一元一次方程经典例题讲解.docx

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一元一次方程经典例题讲解

一元一次方程

知识点梳理

1．一元一次方程的有关概念

（1）一元一次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程.

2．等式的基本性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。

用字母表示若a=b，则a+m=b+m,a-m=b-m

（2）等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.

用字母表示：

若a=b,则am=bm,

=

（n不为0）

3．解一元一次方程的基本步骤：

变形步骤

具体方法

变形根据

注意事项

去分母

方程两边都乘以各个分母的最小公倍数

等式性质2

1．不能漏乘不含分母的项；

2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

乘法分配律、去括号法则

1．分配律应满足分配到每一项

2．注意符号，特别是去掉括号

移项

把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边

等式性质1

1．移项要变号；

2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边

合并同

类项

把方程中的同类项分别合并，化成“

”的形式（

）

合并同类项法则

合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变

未知数的系数化成“1”

方程两边同除以未知数的系数

，得

等式性质2

分子、分母不能颠倒

例1、解方程

（1）y-

例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值

已知方程

的解与方程

的解相同，求m的值.

例3、解方程知识与绝对值知识综合题型

解方程：

一元一次方程应用题（找出等量关系）

一、列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：

弄清题意．

（2）找出等量关系：

找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：

设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：

解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：

检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．

1、数字问题

要搞清楚数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：

100a+10b+c。

例1、若三个连续的偶数和为18，求这三个数。

例2、一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：

原两位数+36=对调后新两位数

例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。

分析：

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．

2、日历中的规律：

横行相邻两数相差____竖行相邻两数相差___。

例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期___________

例2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2个数，则它们的和一定能被___________整除。

A3B4C5D6

例3、如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？

3、等积变形问题

常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。

例1、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0.62kg的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7.8g，应截圆钢多长？

 例2.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为

内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？

（结果保留整数

）

4、和、差、倍、分问题：

倍数关系：

通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。

多少关系：

通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

（1）劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化.

例1.某厂一车间有64人，二车间有56人。

现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。

问需从第一车间调多少人到第二车间？

例2．甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。

（2）配套问题：

例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）

例2.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

分析：

列表法。

每人每天

人数

数量

大齿轮

16个

x人

16x

小齿轮

10个

人

等量关系：

小齿轮数量的2倍＝大齿轮数量的3倍

解：

设分别安排x名、

名工人加工大、小齿轮

答：

略.

（3）分配问题：

例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。

求房间的个数和学生的人数。

例2.三个正整数的比为1：

2：

4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？

（比例分配问题常用等量关系：

各部分之和＝总量。

）

（4）年龄问题：

例1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？

例2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。

5、工程问题

　工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量=工作效率×工作时间

经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

 例1.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

分析设工程总量为单位1，等量关系为：

甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。

　　解：

设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，（

+

）×3+

=1，　

...................

例2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？

6、打折销售问题

（1）销售问题中常出现的量有：

进价、售价、标价、利润等

（2）基本关系式：

①利润＝售价—进价；②售价=标价×折数；③利润率＝利润/进价。

由①②可得出④利润＝标价×折数－进价。

由③④可得出⑤利润率＝。

例1、一件衣服标价是200元，现打7折销售。

问：

买这件衣服需要多少钱？

若已知这件衣服的成本（进价）是115元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？

利润是多少？

例2、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？

7、行程问题。

（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）

　　要掌握行程中的基本关系：

路程＝速度×时间。

　　相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：

甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：

同时不同地：

甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程

同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。

并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。

 　　例7.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

　　此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。

故可结合图形分析。

（1）分析：

相遇问题，画图表示为：

等量关系是：

慢车走的路程+快车走的路程=480公里。

解：

设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90（x+1）=480　　

解这个方程，230x=390　　　　　　　　

∴x=1

答：

略.

分析：

相背而行，画图表示为：

等量关系是：

两车所走的路程和+480公里=600公里。

　　解：

设x小时后两车相距600公里，

由题意得，（140+90）x+480=600解这个方程，230x=120　　　　　　　　

∴x=

　　答：

略.

　　（3）分析：

等量关系为：

快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。

　　解：

设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140－90）x+480=600　　　　　　　　　50x=120　　　　　　　

∴x=2.4

　　答：

略.

 分析：

追及问题，画图表示为：

等量关系为：

快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：

设x小时后快车追上慢车。

由题意得，140x=90x+480　　

解这个方程，50x=480　∴x=9.6

答：

略.

 分析：

追及问题，等量关系为：

快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：

设快车开出x小时后追上慢车。

由题意得，140x=90（x+1）+480

　50x=570　解得，x=11.4　　

1答：

略. 

　　环形跑道上的相遇和追及问题：

同地反向而行的等量关系是两人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。

（3）航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

例：

一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

1、A、B两地相距150千米。

一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发，另一辆汽车以每小时40千米的速度从B地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距30千米？

2、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？

3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要2小时45分，逆风要3小时，已知风速是20千米／小时，则两城市间的距离为多少？

4、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥，用了半分钟，则火车本身的长度为多少米？

5、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求列车的长度。

5．市场经济问题

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝

×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．

8．储蓄问题

七、银行储蓄问题。

　注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。

本息和＝本金＋_____＝本金＋_____×_____×_____＝（1＋_____×_____）×本金（不考虑利息税）

本息和＝本金＋_____＝本金＋_____×_____×_____×（1－_____）（考虑利息税）

1、张先生于1998年7月8日买入1998年中国工商银行发行的5年期国库券20000元，若在2003年7月8日可获得利息数为2790元，则这种国库券的年利率是多少？

2、小明的爸爸前年存了年利率为2.25％的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买以一只价值576元的CD机，问小明爸爸前年存了多少钱？

3、教育储蓄年利率为1.98％，免征利息税，某企业发行的债券月利率为2.15‰，但要征收20％的利息税，为获取更大回报，投资者应悬着哪一种储蓄呢？

某人存入28000元，一年到期后可以多收益多少元？

4、肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少？

（精确到0.01％）

5、某人将20000元钱分成两部分，按两种不同方式存入银行，其中10000元按活期方式存一年，另10000元按定期存一年，一年后共取回21044元，又已知定期一年存款约利率为0.63％，求活期存款月利率是多少？

9．利润＝

×100%利息＝本金×利率×期数

 9.储蓄问题

⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。

利息的20%付利息税

⑵利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

利息税=利息×税率（20%）

例9.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。

半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？

（不计利息税）

分析：

等量关系：

本息和=本金×（1+利率）

解：

设半年期的实际利率为x，

250（1+x）=252.7，

x=0.0108

所以年利率为0.0108×2=0.0216

1．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

3．将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，

≈3.14）．

6．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件．

7．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？

应交电费是多少元？

答案

1．解：

设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．

根据题意，得

×

+（

+

）x=1

解这个方程，得x=

=2小时12分

答：

甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．

2．解：

设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，

则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．

由题意，得2×（9+x）=15+x

18+2x=15+x，2x-x=15-18

∴x=-3

答：

3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．

（点拨：

-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后具有相反意义的量）

3．解：

设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得

·（

）2x=300×300×80

x≈229.3

答：

圆柱形水桶的高约为229.3毫米．

4．解：

设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为

分．

过完第二铁桥所需的时间为

分．

依题意，可列出方程

+

=

解方程x+50=2x-50

得x=100

∴2x-50=2×100-50=150

答：

第一铁桥长100米，第二铁桥长150米．

5．解：

设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为2x克，

那么红色和白色配料分别为3x克和5x克．

根据题意，得2x+3x+5x=50

解这个方程，得x=5

于是2x=10，3x=15，5x=25

答：

这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是10克，15克和25克．

6．解：

设这一天有x名工人加工甲种零件，

则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个．

根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440

解得x=6

答：

这一天有6名工人加工甲种零件．

7．解：

（1）由题意，得

0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72

解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，则

0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x

解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：

九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．

8．解：

按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，

设购A种电视机x台，则B种电视机y台．

（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程

1500x+2100（50-x）=90000

即5x+7（50-x）=300

2x=50

x=25

50-x=25

②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，

可得方程1500x+2500（50-x）=90000

3x+5（50-x）=1800

x=35

50-x=15

③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．

可得方程2100y+2500（50-y）=90000

21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意

由此可选择两种方案：

一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．

（2）若选择

（1）中的方案①，可获利

150×25+250×15=8750（元）

若选择

（1）中的方案②，可获利

150×35+250×15=9000（元）

9000>8750故为了获利最多，选择第二种方案．

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