方程与不等式之二元二次方程组基础测试题含答案.docx

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方程与不等式之二元二次方程组基础测试题含答案

一、选择题

1.某商场计划销售一批运动衣，能获得利润12000元.经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套？

每套运动衣实际利润是多少元？

【答案】实际销售运动衣800套，实际每套运动衣的利润是20元

【解析】

【分析】

根据计划销售的套数＞计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数棋际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解.

【详解】

x套，实际每套运动衣的利润是y元.

解：

设实际销售运动衣

根据题意，可列方程组

400y10

120004000

12000

解得:

為800

*20

800

20（舍去），

答：

实际销售运动衣

800套，每套运动衣的实际利润20元.

（1）

（2）

（3）67h或77h

3030

【点睛】

本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

2.已知A,B两地公路长300km，甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地，2小

时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A地相距105km的C处取回货物，于是甲车立即

原路返回C地，取了货物又立即赶往B地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到

达B地，两车的速度始终保持不变，设两车山发X小时后，甲、乙两车距离A地的路程分

别为

y1（km）和y2（km）.它们的函数图象分别是折线OPQR和线段OR.

求乙车从A地到B地所用的时问；

求图中线段PQ的解析式（不要求写自变量的取值范围）；

x=，两车相距25千米的路程.

【解析】

（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再求甲车从A地到B地所花时间；即可求出乙车从A地到B地所用的时间；

（2）由题意可

知，求出线段PQ的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x的值.

（1）解：

由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为180290（km/h）

甲车行驶的总路程为：

2180105300450（km）

甲车从A地到B地所花时间为：

450905（h）

又•••两车同时到达B地，

•••乙车从A地到B地所用用的时间为5h.

（2）由题意可知，甲返回的路程为18010575（km），所需时间为7590-

（h）,26

1717

—.•Q点的坐标为（105,—）.设线段PQ的解析式为：

ykxb,

把（2,180）和

（105,

180

17）代入得：

｛

6108

17k

，解得k90,b360,

•••线段PQ的解析式为y

90x360.

（3）67h或一

3030

点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意,用数型结合的思想解答问题.

找出所求问题需要的条件，利

3.解方程组:

2xy

y21

【答案】

【解析】

【分析】

由②得:

（X

y）2

1,即得Xy1或Xy1,

再同①联立方程组求解即可.

【详解】

2xy

X22xyy21②

由②得：

（Xy）21,

•••Xy1或Xy1

把上式同①联立方程组得:

2xy

解得:

•••原方程组的解为

4.解方程组:

【答案】

【解析】

【分析】

把①方程变形为

（X

别和原方程组中的

【详解】

方程①可变形为

（X

5xy

6y2

6y）（xy）

0，从而可得X6y0或Xy0，把这两个方程分

方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可

6y）（xy）0，

得x6y0或xy0，

将它们与方程②分别组成方程组，得:

（I）x6y

2xy

0或（n）

xy0

2xy1

解方程组（I）

解方程组（n）

所以原方程组的解是

5.解方程组y2

4xy

4y2

【答案】

3’y21

X20

【解析】

【分析】先将

②式左边因式分解，再将①

式代入，可求出

X,再分别代入①式求出y.

【详解】解:

yx1?

①

x24xy4y24②

由②得，X

把①代入③，

即:

X22

所以，x+2=2或x+2=-2

所以，X1=-4,x2=0,

把X1=-4,x2=0,分别代入①，得y1=-3,y2=1.

所以，方程组的解是

y13'y21

【点睛】本题考核知识点：

解二元二次方程组

.解题关键点:

用代入法解方程组

6.计算:

（1）旷27后

（2）解方程组:

3x5y

10y6

（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来:

3x4

（3）

2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再

【答案】

（1）

【解析】

【分析】

（1）先求开方运算，再进行加减;在数轴上表示解集.

【详解】解：

（1）原式=-3+4--=丄

3x5y3①

4x10y6②

①X2+②，得x=0

把x=0代入①式y=—

所以，方程组的解是

6x2

（3）2x1

由①式得,

由②式得,

XV—

所以，不等式组的解集是

x一

把解集在数轴上表示:

-3-2-120

11123

【点睛】本题考核知识点:

开方，解二元一次方程组，解不等式组

•解题关键点：

掌握相关

解法.

7.如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过A（-1,0）,B（1,1）两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线11：

y=k1x+b1（k1,b1为常数，且k1M0,直线|2：

k2X+b2（k2,b2为常数，且k2M0，若|1丄|2，贝Uk1?

k2=-1.

解决问题：

1若直线y=2x-1与直线y=mx+2互相垂直，则m的值是;

2抛物线上是否存在点P,使得ARAB是以AB为直角边的直角三角形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A,B重合），求点M到直线AB

111

I答案】

（1）―产尹；

（2）①-2；②点P的坐标（6，-14）（4，-5）；

（3）遁.

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据垂线间的关系，可得PAPB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；

（3）根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形

的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值

【详解】

（1）将A,B点坐标代入,

解：

（1）

（2）

解得

抛物线的解析式为

（2）①由直线y=2x-

12-x2

1与直线y=mx+2互相垂直，得

2m=-1,

即m=-1

故答案为-1;

当PA丄AB时，PA的解析式为y=

②AB的解析式为y

-2x-2，

联立

PA与抛物线，得

-X

解得

0（舍），

14，

（6,

当PB丄AB时，PB的解析式为y=-2x+3,

联立

PB与抛物线,

12y2x

y2x

1x1

解得

（舍）

即p

综上所述:

（4,

-5）,

△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标（6,-14）（4,-5）;

•••M（t，-尹尹1），Q（t，厂2），

--MQ=——t2—

SZMAB=—MQ|xB-xa|

=-1t2+1,

当t=0时，S取最大值1，即M（0,1）.

由勾股定理，得

AB=~12=75,

设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得

h—-血

h=需=T.

点M到直线AB的距离的最大值是題

【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键

&如图,

轴交于点

y=—JC--

在平面直角坐标系中，直线I:

42沿x轴翻折后，与x轴交于点A,与y

B,抛物线y蔦Xh」

与y轴交于点D,与直线AB交于点E、点F（点F在点

E的右侧）

若线段DF//x轴，求抛物线的解析式；

如图，在

（2）的条件下，过F作FH丄x轴于点G,与直线I交于点H,在抛物线上是

P、Q的坐标，若不存在，请

；（3）

1,3）,（3,0）•

（2）

（3）

否存在P、Q两点（点P在点Q的上方），PQ与AF交于点M，与FH交于点N,使得直线PQ既平分△AFH的周长，又平分AAFH面积，如果存在，求出说明理由.

3y=N—.

42与x轴、y轴交点坐标，根据

—X

【解析】

【分析】

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b,先求出直线

沿x轴翻折，得到A、B的坐标，把A、B的坐标代入直线AB的解析式y=kx+b，即可求出

直线AB的解析式；

（2）设抛物线的顶点为P（h,0）,得出抛物线解析式为：

2^242,

v_—fr—hr+

3333,根据DF/x轴，得出F的坐标，把F的坐标代入直线AB

的解析式即可求出h的值，即可得到答案；

（3）

GA:

FA=3:

过M作MT丄FH于T,得到RtAMTF^RtMGF,得到FT:

TM:

FM=FG:

5，设FT=3k,TM=4k,FM=5k，求出FN的值，根据三角形的面积公式求出△AFH的面积，根据之间的等量关系即可求出k的值，设直线MN的解析式为:

612

△MNF和

y=kx+b，把

式，解由方程

【详解】

、N（6,-4），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线

y=—X+4

＜宀4十

和I3的解即可得出P、Q的坐标.

（1）解：

设直线AB的解析式为y=kx+b

y=—X—

直线42与x轴、y轴交点分别为（-2,0）,（0,

y=-=x—

•••直线42,

直线AB与x轴交于同一点（-2,0）

3）与点

•••A（-2,0）.与y轴的交点（0,

•••B（0，园），

MN的解析

2）,沿x轴翻折,

B关于x轴对称

0）,

-74

=寸兀£—hx+

3一

•••点F（2h,

i2—/t2

）,

解得k=4,b=2,

直线AB的解析式为

（2）解：

设抛物线的顶点为Q（h,

抛物线解析式为：

—h2

）.

又点F在直线AB上，•••34丿2,

-3

解得h1=3,h2=4

•••抛物线的解析式为

（3）解：

过M作MT丄FH于T,

（舍去），

22.

7=’忙-3）2=丁址上-4比+6

•••RtAMTFsRSGF.

•••FT:

TM:

FM=FG:

GA:

FA=3:

设FT=3kTM=4k,FM=5k,

则FN=2AH+HF+AF）-FM=16-5k,

•••S^NF=2（AH+HF+AF）-FM=16-5k,

又TSbMINF=2SZAFH.

（16-5A£）4ftj

=24,

解得k==W或k=2

FT^,

•••FM=6,

（舍去），

MT=m,GN=4,

TG可,

126

M（

P））、N（6,-4），代入得：

k+b且-4=6k+b,

亍，b=4,

解得：

y=3x+4,

联立y=

-=^x2-4h+6

3x+4与y=3

求得P（1,耳），Q（3,

0）.

此题是一个拔高的题目，有一定的难度.

本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组、解二元二次方程组，三角形相似的性质和判定，图形的旋转等知识点，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，

9.解方程组:

6xy9y24

（1）

x2y

（2）

或

【答案】

【解析】

【分析】

先将①

中的X2

-6xy+9y2分解因式为:

（x-3y）2，则x-3y=±，与②组合成两个方程组,

解出即可

解：

由①，得（x-3y）

•••x-3y=±2

2=4,

•••原方程组可转化为:

或

解得或

y11

所以原方程组的解为:

或

【详解】

-2

【点睛】

此题考查二元二次方程组的解,

解题关键在于掌握运算法则

10.解方程组：

2：

x22xy

3y20.

x25

【答案】

【解析】

【分析】

分别解方程组即可.

次方程，然后分别与第一个方程联立成二

先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元元一次方程组，

【详解】

由②得:

yx3y

所以，x

0或x3y

整理得:

「0

2x3y5

解得：

y1或

所以，原方程组的解为

【点睛】

本题主要考查二元二次方程组的解法,关键.

能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的

11.解方程组：

3xy

4y20

【答案】

【解析】

消去一个未知数X,得到关于y的一元二次方程，然后用公式法解出y的

【分析】由代入消元法，

值，然后计算出X,即可得到方程组的解

【详解】

x2解：

3xy4y20①

y3②

由②得:

xy3③，

3y（y3）4y0,

把③代入①，得（y3）2整理得：

6y23y

2250,

b4ac9

•••用求根公式法，得

解得:

yi=i,

•-Xi

4,X2

•••方程组的解为:

【点睛】

本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.

12.2

3xy4y

4xy4y2

【答案】

3%1X41

1^1%1

4y2

【解析】

【分析】

由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可.

【详解】

解:

将①

•••x

4y0或x

将②

2y1或x

•••原方程化为:

（x4y）（x

y）

（x2y）2

2y1

x4y0

4y0

xy0

x2y1

2y1，

X2y1'

x2y

因式分解得:

x3xyx24xy

解这些方程组得:

•••原方程组的解为:

【点睛】

本题考查了二元二次方程组的解法,方程组.

解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个

13.解方程组:

2y8

5xy

6y20

【答案】

2，

【解析】

【分析】

先将第2个方程变形为

x+6y=0,X-y=0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即

可.

【详解】

解：

2y8①

5xy6y

由②得:

x+6y=0,X-y=0,

原方程组可化为

2y8或

6y0

2y8

故原方程组的解为

【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法.

X5xy6y0

14.解方程组：

Xy12

【答案】

【解析】

【分析】

利用因式分解法求x2

0,得到x2y0或x3y0，然后得到两个二元

5xy6y

一次方程组，分别求出方程组的解即可

【详解】

解：

由（

1）得

0或x3y

x2y

或

12，

解方程组得:

则原方程组的解为

【点睛】

本题主要考查解二元二次方程组,

然后得到新的方程组

15.解方程组:

2y5

2xy10

解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解,•也可以利用代入消元法进行求解.

【答案】

3或

【解析】

【分析】

将方程

组成方程组,

【详解】

y22xy1

求出对应的

0变形整理求出xy1或xy1，然后分别与x2y5

x,y的值即可.

x2y

2xy1

解:

对②变形得:

1④，

①—③得：

3y4，解得：

y4代入①得：

5，解得:

-④得：

3y6，解得:

y2代入①得：

解得:

故原方程组的解为:

3或

【点睛】

本题考查了解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是转化”这种转化包含消

元”和降次”掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键.

16.解方程组:

x24y212①

x2y6②

【答案】

【解析】

【分析】

将①分解因式可得（X2y）（x组成可得

【详解】

2y）12，再将将②代入③后得x2y2，然后与②

解：

由①得（x2y）（x

2y）

12.③

将②代入③，

得x2y

得方程组

解得

所以原方程组的解是

【点睛】

本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的.

17.如图在矩形ABCD中，AB=nAD,点E、F分别在AB、AD上且不与顶点A、B、D重合,

AEFBCE,圆O过A、E、F三点。

（1）求证：

圆O与CE相切于点E.

（2）如图1,若AF=2FD,且AEF30，求n的值。

（3）如图2,若EF=EC且圆0与边CD相切，求n的值。

【答案】

（1）证明见解析；

（2）

^/3;（3）7

【解析】

（1）由四边形ABCD是矩形证明/FEC=90即可；

（2）函数求解；（3）利用三角形中位线、勾股定理和题意可列方程求出

在直角三角形中利用三角

nn的值.

⑴证明：

•••四边形ABCD是矩形，•/B=90；

/BCE+/BEC=90°,

又•••/AEF=/BCE•••/AEF+ZBEC=90°,

•••/FEC=90；.・.OO与CE相切.

（2）vAF=2FD设FD=a贝AF=2a,

在直角三角形AEC中，

•••/BCE=30°.

•//AEF=30°

•••EF=4a由勾股定理:

AE=2>/3,

tan剜=——=—fiC3

•••BC=3a,又在直角三角形EBC中,

EB娱,

AEEB

N,连接

n些

2运a丽

ON,又过F作fHEM交

AEFCBE,

ON于H,QFE=EC,EFEC,

根据题意和作图，可设AE=BC=ME=AD=y,AF=QE=EB=X,

EQx

易证明OH为EFQ的中位线，0H=_5±i±

fJJV=—+#—F—=2ON=EF=y*.工,

2•2由勾股定理和题意可列方程：

｛（2yx）

Xyny

化简：

（3-旳'=佃一1）'+1

222

n一.

点睛”本题考查了直线与圆的位置关系，将方程与几何融合在一起，利用勾股定理和方程组解答；解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.

0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比

9,求此三位数.

y.则依据两个数字的和为9；这两个数字颠倒后的三位数

18.一个三位数的中间数字是这两个数字之积的33倍还多

【答案】306

【解析】

【分析】设百位数字是X,个位数字是比这两个数字之积的33倍还多9”列出方程组.

【详解】

设百位数字是X,个位数字是y.则

xy=9

100y

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