个复数。
则存在
上首项系数为a。
的n1次多项式q（x），使得
f（x）q（x）（xa）f（a）
证明对n作数学归纳法。
推论x°为f（x）的零点，当且仅当（xx°）为f（x）的因式（其中degf（x）1）。
命题（高等代数基本定理的等价命题）设f（x）a0xna1xn1an（a00,
项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复数ai,a2,……,an，使
f（x）ao（x1）（x2）……（xn）
证明利用高等代数基本定理和命题1.3,对n作数学归纳法。
2•高等代数基本定理的另一种表述方式
定义设K是一个数域，x是一个未知量，则等式
a°xn
a1xn1
an1xan0
（其中a0,a1,……，anK,a00）称为数域K上的一个n次代数方程；如果以x
成等式，则称为方程
（1）在K中的一个根。
定理（高等代数基本定理的另一种表述形式）数域K上的n
（1）次代数方程在复数域
命题n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式f（x）a。
a^……anXn（an0）,
g（x）b°dx……bmxm（bm0）,
如果存在整整数I,丨m,ln,及I1个不同的复数1,2,……,,,,1，使得
n1）为C上的n次多
（1）
K带入
（1）式后使它变
C内必有一个根。
f（i）g（i）
（i
1,2,……,l1）,
则f（x）g（x）。
1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性
设f（x）a°xna1xn1La.，其中
aiK,a°
设f（x）
0的复根为
n（可能有重复），则
所以
我们记
1
-f（x）a°
n
（xi）
i1
n
x
（x
1）（x
n
n）x
2）L（xn）
L12L
a
a°
（1）1（
a2
a。
n）；
（1）2
0
i1i2
i1
n
i2；
an
a°
（1）n12n.
0（
1,2,,n）1；
1（1,
2,
n）12
n；
r（1,2,
n）
0iii2
i1i2irn
ir
n（1,2,
n）
12n
（1,2丄，n称为1,2丄
n的初等对称多项式）。
于是有
定理2.5（韦达定理）
设f（x）a°xn
n1
a〔x
Lan
，其中aiK,a00。
设f（x）0的复根为
1,2丄，n。
则
a1
（1）1
1（1,2
,n）；
a。
a2
“八2
2（1,2
,n）；
（1）
a。
1）n
n）.
an
ao
命题
给定R上n次方程
n
a°x
n
a〔x
a00，
如果
abi是方程的一个根，则共轭复数
bi也是方程的根。
证明
由已知,
n
ao
ai
an1an
0.
两边取复共轭，又由于a°,a1,……,anR，所以
—n
ao
—n
a1
an1an
0.
推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
证明因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在
C内有奇数个根,
故其中必有一根为实数。
第一学期第三次课
§3线性方程组
1.3.1数域K上的线性方程组的初等变换
举例说明解线性方程组的Gauss消元法。
定义（线性方程组的初等变换）数域K上的线性方程组的如下三种变换
（1）互换两个方程的位置；
（2）把某一个方程两边同乘数域K内一个非零元素c；
（3）把某一个方程加上另一个方程的k倍，这里kK
的每一种都称为线性方程组的初等变换。
容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。
命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解
证明设线性方程组为
L
a1nxn
&12为
822x2
L
a2nxn
b2,
am1x1
&m2X2
L
amnxn
bn
（*）
经过初等变换后得到的线性方程组为（**）,只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）的解也是（*）的解即可。
设Xiki,X2k2,……,Xnkn是（*）的解，即（*）中用Xj匕（i1,2,……n）代入后成为等式。
对其进行初
等变换，可以得到x1k1,x2k2,,xnkn代入（**）后也成为等式，即x1k1,x2k2,,xnkn是（**）
的解。
反之，（**）的解也是（*）的解。
证毕。
1.3.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换
定义（数域K上的矩阵）给定数域K中的mn个元素aij（i1,,m，j1,,n）。
把它们按一定次序排
成一个m行n列的长方形表格
A
811
821
812
822
81n
82n
8m1
am2
・.8mn
称为数域
K上的一个m行n列矩阵，简称为
mn矩阵。
定义
（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵）
线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵
阵；如果把方程组的常数项添到A内作为最后-
列，得到的m
（n1）矩阵
a11
812
81nb
A
821
822
82nb2
am2
am1
A称为方程组的系数矩
称为方程组的增广矩阵。
定义（矩阵的初等变换）对数域K上的矩阵的行（列）所作的如下变换
（1）互换两行（列）的位置；
（2）把某一行（列）乘以K内一个非零常数C；
（3）把某一行（列）加上另一行（列）的k倍，这里kK
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组）数域K上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐次线性方程组
这类方程组的一般形式是
耳1片
a^x?
L
a1nXn
0,
a12X1
a22X?
L
a2nXn
0,
am1x1
am2X2
L
amnXn
0
命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；
证明对变元个数作归纳。
说明线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。
事实上，
K上的线
对K上线性方程
m维向量；
在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。
如果所给的是数域性方程组，那么做初等变换后仍为K上的线性方程组，所求出的解也都是数域K中的元素。
因此,组的全部讨论都可以限制在数域K中进行。
第一学期第四次课
第二章向量空间与矩阵
第一节m维向量空间
2.1.1向量和m维向量空间的定义及性质
定义（向量）设K是一个数域。
K中m个数a1,a2,,am所组成的一个m元有序数组称为一
a1
a?
（iK,i
1,2,……,m）
am
称为
个
m维列向量；而
（a/,a?
',••…
•,am）
称为
个
m维行向量。
我们用Km记集合｛（aja?
',……，am'）|aiK,i1,2,……,m｝。
定义（Km中的加法和数量乘法）在Km中定义加法如下：
两个向量相加即相同位置处的数相加,
aibi
aibi
a?
b?
am
bm
a?
b?
在Km定义数量乘法为用K中的数去乘向量的各个位置，即对于某个kK，
ai
a?
ka1
ka?
am
kam
定义（m维向量空间）集合Km和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数域K上的m维向量空间。
命题（向量空间的性质）向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质（其中K表示数域，，，表
示Km中的向量）
（1）
加法结合律：
（
）
（
）;
（2）
加法结合律：
（3）
向量（0,0,……
0）
（记为0）具有性质:
对于任意，有0
0；
（4）
（a〔,a2,
’am）,令
（
a1,a2,’am）,称其
娄为
的负向量，它满足
（）
（）0
;
（5）
对于数1,有1
（6）
对K内任意数
k,
l，有（kl）
k（l）
»；
（7）
对K内任意数
k,
l，有（k
l）k
l；
（8）
对K内任意数
k,
有k（
）k
k。
2.1.2线性组合和线性表出的定义
定义（线性组合）设1,2,
m
sK
k1,k2,,ksK，则称向量k11k?
2-
••…kss为向量组
1,2,
S的一个线性组合。
定义
（线性表示）设1,2,,
s,K
m。
如果存在k1,k2,,ksK，使得
k1
1k22kss，
则称可被向量组,,2,……,S线性表示。
ki,k2,,ksK，使得
命题
2.1.3向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述
k11
k22
kss
0,
则称1,2,
s线性相关，否则称为线性无关。
注意：
根据这个定义，1,2,,s
线性
无关
可以表述
如下
k11k22
……kss0,则必有k1k2
k
s0。
如果
a11
a12
a1n
a21
a22
a2n
1,
2
J
J
1
am1
am2
amn
显然1,2,
s线性相关当且仅当齐次线性方程组
a11x1
a12X2
a1nXn
0,
a：
1x〔
322X2
a2nXn
0,
am1X1
am2X2
amnXn
0.
Km。
如果存在不全为零的
定义（线性相关与线性无关）
设
s
有非零解,
b2,
1?
2,
s线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。
:
若ki,k2,,ksK，使得
Km，则下述两条等价:
线性相关;
2）某个i可被其余向量线性表示。
证明1）
2）.由于
1,2,,n线性相关，故存在不全为零的
n个数k1,k2,knK
，使得
k11k22
kn
不妨设某个ki
0。
于是，由向量空间的性质有
i（k1/ki）
1（k2/ki）2
（kii/kj
ki
1/ki）
（kn/ki）
2）1）.
如果某个
i可被其余向量线性表示,
即存在
ki,
ki1,ki1,
kn
使得
ik11k22
ki
ki1i1
kn
由向量空间的性质有
k11k22
ki1
1）i
ki1i1
kn
0.
曰
是1,
n线性相关。
证毕。
推论
Km，则下述两条等价:
线性无关;
2）任一i不能被其余向量线性表示。
第一学期第五次课
2.1.4向量组的线性等价和集合上的等价关系
定义（线性等价）给定Km内的两个向量组
（*）
（**）
如果向量组（**）中每一个向量都能被向量组（*）线性表示，反过来向量组
（*）
中的每个向量也都能被向量组（**）
线性表示，则称向量组（*）和向量组（**）线性等价。
定义（集合上的等价关系）
给定一个集合S，S上的一个二元关系“
”称为一个等价关系，如果“~”满足
以下三条：
（1）反身性：
aS,a~a；
（2）对称性：
a,bS,如果a~b,则b~a；
（3）传递性：
若a~b，b~c，则a~c。
与a等价的元素的全体成为a所在的等价类。
命题若a与b在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。
进而一个定义了等价关系的集合可以表示
为所有等价类的无交并。
证明记a所在的等价类为Sa，b的等价类为Sb。
若它们的交集非空，则存在cSaSb，于是有
c~a，c~b。
由等价关系定义中的对称性和传递性即知a~b，与a和b在不同的等价类矛盾。
这就证明了a和b
所在的等价类交集是空集。
而集合包含所有等价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。
综上可知，命题成立。
证毕。
命题给定Km内两个向量组
12
2）
且
（2）中每一个向量都能被向量组
（1）线性表示。
如果向量
能被向量组
（2）线性表示，则
也可以被向量组
1）
线性表示。
证明若向量组
（2）中的每一个向量都可以被向量组
1）线性表示，则存在kijK（1
r,1
s），
使得
kiji
（j1,2,L
s）.
i）
i1
由于能被向量组
（2）线性表示，故存在
lj
（1
s），使得
s
lj
j1
将（i）代入，得
j1
kij
i1
s
kijj1
rs
（kij）i，
i1j1
即可被
12
r线性表示。
由此易推知
命题线性等价是Km的向量组集合上的等价关系。
2.1.5向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩
定义（向量组的极大线性无关组）设
s为Km中的一个向量组,
它的一部分组
i1i2
ir称
r
为原向量组的一个极大线性无关组，若
1）
i1,i2,,ir线性无关；
1,2,,s中的每一个向量都可被
i1
i2,,ir线性表出。
容易看出向量组
ir
线性等价。
引理
给定Km上的向量组
12
r，如果
12
s可被
r线性表出，
则向量组
s线性相关。
证明
由于
12
s可被1,2,
r线性表出，故存在
kij
K，使得
2
LL
k111k211LLLks11
k122k222LLLks2
x1
1x22
将（*）代入（**），得
s
（ki1xi）
i1
1（
s
ki2xi）
i1
xs
k1rr
k2rLLksr
*）
0.
**）
s
（kirxi）r0.
i1
设各系数均为零，得到
kMi
kkXr0,
i1
（***
（***）是一个含有r个未知量和s个方程的其次线性方程组，而sr，故方程组（***）有非零解，于是存在不全
为零的为也丄，人K，使得（**）成立。
由线性相关的定义即知向量组1,2,,s线性相关。
定理线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。
证明设1,2丄，n和1,2丄，mKm中的线性等价的向量组。
设向量组“，i2,,ir和”，j2,,js
分别是原向量组的极大线性无关部分组，则由线性无关部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关部分组线性等价。
由于,i2,,ir可将j1,j2,L,jt中的每一个向量线性表出，知rs（否则由引理知向量组
i1,i2,,ir线性相关，矛盾）。
同理sr。
于是rs。
推论任意向量组中，任意极大线性无关组所含的向量个数相等。
定义（向量组的秩）对于Km内给定的一个向量组，它的极大线性无关组所含的向量的数量称为该向量组的秩。
第一学期第六次课
第二章§2矩阵的秩
2.1.1矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置
定义2.1矩阵的行秩与列秩。
一个矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩，它的列向量组的秩称为A的列秩。
命题2.1矩阵的行（列）初等变换不改变行（列）秩；
证明只需证明行变换不该行秩。
容易证明，经过任意一种初等行变换，得到的行向量组与原来的向量组线性等
价，所以命题成立。
证毕。
定义2.2矩阵的转置
把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵A'称为矩阵A的转置矩阵。
命题2.2矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩。
证明只需证明行变换不改变列秩。
列变换可用矩阵的转置证得。
假设A的列向量为1,2,L,n，它的一个极大线性无关部分组为i1,i2,L,ir,而经过初等行变换之后的列
向量为1',2',L,n'，只需证明i1',i2',L,ir堤变换后列向量的一个极大线性无关部分组即可。
只需分别证明向量组i1',i2',L,ir'（*）线性无关和1',2',L,n'中的任意一个向量都可以被（*）线性表
出。
构造方程Xi1i1',Xi2i2',L,Xk.'0,由于i1,i2丄，ir线性无关，线性方程组6⑴眾i2丄，ir0只有零解。
而方程Xi1i1',Xi2i2',L,X..'0是由6和，見i2丄，6ir0经过初等行变换得来的，而初等行变换是同解变换，所以X1i1',Xi2i2'丄，Xrir'0只有零解，于是i1',i2',L,『'线性无关。
对于A的任意一个列向
量，都可被i1,i2,L,ir线性表出，利用初等行变换是同解变换同样可以证明经过初等行变换后，'可以被（*）
线性表出。
证毕。
推论矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵A的秩记为r（A）；
证明设
a11a21
a12a22
L
L
a1n
a2n，
A
L
L
am1
am2
L
amn
不妨考虑A0，经过行、列调换后，可使左上角元素不等于零。
用三种行、列变换可使矩阵化为如下形式
*（0）0
10
0**
其中（**）代表一个矩阵。
若（**）不是零矩阵，重复上面做法，归纳下去，最后得到形如
1
O
1
0
的一个矩阵，可知，矩阵的行秩和列秩都等于矩阵中“1”的个数。
于是由初等变换可逆和推论可以知道，矩阵的行
秩等于列秩。
定义2.3一个矩阵A的行秩或列秩成为该矩阵的秩，记作r（A）。
2.2.2矩阵的相抵
定义2.4给定数域K上的矩阵A和B，若A经过初等变换能化为B，则称矩阵A和B相抵。
命题2.3相抵是等价关系，且秩是相抵等价类的完全不变量。
证明逐项验证等价类的定义，可知相抵是等价关系；由于初等变换不改变矩阵的秩，于是矩阵的秩是等价类的完全不变量。
2.2.3用初等变换求矩阵的秩用初等行变换或列变换将矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵的
升级会员 