第4讲二次函数轨迹问题word版.docx

1、第4讲二次函数轨迹问题word版二次函数轨迹问题模块一 点的轨迹问题例 1 某校数学兴趣小组在研究二次函数及其图像问题时， 发现了两个现象：（1）抛物线 y=ax2+2x+3（a0），当实数 a 变化时，它的顶点都在某条直线 l1上；求直线 l1 的解析式；（2）抛物线 y=x2+bx+3（a0），当实数 b 变化时，它的顶点都在某条直线 C1 上；求直线 C1 的解析式；练习：如图，已知直线 AB：y=kx+2k+4与抛物线 C1：如图，已知直线 AB：y=kx+2 k+4 与抛物线 y=1x2交于 A，B 两点2（1）直线 AB 总经过一个定点 C，请直接出点 C 坐标；（2）若 k=-2

2、，点 D 在直线 AB 上，过点 D 作 y 轴的平行线交抛物线 C1于点 E， P是线段 DE 的中点，设点 D 在直线 AB 上运动时， P 的运动轨迹为抛物线 C2，求抛物线 C2的解析 式。例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1：y=ax2-4a+4（a 0）经过第一象限内的定点 P（ 1）求出点 P 的坐标；（2）若 a=-1 ，点 M 坐标为（ 2，0）是 x 轴上的点， N 为抛物线 C1 上的点， Q 为线段 MN 的中点设点 N在抛物线 C1上运动时， C1的运动轨迹为抛物线 C2，求抛物线 C2的解析式模块二 焦点准线问题知识导航抛物线的几何性质（定义）平面内与

3、一个定点 F 和一条直线 l 的距离相等的 点的轨迹 叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的 焦点，直线 l 叫做抛物线的 准线如图所示：点 F 为定点， l 是不经过点 F 的定直线， H 是 l 上任意一点，过点 H 作 MH l， 线段 FH 的垂直平分线 n交 MH 于点 M，拖动点 H， M的轨迹是一条直线。2.常见结论：1y=ax2的焦点为 F 0， ，准线 l为 y=4a14a(am2 1 ) 24a= am214a而点 P到直线 l 的距离为 d= am2( 4a)21am4a点 P 是抛物线 y=ax2 上任意一点 证明：点 P 是抛物线 y=ax2 上任意一点，则可设 P 点坐标

4、为（ m,am2）PF=d3、 y=ax2+k 的焦点准线思路 ;用平移的思路去做，抛物线的平移和对应的焦点。准线的平移一致。 完成下表：抛物线解析式焦点准线12 yx42 yxy 2x212y x 1 4y 2 x2 2例3（2016七一周练）如图 1，P（m,n）是抛物线上 y 1x2 1任意一点， l是过点（ 0，4-2）且与 x 轴平行的直线，过点 P作直线 PHl 于点 H。【探究】（1）填空：当 m=0 时，OP= ，PH= ；当 m=4 时，OP= ，PH= 证明】2）对任意 m， n，猜想 OP 与 PH 的大小关系，并证明你的猜想应用】3）如图 2，已知线段 AB=6，端点

5、A，B 在抛物线12x41 上滑动，求 A ， B 两点到直线 l 的距离之和的最小值例 4 已知如图 1，在以 O为原点的平面直角坐标系中， 抛物线 y1x2bxc与 x轴交于4A、 B两点，与 y轴交于点 C（0，1），连接 AC， AO 2CO，直线 l过点 G（0，t）且平行于 x 轴， t1.（1） 求抛物线对应的二次函数的解析式；（2） 若 D 为抛物线 y 1 x2 bxc 上一动点，是否存在直线 l 使得点 D 到直线 l 的距离与4OD 的长恒相等，若存在，求出此时 t 的值；（3） 如图 2，若 E、F 为上述抛物线上的两个动点，且 EF 8，线段 EF 的中点为 M，求点

6、 M纵坐标的最小值 .例 5 将抛物线 C1：y= 1 （x-4）2+3 先向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线4C2（1）直接写出抛物线 C2 的解析式；（2）如图 1，y轴上是否存在定点 F，使得抛物线 C2上任意一点 P到 x轴的距离与 PF的长 总相等？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，说明理由。（3）如图 2，D 为抛物线 C1的顶点， P 为抛物线 C2上任意一点，作 PHx 轴于点 H，连 接 DP ，求 PH+PD 的最小值及此时点 P 的坐标。y例 6 如图所示，过点 F（ 0，1）的直线 y=kx+b 与抛物线12y= x2交于 M（x1，y1）和

7、N（ x2，4y2）两点（其中 x1 0，x20）与抛物线 y=ax2 有唯一公共点 （1）求抛物线的解析式；（2）已知点 A（ 0,1）直线 l:y=-1如图 2，P是抛物线上一个动点， PBl于 B点，连 PA、PB，求证： AB 平分 OAP；如图 3，过 A点的任意一条直线分别交抛物线于 C、 D两点，求证：以 CD 为直径的 M与直线 l 相切。例 8 已知直线 l：y=kx+5k（k0）与 x轴交于 A点，抛物线的解析式为 y=1 x2+14 （1）直接写出 A 点坐标；（2）P为抛物线上任一点，过 P作 PQx轴， Q为垂足，以 P为圆心， PQ 为半径作圆， 圆总会经过 y 轴

8、一定点 D ，求 D 到直线 L 的距离的最 大值。第 4 讲 本讲课后作业A 基础巩固（2016 年江汉区九上期中）1、已知抛物线 yax22anxan2n3 的顶点 P在一条定直线 l上，则直线 l 的解析式为（2016 年青山区九上期中）2、抛物线 C3：y（xm）2 （xm）2m1 经过点 P（m，n），则 n （用含 m 的式子表示）；点 P 一定在定直线 l 上运动，则直线 l 的解析式为 2016 年江夏区九上期中）1 1 23、已知点 M（2，3），F（0， ），点 P（m，n）为抛物线 y x2上一动点，则用含 m 的式子表22示 PF ；PFPM 的最小值是 1 2 14、如图，抛物线 y 2x2 2与 x轴交于 A、B两点（A在 B的左侧），点 P是抛物线上一动 点（不包括 A、B）， PMx轴于点 M，点 P的横坐标为 t（1）若 1t 1，求证： OPPM 为定值，并求出该值 （2）若 t1，求证： OPPM 为定值，并求出该值B 综合训练5、抛物线 yax2（a 是常数， a0）过点（ 2， 1），与过点 D（ 0， 1）的直线 ykxb 交于 M、N两点（ M 在N的左边）（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，当 k 3 时，点 P是直线 MN 上方的抛物线上一动点，当 SMNP最大时，求点4P 的坐标；