第4讲二次函数轨迹问题word版.docx

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第4讲二次函数轨迹问题word版

二次函数轨迹问题

模块一点的轨迹问题

例1某校数学兴趣小组在研究二次函数及其图像问题时，发现了两个现象：

（1）抛物线y=ax2+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线l1上；求直线l1的解析式；

（2）抛物线y=x2+bx+3（a≠0），当实数b变化时，它的顶点都在某条直线C1上；求直线C1的解析式；

练习：

如图，已知直线AB：

y=kx+2k+4与抛物线C1：

如图，已知直线AB：

y=kx+2k+4与抛物线y=

1

x2交于A，B两点．

2

（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；

（2）若k=-2，点D在直线AB上，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点E，P是线段DE的中点，设点D在直线AB上运动时，P的运动轨迹为抛物线C2，求抛物线C2的解析式。

例2在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：

y=ax2-4a+4（a<0）经过第一象限内的定点P．

（1）求出点P的坐标；

（2）若a=-1，点M坐标为（2，0）是x轴上的点，N为抛物线C1上的点，Q为线段MN的中点．设点N在抛物线C1上运动时，C1的运动轨迹为抛物线C2，求抛物线C2的解析式．

模块二焦点准线问题

知识导航

抛物线的几何性质（定义）

平面内与一个定点F和一条直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线

如图所示：

点F为定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线n交MH于点M，拖动点H，M的轨迹是一条直线。

2.常见结论：

1

y=ax2的焦点为F0，，准线l为y=

4a

1

4a

（am21）2

4a

=am2

1

4a

而点P到直线l的距离为d=am2

（4a）

21

am

4a

点P是抛物线y=ax2上任意一点证明：

点P是抛物线y=ax2上任意一点，则可设P点坐标为（m,am2）

∴PF=d

3、y=ax2+k的焦点准线

思路;用平移的思路去做，抛物线的平移和对应的焦点。

准线的平移一致。

完成下表：

抛物线解析式

焦点

准线

12yx

4

2yx

y2x2

12

yx14

y2x22

例3（2016七一周练）如图1，P（m,n）是抛物线上y1x21任意一点，l是过点（0，

4

-2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l于点H。

【探究】

（1）填空：

当m=0时，OP=，PH=；当m=4时，OP=，PH=

证明】

2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．

应用】

3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线

12

x

4

1上滑动，求A，B两点到直

线l的距离之和的最小值．

例4已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝1x2＋bx＋c与x轴交于

4

A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），连接AC，AO＝2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜－1.

（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；

（2）若D为抛物线y＝1x2＋bx＋c上一动点，是否存在直线l使得点D到直线l的距离与

4

OD的长恒相等，若存在，求出此时t的值；

（3）如图2，若E、F为上述抛物线上的两个动点，且EF＝8，线段EF的中点为M，求点M

纵坐标的最小值.

例5将抛物线C1：

y=1（x-4）2+3先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线

4

C2

（1）直接写出抛物线C2的解析式；

（2）如图1，y轴上是否存在定点F，使得抛物线C2上任意一点P到x轴的距离与PF的长总相等？

若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。

（3）如图2，D为抛物线C1的顶点，P为抛物线C2上任意一点，作PH⊥x轴于点H，连接DP，求PH+PD的最小值及此时点P的坐标。

y

例6如图所示，

过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线

12

y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，

4

y2）两点（其中x1<0，x2<0）

（1）求x1·x2的值；

（2）分别过M、N作直线l：

y=-1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论。

例7如图1，直线y=kx-k2（k>0）与抛物线y=ax2有唯一公共点

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点A（0,1）直线l:

y=-1

①如图2，P是抛物线上一个动点，PB⊥l于B点，连PA、PB，求证：

AB平分∠OAP；

②如图3，过A点的任意一条直线分别交抛物线于C、D两点，求证：

以CD为直径的⊙M

与直线l相切。

例8已知直线l：

y=kx+5k（k≠0）与x轴交于A点，抛物线的解析式为y=1x2+1

4

（1）直接写出A点坐标；

（2）P为抛物线上任一点，过P作PQ⊥x轴，Q为垂足，以P为圆心，PQ为半径作圆，圆总会经过y轴一定点D，求D到直线L的距离的最大值。

第4讲本讲课后作业

A基础巩固

（2016年江汉区九上期中）

1、已知抛物线y＝ax2－2anx＋an2＋n＋3的顶点P在一条定直线l上，则直线l的解析式为

（2016年青山区九上期中）

2、抛物线C3：

y＝（x－m）2＋（x－m）＋2m＋1经过点P（m，n），则n＝（用含m的

式子表示）；点P一定在定直线l上运动，则直线l的解析式为．

2016年江夏区九上期中）

112

3、已知点M（2，3），F（0，），点P（m，n）为抛物线y＝x2上一动点，则用含m的式子表

22

示PF＝；PF＋PM的最小值是．

121

4、如图，抛物线y2x22与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点P是抛物线上一动点（不包括A、B），PM⊥x轴于点M，点P的横坐标为t．

（1）若－1

OP＋PM为定值，并求出该值．

（2）若t<－1或t>1，求证：

OP－PM为定值，并求出该值．

B综合训练

5、抛物线y＝ax2（a是常数，a≠0）过点（2，－1），与过点D（0，－1）的直线y＝kx＋b交于M、N两点（M在N的左边）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当k＝3时，点P是直线MN上方的抛物线上一动点，当S△MNP最大时，求点

4

P的坐标；