方程与不等式之二元二次方程组基础测试题含答案.docx

1、方程与不等式之二元二次方程组基础测试题含答案方程与不等式之二元二次方程组基础测试题含答案一、选择题1 .某商场计划销售一批运动衣 ，能获得利润12000元.经过市场调查后，进行促销活动，由于降 低售价，每套运动衣少获利润 10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多 4000元.求实际 销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润是多少元 ？【答案】实际销售运动衣 800套，实际每套运动衣的利润是 20元【解析】【分析】根据计划销售的套数 计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数棋际每 套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解.【详解】x套，实际每套运动

2、衣的利润是 y元.解：设实际销售运动衣根据题意，可列方程组xy400 y 1012000 400012000解得:為 800* 20X2y280020 (舍去)，答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润 20元.(1)(2)(3) 67h 或77h30 30【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是 否符合题意，舍去不合题意的解.2.已知A, B两地公路长300km，甲、乙两车同时从 A地出发沿同一公路驶往 B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与 A地相距105km的C处取回货物，于是甲车立即原路返回C地，取了货物又立即赶往 B地(取

3、货物的时间忽略不计)，结果两下车同时到达B地，两车的速度始终保持不变，设两车山发 X小时后，甲、乙两车距离 A地的路程分别为y1(km)和y2(km).它们的函数图象分别是折线 OPQR和线段OR.求乙车从A地到B地所用的时问；求图中线段PQ的解析式(不要求写自变量的取值范围)；x= ，两车相距25千米的路程.【解析】(1 )由图可知，求甲车 2小时行驶了 180千米的速度，甲车行驶的总路程，再 求甲车从A地到B地所花时间；即可求出乙车从 A地到B地所用的时间；(2)由题意可知，求出线段PQ的解析式；(3)由路程，速度，时间的关系求出 x的值.(1)解：由图知，甲车 2小时行驶了 180千米，

4、其速度为180 2 90 (km/h )甲车行驶的总路程为： 2 180 105 300 450 (km)甲车从A地到B地所花时间为： 450 90 5 ( h)又两车同时到达 B地，乙车从A地到B地所用用的时间为 5h.5(2)由题意可知，甲返回的路程为180 105 75 ( km)，所需时间为75 90 -6(h),2 617 17. Q点的坐标为(105,).设线段PQ的解析式为：y kx b ,6 6把(2, 180)和(105,18017 )代入得：6 1082k17kb，解得 k 90, b 360,b线段PQ的解析式为y90x 360.(3) 67 h 或一30 30点睛”本题

5、考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意, 用数型结合的思想解答问题.找出所求问题需要的条件，利3.解方程组:2x2Xy 32xyy2 1【答案】yi4313X2y22353【解析】【分析】由得:(Xy)21,即得X y 1或X y 1,再同联立方程组求解即可.【详解】2x yX2 2xy y2 1 由得：(X y)2 1, X y 1 或 X y 1把上式同联立方程组得:2x2x y解得:Xiyi4313X2y2Xi原方程组的解为yi4.解方程组:【答案】yi【解析】【分析】x22x613113把方程变形为（X别和原方程组中的【详解】方程可变形为（X23535xyy 1X2y26y26y)(

6、x y)23530，从而可得X 6y 0或X y 0，把这两个方程分方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可6y)(x y) 0，得 x 6y 0或 x y 0，将它们与方程 分别组成方程组，得:(I) x 6y2x y0 或(n)0x y 02x y 1解方程组（I）131解方程组（n）所以原方程组的解是5 .解方程组 y2x131314xy134y2【答案】y143 y2 1X2 0【解析】【分析】先将 式左边因式分解，再将 式代入，可求出X,再分别代入式求出y.【详解】解:y x 1? x2 4xy 4y2 4 由得，X2y把代入，即: X 22所以，x+2=2 或 x+2

7、=-2所以，X1=-4,x2=0,把 X1=-4,x2=0,分别代入 ，得 y1=-3,y2=1.所以，方程组的解是4y1 3 y2 1xiX2【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点:用代入法解方程组6 .计算:（1） 旷27 后 （ 2）解方程组:3x 5y4x310y 6（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来:6x3x 42x(3)2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再【答案】（1）【解析】【分析】（1）先求开方运算，再进行加减; 在数轴上表示解集.3 1【详解】解：（1）原式=-3+4-=丄2 23x 5y 34x 10y 6 X 2+，得x=0把x=0代入式y=

8、5所以，方程组的解是6x 2（3） 2x 13x由式得,由式得,11XV 7所以，不等式组的解集是11x 一7把解集在数轴上表示:-3 -2 -12 01 112 3r【点睛】本题考核知识点:开方，解二元一次方程组，解不等式组解题关键点：掌握相关解法.7.如图，已知抛物线 y= ax2+bx+1经过A (- 1, 0), B (1, 1)两点.(1 )求该抛物线的解析式；(2)阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线 11： y= k1x+b1 (k1, b1为常数，且k1M0 ,直线|2： y =k2X+b2 ( k2, b2 为常数，且 k2M0，若 |1 丄 |2，贝U k1?k2=- 1

9、 .解决问题：1若直线y= 2x- 1与直线y= mx+2互相垂直，则 m的值是 ;2抛物线上是否存在点 P,使得ARAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) M是抛物线上一动点，且在直线 AB的上方(不与 A, B重合)，求点 M到直线AB1 1 1I答案】(1)产尹；(2)-2 ；点P的坐标(6，- 14)(4，- 5)；(3)遁.5【解析】【分析】(1 )根据待定系数法，可得函数解析式；(2) 根据垂线间的关系，可得 PA PB的解析式，根据解方程组，可得 P点坐标；(3) 根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可

10、得 MQ，根 据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值【详解】(1)将A, B点坐标代入,解：0(1)1(2)1解得212抛物线的解析式为y=(2)由直线y= 2x-1 2 -x 21与直线y= mx+2互相垂直，得2m =- 1,即 m =- 12故答案为-1;212当PA丄AB时，PA的解析式为y =AB的解析式为y-2x- 2，联立PA与抛物线，得1 2-X22x解得10 (舍)，614，y(6,当PB丄AB时，PB的解析式为y=- 2x+3,联立PB与抛物线,1 2 y 2xy 2x1x 123解得（舍

11、）即p综上所述:（4,-5）,PAB是以AB为直角边的直角三角形，点 P的坐标（6,- 14）（ 4, - 5）;M （t，-尹尹1），Q（t，厂2），1 1-MQ = t2 2 21SZMAB = MQ|x B - xa|=-1t2+1 ,2 2当t = 0时，S取最大值1，即M （ 0, 1）.2由勾股定理，得AB= 12 =75,设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得h -血h =需=T.点M到直线AB的距离的最大值是 題5【点睛】 本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程 组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键&如图,轴

12、交于点3 3y =JC -在平面直角坐标系中，直线 I: 4 2沿x轴翻折后，与x轴交于点A,与y2 ,B,抛物线y蔦Xh与y轴交于点 D,与直线 AB交于点E、点F （点F在点E的右侧）若线段DF/ x轴，求抛物线的解析式；如图，在（2）的条件下，过F作FH丄x轴于点G,与直线I交于点H,在抛物线上是P、Q的坐标，若不存在，请；（3）1, 3 ),( 3, 0)（2）（3）否存在P、Q两点（点 P在点Q的上方），PQ与AF交于点M，与FH交于点N,使得直线 PQ既平分AFH的周长，又平分 AAFH面积，如果存在，求出 说明理由.3 y =N .42与x轴、y轴交点坐标，根据X【解析】【分析】

13、（1）设直线AB的解析式为y=kx+b,先求出直线沿x轴翻折，得到 A、B的坐标，把A、B的坐标代入直线 AB的解析式y=kx+b，即可求出直线AB的解析式；(2)设抛物线的顶点为 P ( h, 0),得出抛物线解析式为：2 2 4 2 ,v_f r hr +33 3 3 ,根据DF/ x轴，得出F的坐标，把F的坐标代入直线 AB的解析式即可求出 h的值，即可得到答案；(3)GA: FA=3:过 M 作 MT 丄 FH 于 T,得到 RtAMTF RtMGF,得到 FT: TM : FM=FG:4: 5，设FT=3k, TM=4k, FM=5k，求出FN的值，根据三角形的面积公式求出 AFH的

14、面积，根据之间的等量关系即可求出 k的值，设直线 MN的解析式为:6 12SMNF 和y=kx+b，把式，解由方程【详解】、N (6, -4)，代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线4y =X + 43宀4十和I 3 的解即可得出P、Q的坐标.(1)解：设直线 AB的解析式为y=kx+b3 3y =X 直线 4 2与x轴、y轴交点分别为(-2, 0),(0,3 3y =-=x 直线 4 2,直线AB与x轴交于同一点(-2, 0)33)与点 A (-2, 0).与y轴的交点(0,3 B (0，园)，+ 03MN的解析32 ),沿x轴翻折,B关于x轴对称0),-7 4=寸兀 hx +3 一点

15、F ( 2h,i2 /t23),3解得 k=4, b = 2,直线AB的解析式为(2)解：设抛物线的顶点为 Q ( h,2 2抛物线解析式为： 32h2).32 3又点F在直线AB上， 3 4 丿2,-3解得 h1=3, h2= 4抛物线的解析式为(3)解：过M作MT丄FH于T,(舍去)，2 2 .7=忙-3)2 = 丁址上-4比 + 6 RtAMTFs RSGF. FT: TM: FM=FG: GA: FA=3: 4:5,设 FT=3k TM=4k, FM=5k,则 FN=2AH+HF+AF)-FM=16-5k,1 SNF= 2 (AH+HF+AF)-FM=16-5k,又T SbMINF=

16、2SZAFH.(16-5A)4ftj=24,6解得k= =W或k=218FT, FM=6,(舍去)，24MT=m , GN=4,12TG可,612 6M (5P)、N (6, -4)，代入得：k+b 且-4=6k+b,4亍，b=4,解得：k=4y = 3x+4,4 2联立y=-= x2 - 4h + 63x+4 与 y= 38求得 P (1,耳)，Q (3,0).8此题是一个拔高的题目，有一定的难度.本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组、解二 元二次方程组，三角形相似的性质和判定，图形的旋转等知识点，综合运用这些性质进行 计算是解此题的关键，9.解方程组:6

17、xy 9y2 4(1)x 2y3(2)Xi5 .X213或yi1y25【答案】【解析】【分析】先将中的X2-6xy+9y 2分解因式为:(x-3y)2，则x-3y= ，与组合成两个方程组,解出即可解：由，得(x- 3y) x- 3y= 22= 4,原方程组可转化为:x3y3x或3yx2y3x2yx 5x213解得 或y1 1y25X15X213所以原方程组的解为:或y11y25【详解】-23【点睛】此题考查二元二次方程组的解,解题关键在于掌握运算法则10.解方程组：2： 3yx2 2xy5,3y2 0.x2 5【答案】【解析】【分析】分别解方程组即可.次方程，然后分别与第一个方程联立成二先将第

18、二个方程利用因式分解法得到两个一元 元一次方程组，【详解】由得:y x 3y所以，x0 或 x 3y整理得:2x3y 02x 3y 53yx 1解得：y 1或所以，原方程组的解为xiX2yiy2【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法, 关键.能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的11.解方程组：x23xyy 34y2 0【答案】X1X2y23232【解析】消去一个未知数 X,得到关于y的一元二次方程，然后用公式法解出 y的【分析】 由代入消元法，值，然后计算出X,即可得到方程组的解【详解】x2 解：X3xy 4y2 0y 3由得:x y 3 ，23y(y 3) 4y 0 ,把代入，得(

19、y 3)2 整理得：6y2 3y225 0,2b 4ac 9用求根公式法，得解得:yi=i,y2- Xi4 , X2方程组的解为:XiX2y2yi【点睛】本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握 公式法解一元二次方程是解题的关键 .2x12. 2x23xy 4y4xy 4y2【答案】Xiyi2316y223 % 1 X4 111% 164y24y2【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二 元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可.【详解】2解:将 x4y 0或 x将2y

20、 1 或 x原方程化为:(x 4y)(xy)0,y 0(x 2y)212y 1x 4y 0x4y 0x y 0X yx 2y 1x2y 1，X 2y 1 x 2y因式分解得:因式分解得:x 3xy x2 4xy解这些方程组得:原方程组的解为:Xiy1X1y12316X2y2X2y223162316X3y3X3y3X4y4X4y4【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法, 方程组.解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个13.解方程组:2y 85xy6y2 0【答案】y1122，X2y2【解析】【分析】先将第2个方程变形为x+6y= 0, X-y= 0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解

21、即可.【详解】X解： 2X2y 825xy 6y由得:x+6y= 0, X - y= 0,X原方程组可化为X2y 8或6y 02y 8y 0故原方程组的解为y112,2X2y28383【点睛】 本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到 的知识点是因式分解、加减法.2 2X 5xy 6y 014.解方程组：X y 12【答案】y1【解析】【分析】利用因式分解法求x20,得到x 2y 0或x 3y 0，然后得到两个二元25xy 6y一次方程组，分别求出方程组的解即可【详解】解：由（1）得2y0或 x 3yx 2y0或123y012，解方程组得:Xix2yiy2

22、则原方程组的解为XiX2【点睛】本题主要考查解二元二次方程组,然后得到新的方程组15.解方程组:2y 52y2xy 1 0yiy2解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解, 也可以利用代入消元法进行求解 .7【答案】3或43【解析】【分析】将方程x2组成方程组,【详解】y2 2xy 1求出对应的0变形整理求出x y 1或x y 1，然后分别与x 2y 5x, y的值即可.x 2y2xy 1解: 2 2X y对变形得:1，得：3y 4，解得：yy 4代入得：x 235，解得:-得：3y 6，解得:y 2代入得：x解得:7故原方程组的解为:3或43【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解二元二

23、次方程组的基本思想是 转化”这种转化包含 消元”和 降次”掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键.16.解方程组:x2 4y2 12x 2y 6【答案】【解析】【分析】将分解因式可得(X 2y)(x 组成可得【详解】2y) 12，再将将代入后得x 2y 2，然后与解：由得(x 2y)(x2y)12 .将代入，得x 2y得方程组2y2yx解得y所以原方程组的解是【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次 的目的.17.如图在矩形 ABCD中，AB= n AD,点E、F分别在AB、AD上且不与顶点 A、B、D重合,AEF BCE ,圆 O过

24、 A、E、F 三点。(1 )求证：圆 O与CE相切于点E.(2)如图1,若AF=2FD,且 AEF 30，求n的值。（3）如图2,若EF=EC且圆0与边CD相切，求n的值。【答案】（1）证明见解析；（2）/3 ; （ 3） 74【解析】（1 ）由四边形 ABCD是矩形证明/ FEC=90即可；（2） 函数求解；（3）利用三角形中位线、勾股定理和题意可列方程求出在直角三角形中利用三角nn的值.证明：四边形 ABCD是矩形，/ B=90；/ BCE+/ BEC=90,又/ AEF=/ BCE / AEF+Z BEC=90,/ FEC=90；.O O 与 CE相切.(2)v AF=2FD设 FD=a

25、 贝AF=2a,在直角三角形AEC中，/ BCE=30./ AEF=30 EF=4a由勾股定理:AE=2/3 ,73tan剜= fiC 3 BC=3a,又在直角三角形 EBC中,EB娱,AE EBN,连接n些2运a 丽ON,又过F作fH EM交AEF CBE,ON 于 H, QFE=EC, EF EC,根据题意和作图，可设 AE=BC=ME=AD= y , AF=QE=EB=X ,EQ x易证明OH为EFQ的中位线，0H=_5i 2 2fJJV = + # F = 2ON=EF=y* .工,2 2 由勾股定理和题意可列方程：（2y x）X y ny化简：（3-旳=佃一1） + 12 2 2X y7n 一 .4点睛”本题考查了直线与圆的位置关系，将方程与几何融合在一起，利用勾股定理和方程 组解答；解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意 将所学知识贯穿起来.0,其余的两个数字的和为 9,且这两个数字颠倒后的三位数比9,求此三位数.y.则依据 两个数字的和为9；这两个数字颠倒后的三位数18. 一个三位数的中间数字是 这两个数字之积的33倍还多【答案】306【解析】【分析】 设百位数字是X,个位数字是 比这两个数字之积的 33倍还多9”列出方程组.【详解】设百位数字是X,个位数字是y.则x y=9100y