一元一次方程.docx
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一元一次方程
目录
●一元一次方程
●§6.1从实际问题到方程
●§6.2解一元一次方程
●1方程的简单变形
●2解一元一次方程
●§6.3实践与探索
●小结
●复习题
一元一次方程
一队师生共328人,乘车外出旅游,已有校车可乘64人,如果租用客车,每辆可乘44人,那么还要租多少辆客车?
44×?
+64=328
§1.1从实际问题到方程
问题1:
某校初中一年级32
8名师生乘车外出春游,已有2辆校车可乘坐64人,还需租用44座的客车多少辆?
小学里已经学过列方程的解法,我们不妨回顾一下:
设需租用客车x辆,共可乘坐44x人,加上乘坐校车的64人,就是全体328人.可得44x+64=328. 解这个方程,就能得到所求的结果.
思考如果未知数可能取到的数值较多,或者不一定是整数,该从何试起?
如果试验根本无法入手又该怎么办?
练习:
根据题意设未知数,并列出方程(不必求解):
1.某班原分成两个小组活动,第一组26人,第二组22人,根据学校活动器材的数量,要将第一组人数调整为第二组人数的一半,应从第一组调多少人到第二组去?
2.小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教育储蓄.今年到期时取出,得到的本息和为3243元.请你帮小明算一算这种储蓄的年利率.
所谓方程,就是含有未知数的等式。
方程的种类很多,而我们现在所研究的一元一次方程属于整式方程,即方程两边都是整式。
一元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0。
概括:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式(即一元一次方程整理后都能得到的形式)是:
ax+b=0(a,b为常数,x为未知数,且a≠0)
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
ax=b解:
当a≠0,b=0时,ax=0x=0;当a≠0时,x=b/a。
当a=0,b=0时,方程有无数个解(注意:
这种情况不属于一元一次方程,而属于恒等方程)当a=0,b≠0时,方程无解.检验方程的解只需将值带入方程的未知数即可。
如相等就是其解,反之就不是。
例1.判断下列哪些是一元一次方程?
①3x+5=7x+2、②2x+3y=6、③y2+2y+1=0、④2x2+9=3x+2x2,⑤
,⑥4x+3=4x+3,⑦6x+3y=6x-9
习题1.1
1.检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解:
(1)
,
;
(2)2(y-2)-9(1-y)=3(4y-1),{-10,10}.
2.小赵去商店买练习本,回来后问同学:
“店主告诉我,如果多买一些就给我八折优惠.我就买了20本,结果便宜了1.60元.你猜原来每本价格多少?
”你能列出方程吗?
§6.2解一元一次方程
1.方程的简单变形
联想测量一些物体的质量时,我们经常将它们放在天平的左盘内,在右盘内放上砝码,使天平处于平衡状态,这时两边的质量相等,我们就可测得该物体的质量.如果我们在两边盘内同时添上(或取下)相同质量的物体,可以发现天平依然平衡;如果我们将两边盘内物体的质量同时扩大到原来相同的倍数(或同时缩小到原来的几分之一),也会看到天平依然平衡.
归纳:
通过对方程进行适当的变形,可以求得方程的解.
例1 解下列方程:
(1)x-5=7;
(2)4x=3x-4.
解
(1)由x-5=7,
(2)由4x=3x-4,
两边都加上5,得x=7+5,两边都减去3x,得4x-3x=-4,即x=12.即x=-4.
概括
方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式,方程的解不变.方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数,方程的解不变.将方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一边的变形叫做移项.移项要变号。
例2 解下列方程:
(1)-5x=2;
(2)
x=
.解
(1)方程两边都除以-5,得
(2)方程两边都除以
(或乘以
),得 x=
. x=
×
,
概括即x=
以上例1和例2解方程的过程,都是对方程进行适当的变形,将未知数的系数化为1,得到x=a的形式.
练习
1.列方程的变形是否正确?
为什么?
(1)由3+x=5,得x=5+3;
(2)由7x=-4,得x=-
;(3)由
得y=2;(4)由3=x-2,得x=-2-3.
2.(口答)求下列方程的解:
(1)x-6=6;
(2)7x=6x-4;(3)-5x=60;(4)
.
3.利用方程的变形,求方程2x+3=1的解,
例3 解下列方程:
(1)8x=2x-7;
(2)6=8+2x;(3)
解
(1)8x=2x-7,
(2)6=8+2x,(3)
8x-2x=-7,8+2x=6,
6x=-7,2x=-2
x=
.x=-1y=
习题6.2.1
1.解下列方程:
(1)18=5-x;
(2)
;
(3)3x-7+4x=6x-2;(4)10y+5=11y-5-2y;
(5)a-1=5+2a;(6)0.3x+1.2-2x=1.2-2.7x.
2.解下列方程:
(1)2y+3=11-6y
(2)2x-1=5x+7
(3)
x-1-2x=-1;(4)
x-3=5x+
3.已知y1=3x+2,y2=4-x.
(1)当x取何值时,y1=y2?
(2)当x取何值时,y1比y2大4?
2.解一元一次方程
例4 解方程:
3(x-2)+1=x-(2x-1). 解:
原方程的两边分别去括号,得
3x-6+1=x-2x+1,
3x-5=-x+1,3x+x=1+5,4x=6,x=
.
练习
1.解下列方程:
(1)5(x+2)=2(5x-1);
(2)(x+1)-2(x-1)=1-3x;(3)2(x-2)-(4x-1)=3(1-x).
2.列方程求解:
(1)当x取何值时,代数式3(2-x)和2(3+x)的值相等?
(2)当y取何值时,2(3y+4)的值比5(2y-7)的值3?
例5 解方程:
解由原方程得(去分母)3(x-3)-2(2x+1)=6,(去括号)3x-9-4x-2=6,(移项)3x-4x=6+9+2,(合并同类项)-x=17,(化系数为1)x=-17.
概括:
一元一次方程一般解法:
1.去分母:
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(不含分母的项也要乘);
2.去括号:
先去小括号,再去中括号,最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号)
3.移项:
把含有未知数的项移到方程的一边,常数项移到方程的另一边;移项要变号
4.合并同类项:
把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
5.系数化为1:
在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b/a.练习
1.解下列方程。
(1)
;
(2)
;(3)
(4)
例6 天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐,问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内,才能使两者所盛盐的质量相等?
解:
设应从盘A内拿出盐xg放到盘B内,则根据题意,得51-x=45+x.
解这个方程,得x=3.
经检验,符合题意.
答:
应从盘A内拿出3g盐放到盘B内.
例7学校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖.女同学每人搬6块,男同学每人搬8块,每人搬了4次,共搬了1800块.问这些新团员中有多少名男同学?
解:
设新团员中有x名男同学,则根据题意,得32x+24(65-x)=1800.
解这个方程,得x=30.
经检验,符合题意.
答:
新团员中有30名男同学.
练习
1.学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米/秒的速度跑完了大部分路程,最后以8米/秒的速度冲刺到达终点,成绩为1分零5秒,问小刚在冲刺阶段花了多少时间?
2.练习第1题中,若问“小刚在离终点多远时开始冲刺”,你该如何求解?
归纳
用一元一次方程解答实际问题,关键在于抓住问题中有关数量的相等关
系,列出方程.求得方程的解后,经过检验,就可得到实际问题的解答.
这一过程也可以简单地表述为:
其中分析和抽象的过程通常包括:
(1)弄清题意和其中的数量关系,用字母表示适当的未知数;
(2)找出能表示问题含义的一个主要的等量关系;
(3)对这个等量关系中涉及的量,列出所需的表达式,根据等量关系,得
到方程.
在设未知数和解答时,应注意量的单位.
习题6.2.2
1.解下列方程:
(1)
;
(2)
2.解下列方程:
(1)
;
(2)
;(3)
.
3.
(1)在等式S=
中,已知S=279,b=7,n=18,求a的值.
(2)已知梯形上底a=3,高h=5,面积S=20,根据梯形的面积公式S=
,求下底b的长.
3.球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝合而成的,共计有32块,已知黑色块数比白色块数的一半多2,问两种皮块各有多少?
4.学校大扫除,某班原分成两个小组,第一组26人打扫教室,第二组22人打扫包干区.这次根据工作需要,要使第二组人数是第一组人数的2倍,那么应从第一组调多少人到第二组去?
5.学校所在地的出租车计价规则如下:
行程不超过3千米,收起步价8元,超过部分每千米路程收费1.20元.某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租车付了17.60元,他们共乘坐了多少路程?
§6.3实践与探索
问题1用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形.
(1)使长方形的宽是长的
,求这个长方形的长和宽.
(2)使长方形的宽比长少4厘米,求这个长方形的面积.(3)比较
(1)、
(2)所得两个长方形面积的大小.还能围出面积更大的长方形吗?
讨论每小题中如何设未知数?
在小题
(2)中,能不能直接设面积为x平方厘米?
如不能,该怎么办?
探索将题
(2)中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米(即长与宽相等),长方形的面积有什么变化?
练习
1.一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱,它的高是多少?
(精确到0.1厘米,π取3.14)
2.在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水,再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃中,能否完全装下?
若装不下,那么瓶内水面还有多高?
若未能装满,求杯内水面离杯口的距离.
读一读
本节问题1中,通过探索我们发现,长方形的周长一定的情况下,它的长和宽越接近,面积就越大.当长和宽相等,即成为正方形时,面积最大,通过以后的学习,我们就会知道其中的道理.
有趣的是:
若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形(包括随意七凹八凸的不规则图形),面积最大的是圆.这里面的道理需要较
为高深的学问.将来你有兴趣去认识它吗?
问题2小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄.今年到期后,扣除利息税,所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器.问小明爸爸前年存了多少元?
讨论扣除利息的20%,那么实际得到利息的多少?
你能否列出较简单的方程?
练习
填 空:
1.
(1)学校图书馆原有图书a册,最近增加了20%,则现在有图书_______册;
(2)某煤矿预计今年比去年增产15%,达到年产煤60万吨,设去年产煤x万吨,则可列方程________________;
(3)某商品按定价的八折出售,售价14.80元,则原定价是_________元.
1.肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债4500元,今年到期,扣除利息税后,共得本利和约4700元.问这种债券的年利率是多少(精确到0.01%)?
习题6.3.1
1.一个角的余角比这个角的补角的一半小40°,求这个角的度数.2.某市去年年底人均居住面积为11平方米,计划在今年年底增加到人均13.5平方米.求今年的住房年增长率
(精确到0.1%).
3.某银行设立大学生助学贷款,分3~4年期,5~7年期两种.贷款年利率分别为6.03%、6.21%,贷款利息的
50%由国家财政贴补.某大学生预计6年后能一次性偿还2万元,问他现在大约可以贷款多少(精确到0.1万元)?
4.解答下列问题,并比较它们的区别:
(1)师徒两人检修一条长180米的自来水管道,师傅每小时检修15米,徒弟每小时检修10米.现两人合作,多少时间可以完成整条管道的检修?
(2)师徒两人检修一条煤气管道,师傅单独完成要10小时,徒弟单独完成要15小时.现两人合作,需多少小时完成?
5.学校准备添置一批课桌椅,原订购60套,每套100元.店方表示:
如果多购,可以优惠.结果校方购了72套,每套减价3元,但商店获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.
习题6.3.2
1.试将下题内容改为与我们日常生活、学习有关的问题,使所列得的方程相同或相似:
食堂存煤若干吨,原来每天烧煤3吨,用去15吨后,改进设备,耗煤量改为原来的一半,结果多烧了10天,求原存煤量.
2.中国民航规定:
乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李,超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票.一名旅客带了35千克行李乘机,机票连同行李费共付1323元,求该旅客的机票价.
3.为庆祝学校运动会开幕,初一
(2)班学生接受了制作小旗的任务,原计划一半同学参加制作,每天制作40面。
完成了三分之一以后,全班同学一起参加,结果比原计划提前一天半完成任务。
假设每人制作的效率相同,问共制作小旗多少面?
小结
一、知识结构
二、注意事项
1.对一元一次方程的认识,要联系生活实际,在学习中体会:
方程是反映现实世界中数量相等关系的一个有效的数学模型.
2.解一元一次方程时,既要注意合理地进行方程的变形,也要注意根据方程的特点灵活运用.
3.在应用一元一次方程解实际问题时,要学会分析问题的本领.能根据题意,将实际问题转化为数学问题,特别是寻求主要的数量相等关系,列出方程.求得方程的解后,要注意检验所得结果是否符合实际问题的要求.
复 习 题
A组
1.解下列方程:
(1)
(2)
(3)4x+3=2(x-1)+1;
(4)
(5)
(6)
2.
(1)x取何值时,代数式4x-5与3x-6的值互为相反数?
(2)k取何值时,代数式
的值比
的值小1?
3.课外活动中一些学生分组参加活动,原来每组8人,后来重新编组,每组12人,这样比原来减少2组.问这些学生共有多少人?
4.一种药品现在售价每盒56.10元,比原来降低了15%,问原售价多少元?
5.用一根直径12cm的圆柱形铅柱,铸造10只直径12cm的铅球,应截取多长的铅柱?
(球的体积
R3)
6.一个三位数,百位上的数字比十位上的数字大1,个位上的数字比十位上数字的3倍少2.若将三个数字顺序颠倒后,所得的三位数与原三位数的和是1171,求这个三位数.
7.一年级三个班为希望小学捐赠图书.1班捐了152册,2班捐书数是三个班级的平均数,3班捐书数是年级总数的40%,三个班共捐了多少册?
B组
8.
(1)
(2)
(3)
(4)
9.已知x=
是方程
的解,求m的值.
10.当k取何值时,方程2(2x-3)=1-2x和8-k=2(x+1)的解相同?
11.学校在植树活动中种了杨树和杉树两类树种,已知种植杨树的棵数比总数的一半多56棵,杉树的棵数比总数
的三分之一少14棵.两类树各种了多少棵?
12.一家商店将某型号彩电先按原售价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”.经顾客投诉后,执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款.求每台彩电的原售价.
13.从甲地到乙地公共汽车原需行驶7个小时,开通高速公路后,路程近了30千米,而车速平均每小时增加了
30千米,只需4个小时即可到达。
求甲乙两地之间高速公路的路程。
14.小王每天去体育场晨练,都见到一位田径队的叔叔也在锻炼.两人沿400米跑道跑步,每次总是小王跑2圈的时间,叔叔跑3圈.一天,两人在同地反向而跑,小明看了一下记时表,发现隔了32秒钟两人第一次相遇.求两人的速度.第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑,看叔叔隔多少时间再次与他相遇.你能先给小王预测一下吗?
C组
15.当x=2时,代数式2x2+(3-c)x+c的值是10,求当x=-3时这个代数式的值.
16.解下列方程:
(1)︱x-3︱=2
(2)︱2x+1︱=5
17.一批树苗按下列方法依次由各班领取:
第一班取100棵和余下的
,第二班取200棵和余下的
,第三班取300棵和余下的
,……最后树苗全部被取完,且各班的树苗数都相等.求树苗总数和班级数.
18.小赵为班级购买笔记本作晚会上的奖品.回来时向生活委员小陈交账说:
“一共买了36本,有两种规格,单价分别为1.80元和2.60元.去时我领了100元,现在找回27.60元.”小陈算了一下,说:
“你肯定搞错了.”小赵一想,发觉的确不对,因为他把自己口袋里原有的2元钱一起当作找回的钱款给了小陈.请你算一算两种笔记本各买了多少?
想一想有没有可能找回27.60元,试应用方程的知识给予解释.
19.初一(5)班有46名学生,安排值日生时要考虑:
周一至周五每天除打扫教室外,还要打扫学校包干区;包干区面积不大,平时人数可少些,周五大扫除要和打扫教室人数差不多;周一早晨需安排1至2名同学整理教室;每位同学每周轮到一次值日.请你代理劳动委员,安排值日人数.
20.若
互为相反数(
),则
的根是_________.
21.已知
是关于
的一元一次方程,那么
_______
22.方程
的标准形式为_______________.
23.方程
与方程
的解一样,则
________.
24.解方程:
(1)
;
25.一项工作,甲单独做需15天完成,乙单独做需12天完成,这项工作由甲、乙两人合做,并且施工期间乙休息7天,问几天完成?
26.某服装厂童装车间有40名工人,缝制一种儿童套装(一件上衣和两条裤子配成一套)。
已知1名工人一天可缝制童装上衣3件或裤子4件,问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套?