j建模大赛牧场管理.docx
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j建模大赛牧场管理
牧场管理
摘要：
在草原上牧民的主要经济来源是畜牧，因此如何在各种制约的条件下，利用现有的资源使得牧民的效益最大，科学放牧，实现羊群的可持续发展是一个很现实的问题。
本文共分三个模型，第一个与第二个模型探讨以怎么样的循环方式对于牧民效益更好，第三个模型是在第二个模型的基础上，对四季供草的优化来再次提高牧民的利益，并在这个模型的基础上分别对题目所提的三个问题作答。
第一个模型，我们以养一种羊的方式，即第一年只养1龄羊，第二年只养2龄羊（小羊在秋季卖出），而到第五年的时候将所有的5龄羊全卖，第六年又重新循环。
再根据其卖出的总羊数来衡量他所得的利益。
第二个模型，我们在一年中以一定的比例养齐5种羊，即一年中都养有1龄羊，2龄羊，3龄羊，4龄羊，5龄羊。
算出其卖出羊的总数量，与第一个模型相比。
第三个模型，在第二个模型相比第一个模型有利的前提下，我们改进第二个模型，因为我们计算出秋季草量过剩而春季不足，所以我们优化四季的供草量以提高其效益。
最后在第三个模型的基础上，分别回答题目所提的三个问题。
关键词:
线性规划优化牧场管理
一、问题重述
一个牧羊人有一块一定面积的草场准备放牧羊群，但是草场能放牧多少羊；为了繁殖，每年保留多大比例的母羊羔；夏季要贮存多少干草供冬季使用？
才能获得更多的收获。
二、模型假设
1）仅考虑养殖所需的饲草供给条件，圈舍、配合饲料、给水、饲养费用等其他养殖条件忽略不计。
2）能生育的母羊在交配季节一律引进公羊进行交配，交配完送走公羊且忽略引进的公羊吃的草
3）所有羊生病不影响吃草量
4）放牧时羊的践踏对草生长无破坏
5）每天生长出来的嫩草羊能吃到，且吃了不影响草的生长率
6）假设牧场的面积为1×107平方米
7）假设不会发生严重的自然灾害
三、模型的建立与求解
（一）、模型一
1.1、模型说明：
1）假设牧民每一年只养一种年龄的羊及当年所生的小羊，秋初把当年所生小羊卖掉
2）第一年从小羊羔开始养，所以第一年不生小羊
3）忽略羊的死亡率
4）假设牧场的面积为1×107平方米
5）所有的羊羔都春初出生，而卖羊都是秋初卖
6）0—1年龄的羊称为1龄羊，后面的以此类推
1.2、符号说明：
s:
牧场面积
m1:
第一年春季时的羊数
m2：
第二年春季时的羊数
m3：
第三年春季时的羊数
m4：
第四年春季时的羊数
m5：
第五年春季时的羊数
n1：
第一年秋季时的羊数
n2：
第二年秋季时的羊数
n3：
第三年秋季时的羊数
n4：
第四年秋季时的羊数
n5：
第五年秋季时的羊数
z1：
第一年秋季卖出的羊数
z2：
第二年秋季卖出的羊数
z3：
第三年秋季卖出的羊数
z4：
第四年秋季卖出的羊数
z5：
第五年秋季卖出的羊数
h：
夏季供冬季的日生长率
1.3、模型的建立与求解
1.3.1、所卖羊与下一年春羊的关系
第一年养的是1龄羊，所以z1=0
第二年所卖的羊与第三年春季羊的关系：
n2-z2=m3
第三年所卖的羊与第四年春季羊的关系：
n3-z3=m4
第四年所卖的羊与第五年春季羊的关系：
n4-z4=m5
1.3.2、羊群的数量不变，
所以：
m1=m2
m2=m3
m3=m4
m4=m5
1.3.3、卖出羊的数目与出生羊数目的关系
z2-1.8m2<=0
z3-2.4m3<=0
z4-2m4<=0
z5-1.8m5<=0
1.3.4、所有羊与草的关系
春季：
2.4m1+2.4m2+1.8m2+2.4m3+2.4m3+2.4m4+2m4+2.4m5+1.8m5<=3×5s
整理后得：
2.4m1+4.2m2+4.8m3+4.4m4+4.2m5<=15s
同理可得：
夏季：
1.15m1+4.12m2+5.11m3+4.45m4+4.12m5<=s（7-h）
秋季：
1.35（m1+m2+m3+m4+m5）<=4s
冬季：
2.1（m1+m2+m3+m4+m5）<=sh
1.3.5、目标函数：
max=z1+z2+z3+z4+z5
因此将所有的条件归纳作成LINDO代码如下：
maxz1+z2+z3+z4+z5
st
z1=0
n2-z2-m3=0
n3-z3-m4=0
n4-z4-m5=0
n5-z5-m5=0
m1-m2=0
m2-m3=0
m3-m4=0
m4-m5=0
z2-1.8m2<=0
z3-2.4m3<=0
z4-2m4<=0
z5-1.8m5<=0
2.4m1+4.2m2+4.8m3+4.4m4+4.2m5<=150000
1.15m1+4.12m2+5.11m3+4.45m4+4.12m5+50000h<=350000
1.35m1+1.35m2+1.35m3+1.35m4+1.35m5<=200000
2.1m1+2.1m2+2.1m3+2.1m4+2.1m5-50000h<=0
End
Gin7
运行结果见附录1，
结论1：
由运行结果可知，其每年秋季卖出的羊的总和为60000只羊，但是因为本模型忽略了死亡率，而4龄羊的死亡率达到20%，因此如果考虑死亡率的话，本模型所卖出的羊的只数将远小于60000只，因此为了避免在第四年时出现的严重老龄化问题，我们引入第二个模型。
（二）模型二
2.1、模型假设
1）假设每一年都养齐5种年龄的羊，并且按一定的比例
2）忽略羊的死亡率
3）假设牧场的面积为1×107平方米
4）所有的羊羔都春初出生，而卖羊都是秋初卖
2.2、符号说明
w1:
春季日均产草量
w2:
夏季日均产草量
w3:
秋季日均产草量
w4:
冬季日均产草量
x1:
0—1年龄的羊数
x2:
1—2年龄的羊数
x3:
2—3年龄的羊数
x4:
3—4年龄的羊数
x5:
4—5年龄的羊数
a:
第一年留下的小羊
b：
第二年留下的小羊
c：
第三年留下的小羊
d：
第四年留下的小羊
2.3、模型的建立与求解
2.3.1、根据题意假设有：
107m2的牧场
春季日均产草量：
w1=107×3×10-3＝3×104kg；
夏季日均产草量：
w2=107×7×10-3＝7×104kg；
秋季日均产草量：
w3=107×4×10-3＝4×104kg；
冬季日均产草量：
w4=107×0×10-3＝0kg。
2.3.2、根据题意我们可以列出第一年分布向量
冬季春初秋
第一年
，a=x5
由上可知，在春初各个年龄段的母羊生下的小羊
为（1.8x1+2.4x3+2x4+1.8x5）只，而在秋初的时候卖出羊后留下a只，其中
a=x5是因为我们要保持羊群的总数，因而卖出去x5只5龄羊，就补进了a只小羊羔。
因此同样的道理第二年、第三年、第四年、第五年分别为：
冬季春初秋季
第二年
，b=x4
冬季春初秋季
第三年
，c=x3
冬季春初秋季
第四年
，d=x2
冬季春初秋季
第五年
，e=x1
结论2：
由上可知，因为e=x1、d=x2、c=x3、b=x4、a=x5，所以在第六年的春
天又回到了循环的开始，第六年的春季为（x1;x2;x3;x4;x5），
另外，因为每一个年龄段都将成为第二年的下一个年龄段，因此不难看出他们的比例是1：
1的关系，因此x1=x2=x3=x4=x5。
2.3.4、以下将所有的a,b,c,d,e重新用x5,x4,x3,x2,x1代替。
根据上述分析，再结合每个季节的产草量与上个季节的草的剩余量之和应大于或等于本季节羊的食草量的关系，得出下面的不等式：
第一年：
春季：
所有的羊都要吃草，
即：
（1.8x2+2.4x3+2.0x4+1.8x5）+2.4（x1+x2+x3+x4+x5）<=3×104；
简化得：
2.4x1+4.2x2+4.8x3+4.4x4+4.2x5<=3×104；
夏季：
春季剩余的草及夏季增长的草不仅要满足本季里羊群的需求，同时还要满足冬季羊群的需求，即要保证冬季的饲料有足够的储存量，于是有：
1.65（1.8x2+2.4x3+2.0x4+1.8x5）+1.15（x1+x2+x3+x4+x5）+2.1（x1+x2+x3+x4+x5）<=
3×104+7×104-（1.8x2+2.4x3+2.0x4+1.8x5）-2.4（x1+x2+x3+x4+x5）；
简化得：
5.65x1+10.42x2+12.01x3+10.95x4+10.42x5<=105；
秋季：
原本的羊羔食草量视为与成羊相同，故应满足的关系式为：
1.35（x1+x2+x3+x4+x5）
<=1.4×105-（5.65x1+10.42x2+12.01x3+10.95x4+10.42x5）；
简化得：
7x1+11.77x2+13.36x3+12.3x4+11.77x5<=1.4×105；
MAX=1.8x2+2.4x3+2X4+1.8x5
第二年：
春季：
所有的羊都要吃草，
即：
（1.8x1+2.4x2+2.0x3+1.8x4）+2.4（x1+x2+x3+x4+x5）<=3×104；
简化得：
4.2x1+4.8x2+4.4x3+4.2x4+2.4x5<=3×104；
夏季：
春季剩余的草及夏季增长的草不仅要满足本季里羊群的需求，同时还要足冬季羊群的需求，即要保证冬季的饲料有足够的储存量，于是有：
1.65（1.8x1+2.4x2+2.0x3+1.8x4）+1.15（x1+x2+x3+x4+x5）+2.1（x1+x2+x3+x4+x5）
<=3×104+7×104-（1.8x1+2.4x2+2.0x3+1.8x4）-2.4（x1+x2+x3+x4+x5）；
简化得：
10.42x1+12.01x2+10.95x3+10.42x4+5.65x5<=105
秋季：
原本的羊羔食草量视为与成羊相同，故应满足的关系式为1.35（x1+x2+x3+x4+x5）
<=1.4×105-（10.5x1+11.7x2+10.9x3+10.5x4+6.9x5）
简化得：
11.77x1+13.36x2+12.3x3+11.77x4+7x5<=1.4×105
MAX=1.8x1+2.4x2+2x3+1.8x4
第三年：
春季：
所有的羊都要吃草，
即：
（1.8x5+2.4x1+2.0x2+1.8x3）+2.4（x1+x2+x3+x4+x5）<=3×104；
简化得：
4.8x1+4.4x2+4.2x3+2.4x4+4.2x5<=3×104
夏季：
春季剩余的草及夏季增长的草不仅要满足本季里羊群的需求，同时还要满足冬季羊群的需求，即要保证冬季的饲料有足够的储存量，于是有：
1.65（1.8x5+2.4x1+2.0x2+1.8x3）+1.15（x1+x2+x3+x4+x5）+2.1（x1+x2+x3+x4+x5）
<=3×104+7×104-（1.8x5+2.4x1+2.0x2+1.8x3）-2.4（x1+x2+x3+x4+x5）
简化得：
10.42x5+12.01x1+10.95x2+10.42x3+5.65x4<=105
秋季：
原本的羊羔食草量视为与成羊相同，故应满足的关系式为：
1.35（x1+x2+x3+x4+x5）
<=1.4×105-（11.7x1+10.9x2+10.5x3+6.9x4+10.5x5）
简化得：
11.77x5+13.36x1+12.3x2+11.77x3+7x4<=1.4×105
MAX=1.8x5+2.4x1+2.0x2+1.8x3
第四年：
春季：
所有的羊都要吃草，
即：
（1.8x4+2.4x3+2.0x1+1.8x2）+2.4（x1+x2+x3+x4+x5）<=3×104；
简化得：
4.4x1+4.2x2+4.8x3+4.2x4+2.4x5<=3×104
夏季：
春季剩余的草及夏季增长的草不仅要满足本季里羊群的需求，同时还要满足冬季羊群的需求，即要保证冬季的饲料有足够的储存量，于是有：
（1.8x4+2.4x3+2.0x1+1.8x2）+2.4（x1+x2+x3+x4+x5）+2.1（x1+x2+x3+x4+x5）<=105-（1.8x4+2.4x3+2.0x1+1.8x2）-2.4（x1+x2+x3+x4+x5）
简化得：
10.42x4+12.01x3+10.95x1+10.42x2+5.65x5<=105
秋季：
原本的羊羔食草量视为与成羊相同，故应满足的关系式为：
1.35（x1+x2+x3+x4+x5）<=105-（8.8x1+8.4x2+9.6x3+8.4x4+4.8x5）
简化得：
11.77x4+13.36x3+12.3x1+11.77x2+7x5<=1.4×105
MAX=1.8x4+2.4x3+2.0x1+1.8x2
第五年：
春季：
所有的羊都要吃草，
即：
（1.8x3+2.4x4+2.0x5+1.8x1）+2.4（x1+x2+x3+x4+x5）<=3×104；
简化得：
4.2x1+2.4x2+4.2x3+4.8x4+4.4x5<=3×104
夏季：
春季剩余的草及夏季增长的草不仅要满足本季里羊群的需求，同时还要满足冬季羊群的需求，即要保证冬季的饲料有足够的储存量，于是有：
（1.8x3+2.4x4+2.0x5+1.8x1）+2.4（x1+x2+x3+x4+x5）+2.1（x1+x2+x3+x4+x5）<=105-（1.8x3+2.4x4+2.0x5+1.8x1）-2.4（x1+x2+x3+x4+x5）
简化得：
10.42x3+12.01x4+10.95x5+10.42x1+5.65x2<=105
秋季：
原本的羊羔食草量视为与成羊相同，故应满足的关系式为：
1.35（x1+x2+x3+x4+x5）<=1.4×105-（8.4x1+4.8x2+8.4x3+9.6x4+8.8x5）
简化得：
11.77x3+13.36x4+12.3x5+11.77x1+7x2<=1.4×105
MAX=1.8x3+2.4x4+2.0x5+1.8x1
综上所述
MAX8x1+8x2+8x3+8x4+8x5
st
2.4x1+4.2x2+4.8x3+4.4x4+4.2x5<=30000
10.42x2+12.01x3+10.95x4+10.42x5+5.65x1<=100000
11.77x2+13.36x3+12.3x4+11.77x5+7x1<=140000
4.2x1+4.8x2+4.4x3+4.2x4+2.4x5<=30000
10.42x1+12.01x2+10.95x3+10.42x4+5.65x5<=100000
11.77x1+13.36x2+12.3x3+11.77x4+7x5<=140000
4.8x1+4.4x2+4.2x3+2.4x4+4.2x5<=30000
10.42x5+12.01x1+10.95x2+10.42x3+5.65x4<=100000
11.77x5+13.36x1+12.3x2+11.77x3+7x4<=140000
4.4x1+4.2x2+4.8x3+4.2x4+2.4x5<=30000
10.42x4+12.01x3+10.95x1+10.42x2+5.65x5<=100000
11.77x4+13.36x3+12.3x1+11.77x2+7x5<=140000
4.2x1+2.4x2+4.2x3+4.8x4+4.4x5<=30000
10.42x3+12.01x4+10.95x5+10.42x1+5.65x2<=100000
11.77x3+13.36x4+12.3x5+11.77x1+7x2<=140000
x1-x2=0
x2-x3=0
x3-x4=0
x4-x5=0
end
gin5
运行结果见附录2
结论2：
由运行结果可知，其每年秋季卖出的羊的总和为60000只羊，但是在卖出的羊的只数相等的情况下，明显模型二避免在第四年时出现的严重老龄化的问题，因此在牧羊的循环方式上我们选择模型二，但是同样我们忽略了死亡率的问题，那么为了改进模型二，我们引入了模型三。
模型三
3.1、模型假设与符号均与模型二相同，另外有几点增加如下所示：
1）假设牧民能从市场上，以小羊羔1:
1任意换取1龄至4龄羊
2）忽略已死羊吃的草
3）假设1龄羊死亡率为0
4）假设鲜草向干草的转化率为0.5
y1:
在夏季给下一年春季储存的草量
y2:
在夏季给冬季储存的草量
y3:
在秋季给下一年春季储存的草量
y4：
在秋季给冬季储存的草量
3.2、对于模型二中问题的分析
3.2.1草的优化问题
在运行结果中我们可以看出，每一个年龄段的羊都是1500只，那么对于春季的吃草量为：
2.4x1+4.2x2+4.8x3+4.4x4+4.2x5=（2.4+4.2+4.8+4.4+4.2）×1500=23400
夏季为冬季储草的为（此式子也是基于模型二，对于题目中夏季对冬季的供草量的问题的回答）：
2.1（x1+x2+x3+x4+x5）=2.1×1500×5=15750
夏季的吃草量为：
1.65（1.8x2+2.4x3+2.0x4+1.8x5）+1.15（x1+x2+x3+x4+x5）=
1.65×8×1500+1.15×5×1500=28425
秋季的吃草量为：
1.35（x1+x2+x3+x4+x5）=10125
因此将春夏秋冬的吃草量相加一共为77700（kg），然而总产草量为140000（kg）,明显草资原浪费严重，而在秋季产量为40000（kg）,而食用量只有10125（kg），因此，秋季的草也应该向春和冬两供草。
3.3、模型的建立与求解
3.3.1、第一年：
春季：
春吃的草<=春产的草+夏和秋供的草
2.4x1+4.2x2+4.8x3+4.4x4+4.2x5<=3×104+y1+y3；
夏季：
夏吃的草+供春和冬的草<=【（春产的草+夏和秋供的草）-春吃的草】+夏产的草
1.65（1.8x2+2.4x3+2.0x4+1.8x5）+1.15（x1+x2+x3+x4+x5）+y1+y2<=
3×104+7×104-（1.8x2+2.4x3+2.0x4+1.8x5）-2.4（x1+x2+x3+x4+x5）+y1+y3；
简化得：
3.55x1+8.32x2+9.91x3+8.85x4+3.55x5<=105+y3-y2；
秋季：
秋吃的草+供春和冬的草<={【（春产的草+夏和秋供的草）-春吃的草】+夏产的草}+秋产的草-夏吃的草+供春和冬的草
1.35（x1+x2+x3+x4+x5）+y3+y4
<=1.4×105-（3.55x1+8.32x2+9.91x3+8.85x4+3.55x5）+y3-y2；
简化得：
4.9x1+9.67x2+11.26x3+10.2x4+4.9x5<=1.4×105-y2-y4；
冬季：
冬吃的草<=夏和秋供的草
2.1×（x1+x2+x3+x4+x5）<=y2+y4
同理，第二年、第三年、第四年、第五年也可以同样得出。
3.3.2、但是因为鲜草与干草有很大的区别，因此在3.3.1的基础上，我们再考虑草的转化率问题，分析如下：
第一年：
春季：
春吃的草<=春产的草+（夏和秋供的草）×0.5
2.4x1+4.2x2+4.8x3+4.4x4+4.2x5<=3×104+0.5y1+0.5y3；
夏季：
夏吃的草+供春和冬的草<=
【（春产的草+（夏和秋供的草）×0.5）-春吃的草】+夏产的草
1.65（1.8x2+2.4x3+2.0x4+1.8x5）+1.15（x1+x2+x3+x4+x5）+y1+y2<=
3×104+7×104-2.4x1+4.2x2+4.8x3+4.4x4+4.2x5+0.5y1+0.5y3；
简化得：
3.55x1+8.32x2+9.91x3+8.85x4+3.55x5<=105+0.5y3-y2-0.5y1；
秋季：
秋吃的草+供春和冬的草<={【（春产的草+（夏和秋供的草）×0.5）-春吃的草】+夏产的草}+秋产的草-夏吃的草+供春和冬的草
1.35（x1+x2+x3+x4+x5）+y3+y4
<=1.4×105-（3.55x1+8.32x2+9.91x3+8.85x4+3.55x5）+0.5y3-y2-0.5y1；
简化得：
4.9x1+9.67x2+11.26x3+10.2x4+4.9x5<=
1.4×105-y2-y4-0.5y3-0.5y1；
冬季：
冬吃的草<=（夏和秋供的草）×0.5
2.1（x1+x2+x3+x4+x5）<=（y2+y4）×0.5
同理，第二年、第三年、第四年、第五年也可以同的的得出，所以归纳出LINDO的代码如下：
MAX8x1+8x2+8x3+8x4+8x5
st
4.2x2+4.8x3+4.4x4+4.2x5+2.4x1-0.5y1-0.5y3<=30000
8.32x2+9.91x3+8.85x4+3.55x5+3.55x1-0.5y3+y2+0.5y1<=100000
9.67x2+11.26x3+10.2x4+4.9x5+4.9x1+y2+y4+0.5y1+0.5y3<=140000
4.2x1+4.8x2+4.4x3+4.2x4+2.4x5-0.5y1-0.5y3<=30000
8.32x1+9.91x2+8.85x3+3.55x4+3.55x5-0.5y3+y2+0.5y1<=100000
9.67x1+11.26x2+10.2x3+4.9x4+4.9x5+y2+y4+0.5y1+0.5y3<=140000
4.2x5+4.8x1+4.4x2+4.2x3+2.4x4-0.5y1-0.5y3<=30000
8.32x5+9.91x1+8.85x2+3.55x3+3.55x4-0.5y3+y2+0.5y1<=100000
9.67x5+11.26x1+10.2x2+4.9x3+4.9x4+y2+y4+0.5y1+0.5y3<=140000
4.2x4+4.8x3+4.4x1+4.2x2+2.4x5-0.5y1-0.5y3<=30000
8.32x4+9.91x3+8.85x1+3.55x2+3.55x5-0.5y3+y2+0.5y1<=100000
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x1-x2=0
x2-x3=0
x3-x4=0
x4-x5=0
end
gin5
运行结果见符录3
结论3：
卖出的总羊数为82960只。
其中1龄羊到5龄羊分别为2074只，夏季给冬季储存的草量为40590（kg），秋季给下一年春季储存的草量为22960（kg），秋季给冬季储存的草量为3040（kg）
3.4、针对问题一，我们所放的羊最多的时间为春和夏两个季节：
（8+5）×2074=26962（只）。
3.5、针对每年保留的母羊量
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