届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法.docx

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届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

高考数学中求轨迹方程的常见方法

一、直接法

当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.

例1已知点、动点满足，则点的轨迹为（）

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

解：

，

.由条件，，整理得，此即点的轨迹方程，所以的轨迹为抛物线，选D.

二、定义法

定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.

例2已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.

解：

如右图，以直线为轴，线段的中点为原

点建立直角坐标系.由题意，构成等差数列，，

即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的轨迹方程为.

三、代入法

当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.

例3如图，从双曲线上一点引直线

的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.

解：

设，则.在直线上，

①又得即.②

联解①②得.又点在双曲线上，，化简整理得：

，此即动点的轨迹方程.

四、几何法

几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.

例4已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，求和的交点的轨迹方程.

解：

由平面几何知识可知，当为直角三角形时，点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点，半径为，方程为.故的轨迹方程为.

五、参数法

参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.

例5过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.

解：

设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.

由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.

六、交轨法

求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.

例6如右图，垂直于轴的直线交双曲线于

、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与

的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.

解：

设及，又，可得

直线的方程为①；直线的方程为②.

①×②得③.又，代入③得，化简得，此即点的轨迹方程.当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆.

高考动点轨迹问题专题讲解

（一）选择、填空题

1．（）已知、是定点，，动点满足，则动点的轨迹是（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段

2．（）设，，的周长为36，则的顶点的轨迹方程是

（A）（）（B）（）

（C）（）（D）（）

3．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是；

4．P在以、为焦点的双曲线上运动，则的重心G的轨迹方程是；

5．已知圆C：

内一点，圆C上一动点Q，AQ的垂直平

分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为．

6．△ABC的顶点为、，△ABC的内切圆圆心在直线上，则顶

点C的轨迹方程是；（）

变式：

若点为双曲线的右支上一点，、分别是左、右焦点，则△的内切圆圆心的轨迹方程是；

推广：

若点为椭圆上任一点，、分别是左、右焦点，圆与线段的延长线、线段及轴分别相切，则圆心的轨迹是；

7．已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则点的轨迹方程是

．

8．抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是．

（）

9．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点旋转时，

弦中点的轨迹方程为．

解法分析：

解法1当直线的斜率存在时，

设PQ所在直线方程为　与抛物线方程联立，

　消去得　．

设，，中点为，则有

　消得．

当直线的斜率不存在时，易得弦的中点为，也满足所求方程．

故所求轨迹方程为．

解法2　设，，

由　得，设中点为，

当时，有，又，

所以，，即．

当时，易得弦的中点为，也满足所求方程．

故所求轨迹方程为．

10．过定点作直线交抛物线于A、B两点,过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________．

（二）解答题

1．一动圆过点，且与圆相内切，求该动圆圆心的轨迹方程．

（定义法）

2．过椭圆的左顶点作任意弦并延长到，使，为椭圆另一顶点，连结交于点，

求动点的轨迹方程．

3．已知、是椭圆的长轴端点，、是椭圆上关于长轴对称的两点，求直线和的交点的轨迹．（交轨法）

4．已知点G是△ABC的重心，，在轴上有一点M，满足

，．

（1）求点C的轨迹方程；

（2）若斜率为的直线与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足，试求的取值范围．

解：

（1）设，则由重心坐标公式可得．

∵，点在轴上，∴　．

∵，，∴　，即．

故点的轨迹方程为（）．（直接法）

（2）设直线的方程为（），、，的中点为．

由消，得．

∴，即．①

又，∴，

∴．

∵，∴，∴，即，

∴，又由①式可得，∴且．

∴且，解得且．

故的取值范围是且．

5．已知平面上两定点、，为一动点，满足．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（直接法）

（Ⅱ）若A、B是轨迹上的两动点，且．过A、B两点分别作轨迹的切线，设其交点为，证明为定值．

解：

（Ⅰ）设．由已知，，,

．

，……………………………………………3分

∵，∴整理，得．

即动点的轨迹为抛物线，其方程为．

6．已知O为坐标原点，点、，动点、、满足（），，，．求点M的轨迹W的方程．

解：

∵，，

∴MN垂直平分AF．

又，∴点M在AE上，

∴，，

∴，

∴点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，

∴．

∴点M的轨迹W的方程为（）．

7．设，为直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量，，且．

（1）求点的轨迹的方程；（定义法）

（2）过点作直线与曲线交于、两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？

若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由．

解：

（1）；

（2）因为过轴上的点．若直线是轴，则两点是椭圆的顶点．

，所以与重合，与四边形是矩形矛盾．

故直线的斜率存在，设方程为，．

由消得此时＞恒成立，且，，

，所以四边形是平行四边形．

若存在直线，使得四边形是矩形，则，即．

，

∴．

即．

．，得．

故存在直线：

，使得四边形是矩形．

8．如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：

=2，且于G，点Q是直线上一动点，点M满足：

，点P满足：

，．

（）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；

（）若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A、B，令，

当时，求直线的斜率的取值范围．

解：

（1）以的中点为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设点，

则，，．

∵，，∴，．

∵，∴，

即所求点的轨迹方程为．

（2）设点

设AF的斜率为，BF的斜率为，直线的方程为

由…………6分

…………7分

…………8分

…………10分

由于…………11分

解得…………13分

∴直线斜率k的取值范围是

9．如图所示，已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且，．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）直线与动点的轨迹交于、两点，若，且，求直线的斜率的取值范围．

解：

（1）设，由得，

，，，

又，∴，即动点的轨迹方程为．

10．已知点，点在轴上，点在轴上，为动点，满足，．

（1）求点轨迹的方程；

（2）将

（1）中轨迹按向量平移后得曲线，设是上任一点，过作圆的两条切线，分别交轴与、两点，求的取值范围．

解：

（1）设、、，则、、

．

由题意得∴∴，

故动点的轨迹方程为．

11．如图和两点分别在射线、上移动，且，

为坐标原点，动点满足．

（1）求的值；

（2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？

（3）若直线l过点交

（2）中曲线于、两点，且，求的方程．

解：

（1）由已知得，∴．

（2）设P点坐标为（），由得

，

∴消去，可得，

又因，∴P点的轨迹方程为．

它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支．

（3）设直线l的方程为，将其代入C的方程得

即，

易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）

又，

设，则

∵l与C的两个交点在轴的右侧

，

∴，即，又由同理可得，

由得，∴

由得，

由得，

消去得解之得：

，满足．

故所求直线l存在，其方程为：

或．

12．设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．记动点P的轨迹为C．

（）求轨迹C的方程；

（）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围．

解：

（）设，因为A、B分别为直线和上的点，故可设

　　　，．

　∵，　∴∴

　　　又，　　　∴．

　　　∴．　　即曲线C的方程为．

（）设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-16）=（s，t-16）．

故，．

∵M、N在曲线C上，∴

消去s得．

由题意知，且，解得．

又，∴．解得（）．

故实数的取值范围是（）．

13．设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2．

（1）求此双曲线的渐近线、的方程；（）

（2）若A、B分别为、上的动点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线．（）

提示：

，又，，

则，．

又，代入距离公式即可．

（3）过点是否存在直线，使与双曲线交于、两点，且，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．（不存在）

14．已知点，直线，设动点P到直线的距离为，已知，且．

（1）求动点P的轨迹方程；

15．如图，直线与椭圆（）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．

（1）若，且四边形OAPB为矩形，求的值；（）

（2）若，当变化时（），求点P的轨迹方程．（（））

16．双曲线C：

（，）的离心率为2，其中，，且．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若双曲线C上存在关于直线：

对称的点，求实数的取值范围．

解：

（I）依题意有：

解得：

所求双曲线的方程为………………………………………6分

（Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分

当k≠0时，设双曲线上两点M、N关于直线l对称．由l⊥MN，直线MN的方程为．则M、N两点的坐标满足方程组

由消去y得．…………………9分

显然，∴．即．①

设线段MN中点D（）

则∵D（）在直线l上，∴．即②

把②带入①中得，解得或．

∴或．即或，且k≠0．

∴k的取值范围是．…………………14分

17．已知向量=（2，0），==（0，1），动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足·=K（·-d2），其中O为坐标原点，K为参数.

（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；

（Ⅱ）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足≤e≤，求实数K的取值范围.

18．过抛物线的焦点作两条弦、，若，，．

（1）求证：

直线过定点；

（2）记

（1）中的定点为，求证为钝角；

（3）分别以、为直径作圆，两圆公共弦的中点为，求的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．

19．（05年江西）如图，是抛物线上上的一点，动弦、分别交轴于、两点，且．

（1）若为定点，证明：

直线的斜率为定值；

（2）若为动点