届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法.docx

1、届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1 已知点、动点满足，则点的轨迹为（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解： ， . 由条件，整理得，此即点的轨迹方程，所以的轨迹为抛物线，选D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例2 已知中，、的对边分别为、，若依次构成等差数列，且，求顶点的轨迹方程.解：如右图，以直线为轴

2、，线段的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，构成等差数列， ，即，又， 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，故的轨迹方程为.三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例3 如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.解：设，则.在直线上， 又得即.联解得.又点在双曲线上，化简整理得：，此即动点的轨迹方程.四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4 已知点、，过、作

3、两条互相垂直的直线和，求和的交点的轨迹方程.解：由平面几何知识可知，当为直角三角形时，点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点，半径为，方程为. 故的轨迹方程为.五、参数法 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5 过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.解：设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程. 六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线

4、的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例6 如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设及，又，可得直线的方程为；直线的方程为.得. 又，代入得，化简得，此即点的轨迹方程. 当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆.高考动点轨迹问题专题讲解（一）选择、填空题1（ ）已知、是定点，动点满足，则动点的轨迹是 （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段2（ ）设，的周长为36，则的顶点的轨迹方程是（A）（） （B）（）（C）（） （D）（）3与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4P在以、为焦

5、点的双曲线上运动，则的重心G的轨迹方程是 ；5已知圆C：内一点，圆C上一动点Q， AQ的垂直平分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为 6ABC的顶点为、，ABC的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是 ；（）变式：若点为双曲线的右支上一点，、分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点为椭圆上任一点，、分别是左、右焦点，圆与线段的延长线、线段及轴分别相切，则圆心的轨迹是 ；7已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则点的轨迹方程是 8抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是 （）9过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点旋转时，弦中点的轨迹方程为 解法分析：

6、解法1 当直线的斜率存在时，设PQ所在直线方程为与抛物线方程联立，消去得设，中点为，则有消得 当直线的斜率不存在时，易得弦的中点为，也满足所求方程故所求轨迹方程为解法2设，由得，设中点为，当时，有，又，所以，即当时，易得弦的中点为，也满足所求方程故所求轨迹方程为10过定点作直线交抛物线于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_ （二）解答题1一动圆过点，且与圆相内切，求该动圆圆心的轨迹方程（定义法）2过椭圆的左顶点作任意弦并延长到，使，为椭圆另一顶点，连结交于点，求动点的轨迹方程3已知、是椭圆的长轴端点，、是椭圆上关于长轴对称的两点，求直线和的交点的轨迹（交轨

7、法）4已知点G是ABC的重心，在轴上有一点M，满足，（1）求点C的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足，试求的取值范围解：（1）设，则由重心坐标公式可得，点在轴上，即故点的轨迹方程为（）（直接法）（2）设直线的方程为（），、，的中点为由消，得，即 又，即，又由式可得，且且，解得且故的取值范围是且5已知平面上两定点、，为一动点，满足（）求动点的轨迹的方程；（直接法）（）若A、B是轨迹上的两动点，且过A、B两点分别作轨迹的切线，设其交点为，证明为定值解：()设由已知，,，3分， 整理，得即动点的轨迹为抛物线，其方程为6已知O为坐标原点，点、，动点、满足（），求点M的

8、轨迹W的方程 解：， MN垂直平分AF又， 点M在AE上， 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距， 点M的轨迹W的方程为（）7设，为直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量， 且（1）求点的轨迹的方程；（定义法）（2）过点作直线与曲线交于、两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由解：（1）；（2）因为过轴上的点若直线是轴，则两点是椭圆的顶点 ，所以与重合，与四边形是矩形矛盾故直线的斜率存在，设方程为，由消得此时恒成立，且， ，所以四边形是平行四边形若存在直线，使得四边形是矩形，则，即，即，得故存在直线：，使得四边形是矩形8如图

9、，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足： =2，且于G，点Q是直线上一动点，点M满足：，点P满足：，（）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；（）若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A、B，令，当时，求直线的斜率的取值范围解：（1）以的中点为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设点，则，即所求点的轨迹方程为 （2）设点 设AF的斜率为，BF的斜率为，直线的方程为 由6分 7分 8分 10分 由于 11分 解得13分 直线斜率k的取值范围是9如图所示，已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且，（1）求动点的轨迹方程；（2）直线与动点的轨迹交于、两点，若，且

10、，求直线的斜率的取值范围解：（1）设，由得，又，即动点的轨迹方程为10已知点，点在轴上，点在轴上，为动点，满足，（1）求点轨迹的方程；（2）将（1）中轨迹按向量平移后得曲线，设是上任一点，过作圆的两条切线，分别交轴与、两点，求的取值范围解：（1）设、，则、由题意得，故动点的轨迹方程为11如图和两点分别在射线、上移动，且，为坐标原点，动点满足（1）求的值； （2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l过点交（2）中曲线于、两点，且，求的方程解：（1）由已知得， （2）设P点坐标为（），由得 ，消去，可得，又因， P点的轨迹方程为它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，

11、焦距为4的双曲线的右支（3）设直线l的方程为，将其代入C的方程得 即 ，易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意） 又，设，则 l与C的两个交点在轴的右侧 ，即，又由同理可得 ， 由得， 由得， 由得，消去得 解之得： ，满足故所求直线l存在，其方程为：或12设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足记动点P的轨迹为C（） 求轨迹C的方程；（）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围解：（）设，因为A、B分别为直线和上的点，故可设， 又， 即曲线C的方程为 （） 设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-16）= (s，t-16

12、) 故， M、N在曲线C上， 消去s得 由题意知，且，解得 又 ， 解得 （） 故实数的取值范围是（）13设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2（1）求此双曲线的渐近线、的方程；（）（2）若A、B分别为、上的动点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线（）提示：，又，则，又，代入距离公式即可（3）过点是否存在直线，使与双曲线交于、两点，且，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由（不存在）14已知点，直线，设动点P到直线的距离为，已知，且 （1）求动点P的轨迹方程；15如图，直线与椭圆（）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）（1）若，且四边形OA

13、PB为矩形，求的值；（）（2）若，当变化时（），求点P的轨迹方程（）16双曲线C：（，）的离心率为2，其中，且（1）求双曲线C的方程；（2）若双曲线C上存在关于直线：对称的点，求实数的取值范围解：（I）依题意有： 解得：所求双曲线的方程为6分（）当k=0时，显然不存在7分当k0时，设双曲线上两点M、N关于直线l对称由lMN，直线MN的方程为则M、N两点的坐标满足方程组由 消去y得9分显然，即 设线段MN中点D（）则D（）在直线l上，即 把带入中得 ，解得或或即或，且k0k的取值范围是14分17已知向量=(2，0)， =(0，1)，动点M到定直线y =1的距离等于d，并且满足=K(-d2)，其中O为坐标原点，K为参数.（）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；（）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足e，求实数K的取值范围.18过抛物线的焦点作两条弦、，若，（1）求证：直线过定点；（2）记（1）中的定点为，求证为钝角；（3）分别以、为直径作圆，两圆公共弦的中点为，求的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线19（05年江西）如图，是抛物线上上的一点，动弦、分别交轴于、两点，且（1）若为定点，证明：直线的斜率为定值；（2）若为动点