重庆中考数学第25题几何专题训练.docx
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重庆中考数学第25题几何专题训练
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GFEDCBAM证明题
1.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：
BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：
①
ME⊥BC；②DE=DN．
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG。
求证：
（1）AF＝CG；
（2）CF＝2DE
3.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于O点，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。
（1）求证：
OE=OF；
（2）若BC=23，求AB的长。
4.已知，如图，在?
ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；
（
2）求证：
∠CEG=∠AGE．
5.如图1，在△ABC中，?
ACB=90°，?
BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。
（1）如图1，若点H
是AC的中点，AC=23，求AB，BD的长。
（2）如图1，求证：
HF=EF。
（3）如图2，连接CF，CE，猜想：
△CEF是否是等边三角形？
若是，请证明；若不是，请说明理由。
2/14
6.如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE．
（1）若AF是△ABE的中线，且AF＝5，AE＝6，连结DF，求DF的长；
（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．
①如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：
AG＋EG＝BE；
②如图3，若点E是AC边上的动点，连结DF．当点E在AC边上（不含端点）运动时，∠DFG的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG的度数；如果要变，请说明理由．
7.
在△ABC中，AB=AC
，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠
EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，
AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将
（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC相交于点F.
求证：
1CF2BEAB?
?
；
（3）如图3，将
（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：
3（）BECFBECF?
?
?
.
8.已知在四边形ABCD中，180ABCADC?
?
?
?
?
，AB=BC.
（1）如图1，若90BAD?
?
?
，AD=2，求CD的长度；
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：
1902PBQADC?
?
?
?
?
；
（3）如图3，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，则
（2）中的结论是否成立？
若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出PBQ?
与ADC?
的数量关系，并给出证明过程.
9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：
BE=EF；
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，
（2）中的结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，A
BFDCE25题图1BA
F
DCE
G25题图2A
BFDCEG25题图3图1
DABCADBCPQ图2
ADBCPQ图3
3/14
A
EOCB请说明理由．
10.如图1，在菱形ABCD中，?
ABC=60°，若点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．
（1）过D作DH?
AB,垂足为H，若DH，BE=14AB,求DG的长；
（2）连接CP，求证：
CP?
FP；
（
3）如图2，在菱形ABCD中，?
ABC=60°，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP
、CP，那么第
（2）问的结论成立吗？
若成立，求出PFCP的值；若不成立，请说明理由．
11.如图1，ABC?
中，BEAC?
于点E，ADBC?
于点D，连接DE.
（1）若ABBC?
，1DE?
，3BE?
，求ABC?
的周长；
（2）如图2，若ABBC?
，ADBD?
，ADB?
的角平分线DF交BE于点F，求证：
2BFDE?
；
（3）如图3，若ABBC?
，ADBD?
，将ADC?
沿着AC翻折得到AGC?
，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论。
12.如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角形内部作Rt△ABE,
且∠AEB=90°，连接EO.
求证：
（1）∠OAE=∠OBE;
（2）AE=BE+2OE.
13.张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．
求证：
PD+PE=CF．
小军的证明思路是：
如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：
PD+PE=CF．
小俊的证明思路是：
如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：
PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：
PD﹣PE=CF；
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
EA
BCDHPFG
第25题图1
ABCDP
F第25题图2
E
G'
4/14
MH
GBF
EDA【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；
【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为A边上的一点EA，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD?
CE=DE?
BC，AB1dm，AD=3dmBD3dm、分别AB的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．
14.
15.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H，延长线段AE、GH交于点M.
（1）求证：
∠BFC=∠BEA；
（2）求证：
AM=BG+GM.
16.某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）如图1所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，求证：
①AF＝AG＝21AB；②MD＝ME；
（2）在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状（直接写答案，不需要写过程）
（3）在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？
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AEOCB
17.
18.
19.如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角形内部作Rt△ABE,且∠AEB=90°，连接EO.
求证：
（1）∠OAE=∠OBE;
（2）AE=BE+2OE.
2o.如图，已知，∠BAC＝90o，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E。
（1），若AD＝1，求DC；
（2）求证：
BD＝2CE
21.如图所示，△ABC中，ABAC=,∠BAC=90°,AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I.
（1）求证：
AF⊥BE；
（2）求证：
3ADDI=.
IHGFEDBCA．
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22.已知平行四边形ABCD中，G为BC中点，点E在AD边上，且21?
?
?
．
（1）求证：
E是AD中点；
（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足23?
?
?
，求证：
CD=BF+DF．
23.
24.如图1，ABC?
中，BEAC?
于点E，ADBC?
于点D，连接DE.
（1）若ABBC?
，1DE?
，3BE?
，求ABC?
的周长；
（2）如图2，若ABBC?
，ADBD?
，ADB?
的角平分线DF交BE于点F
，求证：
2BFDE?
；
（3）如图3，若ABBC?
，ADBD?
，将ADC?
沿着AC翻折得到AGC?
，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论。
7/14
25.我们知道平行四边形有很多性质。
现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折。
会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD中，∠B＝30o，
AB，将△ABC沿AC翻折至ABC?
?
，连接BD?
。
【发现与证明】：
如图1：
求证：
①△AGC是等腰三角形；
②BDAC?
∥（只选一个证明哟，4分）
【应用与解答】：
如图2：
如果AB＝23，BC＝1，AB?
与CD相交于点E，求△AEC的面积
【拓展与探索】如果AB＝23，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？
（4分）
26.在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，若AB=10，BF=4，求PG的长；
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明.（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，
（2）问中关系还成立吗？
写出你的猜想，并给予证明.
在菱形ABCD中，A?
=60°，以D为顶点作等边三角形DEF，
连接EC，点NP、分别为EC、BC的中点，连接NP.
（1）如图1，若点E在DP上，EF与CD
交于点M，连接MN，3?
CE,求MN的长；
（2）如图2，若M为EF中点，求证：
MNPN?
；
（3）如图3，若四边形ABCD为平行四边形,且ADBC?
?
?
≠60°,以D为顶点作三角形DEF，满足DEDF?
且EDFABD?
?
?
MNP、、仍分别为EF、EC、BC的中点，请探究ABD?
与MNP?
的和是否为一个定值，并证明你的结论.
27.
A
BCDG
F
P
A
A
B
BC
C
D
D
GGF
F
P
P
图1图2图3第25题图
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28.如图1，正方菜ABCD中，AC是对角线，等腰RtΔCMN中，∠CMN=900，CM=MN，点M在CD边上；连接AN，点E是AN的中点，连接BE。
（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；
（2）求证：
2BE=AC+CN；
（3）当等腰RtΔCMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F。
请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论。
29.如图，正方形ABCD的边长为6,点E在边AB上，过点D作FD⊥DE，并与BC的延长线相交于点F，EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H．
（1）若BF＝BD，求BE的长；
（2）若∠ADE＝2∠BFE,求证：
HF＝HE＋HD．
30.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，点F在AD
边上，且AE=DF
，AF=CD，连接线段CE、EF、CF．点G是线段CE的中点，点M是线段EF上一点，过点G作GN⊥GM，将CF于点N．
（1）求证：
△AEF≌△DFC；
（2）求证：
ME=NF．
31.如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，点F是CB延长线上一点，连接EF交AB于点G，且DE=BF．AE的垂直平分线MN交AE于点N、交EF于点M．若∠AFG=2∠BFG=45°，AF=2．24题图A
BCD
EFG
H
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（1）求证：
AF=CE；
（2）求△CEF的面积．
32.
33.如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90?
，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG＝∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．
（1）求证：
CD＝CG；
（2）若AD＝CG，求证：
AB＝AC＋BH．
34.已知如图，在菱形ABCD中，CO⊥BD，垂足为点O，E为BC上一点，F为AD延长线上一点，EF交CD于点G，EG＝FG＝DG，连接OE、OF。
（1）若DG＝5，OC＝8，求BD的长；
（2）求证：
1902OFGBEF?
?
?
?
35.已知，如图，在RtABC?
中，90ACB?
?
，点D为AB
中点，连接CD。
点E为边AC上一点，过点E作//EFAB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG。
（1）求证：
EFCF?
；
（2）求证：
FGDG?
。
36.
EFGOADCB．
10/14
37.
38.
11/14
25.
26.如图1，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，将ABE?
沿AE翻折得AHE?
，延长EH交边CD于F，连接AF。
（1）求证：
45EAF?
?
；
（2）若4,ABFCD?
为的中点，求tanBAE?
的值；
（3）如图2，射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N，连接MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论。
25.27.如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使
点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：
△ADF≌△CEF；
12/14
（2）求DF的值；
（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？
26.如图，点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于F．
连接BF.
（1）如图l，当点E在CB的延长线上，且AC=EC时，求证：
BF=21AE；
（2）如图2，当点E在线段BC上。
且AE平分BAC?
时，求证：
AB+BE=AC；
（3）如图3，当点E继续往右运动到BC中点时，过点D作DH⊥AE于H，连接BH，
求证：
?
?
?
45BHF．
27.在
ABC中，ABAC?
，点D，点E在边BC上不同的两点，且75ADE?
?
?
。
（1）如图1，若90BAC?
?
?
，2CD?
，求BC的长。
（2）如图2，若90BAC?
?
?
，45EAD?
?
?
，求证：
3DCBE?
（3）如图3，若120BAC?
?
?
，60EAD?
?
?
，请问
（2）中的结论还成立吗？
若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.
图1图2图3
28.如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F，AE⊥l于点E，点D是AB的中点，连接ED．重·庆※名校—资源库编辑
（1）求证：
△ACF≌△CBE
（2）求证：
AF=BE+2
DE
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（3）如图2，将直线l旋转到△ABC的外部，其他条件不变，
（2）中的结论是否仍然成立，如果成立请说明理由，如果不成立AF、BE、DE又满足怎样的关系？
并说明理由
已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点做EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG。
（1）求证：
EG=CG;
（2）将图
（1）中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG,问1中的结论是否仍然成立？
请证明；若不成立，请说明理由。
（3）.将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应线段，问1中结论是否成立？
EG是否垂直于CG？
（不要证明）
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