二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳.docx
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二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳
1．二次函数的定义与解析式
（1）二次函数的定义
形如：
f（x）＝ax2＋bx＋c_（a≠0）的函数叫作二次函数．
（2）二次函数解析式的三种形式
1一般式：
f（x）＝ax2＋bx＋c_（a≠0）．
2顶点式：
f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）．
3零点式：
f（x）＝a（x－x1）（x－x2）_（a≠0）．
2．二次函数的图象和性质
解析式
f（x）＝ax2＋bx＋c
（a>0）
f（x）＝ax2＋bx＋c
（a<0）
图象
定义域
（－∞，＋∞）
（－∞，＋∞）
4ac－b2
4ac－b2
值域
，＋∞
－∞，
4a
4a
在x∈－∞，－2ba上单调递
b
2a
在x∈－∞，－2ba上单调递
减；
单调性
增；
在x∈－2ba，＋∞上单调递
b
2a
在x∈－2a，＋∞上单调递减
增
奇偶性
当b＝0时为偶函数，
b≠0时为非奇非偶函数
顶点
－b，
4ac－b2
－2a，
4a
对称性
图象关于直线x＝
－2ba成轴对称图形
3.幂函数
形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．4．幂函数的图象及性质
（1）幂函数的图象比较
（2）幂函数的性质比较
y＝x
2y＝x
3y＝x
1
y＝x2
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞）
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0，＋∞）
R
[0，＋∞）
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增
x∈[0，＋∞）时，增；
x∈（－∞，0]时，减
增
增
x∈（0，＋∞）时，减；x∈（－∞，
0）时，减
1．二次函数的三种形式
（1）已知三个点的坐标时，宜用一般式．
（2）已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
（3）已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求
f（x）更方便．
2．幂函数的图象
（1）在（0,1）上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴，在（1，＋∞）上幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
1
（2）函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1可作为研究和学习幂函数图象和性质的代表．
题型一求二次函数的解析式
例1已知二次函数f（x）满足f
（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数．
思维启迪：
确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．
解方法一设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
∴所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.
方法二设f（x）＝a（x－m）2＋n，a≠0.∵f
（2）＝f（－1），
2＋－111∴抛物线对称轴为x＝2＝2.∴m＝2.
又根据题意函数有最大值为n＝8，
12
∴y＝f（x）＝a（x）2＋8.
∵f
（2）＝－1，∴a（x1）＋8＝－1，解之，得a＝－4.
2
∴f（x）＝－4（x1）2＋8＝－4x2＋4x＋7.
2
方法三依题意知，f（x）＋1＝0的两根为
x1＝2，x2＝－1，故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1），a≠0.
即f（x）＝ax2－ax－2a－1.
4a－2a－1－a2
又函数有最大值ymax＝8，即4a＝8，
解之，得a＝－4或a＝0（舍去）．
∴函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.
探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：
如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．
题型二二次函数的图象与性质
例2已知函数f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈［－4,6］．
（1）当a＝－2时，求f（x）的最值；
（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间［－4,6］上是单调函数；
（3）当a＝1时，求f（|x|）的单调区间．
思维启迪：
对于
（1）和
（2）可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于（3），
应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作
用．
解：
（1）当a＝－2时，f（x）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，由于x∈［－4,6］，
∴f（x）在［－4,2］上单调递减，在［2,6］上单调递增，
∴f（x）的最小值是f
（2）＝－1，又f（－4）＝35，f（6）＝15，故f（x）的最大值是35.
（2）由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f（x）在［－
4,6］上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
（3）当a＝1时，f（x）＝x2＋2x＋3，
∴f（|x|）＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈［－6,6］，
x2＋2x＋3，x∈0，6］
且f（x）＝2，
x2－2x＋3，x∈［－6，0］
∴f（|x|）的单调递增区间是（0,6］，
单调递减区间是［－6,0］．
探究提高
（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；
（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．
题型三二次函数的综合应用
例3若二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）满足f（x＋1）－f（x）＝2x，且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间［－1,1］上，不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
思维启迪：
对于
（1），由f（0）＝1可得c，利用f（x＋1）－f（x）＝2x恒成立，
可求出a，b，进而确定f（x）的解析式．对于
（2），可利用函数思想求得．解
（1）由f（0）＝1，得c＝1.∴f（x）＝ax2＋bx＋1.
又f（x＋1）－f（x）＝2x，∴a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1－（ax2＋bx＋1）＝2x，
2a＝2，a＝1，
即2ax＋a＋b＝2x，∴∴
a＋b＝0，b＝－1.
因此，f（x）＝x2－x＋1.
（2）f（x）>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在［－1,1］上恒成立，只需使函数g（x）＝x2－3x＋1－m在［－1,1］上的最小值大于0即可．
∵g（x）＝x2－3x＋1－m在［－1,1］上单调递减，
∴g（x）min＝g
（1）＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是（－∞，－1）．
探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切
联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式（尤其是恒成立）问题是高考命题的热点．
题型四幂函数的图象和性质
例4已知幂函数f（x）＝xm2－2m－3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，
＋∞）上是减函数，求满足（a＋1）－m3<（3－2a）－m3的a的取值范围．
思维启迪：
由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3<0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．
解∵函数在（0，＋∞）上递减，∴m2－2m－3<0，解得－1∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，
而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，
1
∴m＝1.而f（x）＝x－3在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，
11
∴（a＋1）－3<（3－2a）－3等价于a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a
＋1<0<3－2a.
2323
解得a<－1或3探究提高
（1）幂函数解析式一定要设为y＝xα（α为常数的形式）；
（2）可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．
方法与技巧
1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：
（1）在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数
形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
（2）在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．
a>0b2－4ac<0
a<0
2．与二次函数有关的不等式恒成立问题
（1）ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是
（2）ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是
3．幂函数y＝xα（α∈R），其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数．
失误与防范
1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，
当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.
2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
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