高考数学考点通关练第六章立体几何42空间点直线平面间的位置关系试题文.docx

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高考数学考点通关练第六章立体几何42空间点直线平面间的位置关系试题文

考点测试42　空间点、直线、平面间的位置关系

一、基础小题

1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（　　）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件

答案　A

解析　“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”．“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”．故选A.

2．下列命题正确的个数为（　　）

①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0B．1

C．2D．3

答案　C

解析　经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．

3.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（　　）

A．点AB．点B

C．点C但不过点MD．点C和点M

答案　D

解析　∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．

4．以下四个命题中：

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．

正确命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案　B

解析　①正确，否则三点共线和第四点必共面；②错，如图三棱锥，能合题意但A、B、C、D、E不共面；③错，从②的几何体知；空间四边形为反例可知，④错．

5．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（　　）

A．一定是异面直线B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线

答案　C

解析　由已知得，直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．

6．使直线a，b为异面直线的充分不必要条件是（　　）

A．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不平行

B．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不相交

C．a∥直线c，b∩c＝A，b与a不相交

D．a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝l，a与b无公共点

答案　C

解析　对A：

a与b可能有交点；对B，D：

a与b可能平行，故选C.对C：

可用反证法，若b与a不异面，而且a∩b＝∅，则a∥b.又a∥c，从而b∥c，与b∩c＝A矛盾．

7.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是（　　）

A．45°　　　　　B．60°

C．90°　　　　　D．120°

答案　B

解析　如图，连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝a，故两直线所成的角即为∠HGB＝60°.

8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________（把你认为正确的结论的序号都填上）．

答案　③④

解析　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．

二、高考小题

9．[2015·广东高考]若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

答案　D

解析　解法一：

如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确，选D.

解法二：

因为l分别与l1，l2共面，故l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交，选D.

10．[2016·山东高考]已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面α，β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面．故选A.

11．[2014·广东高考]若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（　　）

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

答案　D

解析　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取l1为BC，l2为CC1，l3为C1D1.满足l1⊥l2，l2⊥l3.若取l4为A1D1，则有l1∥l4；若取l4为DD1，则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定，故选D.

三、模拟小题

12．[2017·武昌调研]已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l（　　）

A．相交B．平行

C．垂直D．异面

答案　C

解析　当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．

13．[2017·贵州安顺调研]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是（　　）

A．与AC，MN均垂直

B．与AC垂直，与MN不垂直

C．与AC不垂直，与MN垂直

D．与AC，MN均不垂直

答案　A

解析　因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝＝，MN＝＝，ON＝＝，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.

14．[2016·江西景德镇二模]将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD（如图2），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（　　）

A．相交且垂直B．相交但不垂直

C．异面且垂直D．异面但不垂直

答案　C

解析　在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.

15．[2016·河北石家庄质检]下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是（　　）

答案　D

解析　解法一：

（利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”判断）对选项A，易判断PR∥SQ，故点P、Q、R、S共面；对选项B，易判断QR∥SP，故点P、Q、R、S共面；对选项C，易判断PQ∥SR，故点P、Q、R、S共面；而选项D中的RS、PQ为异面直线，故选D.

解法二：

如图，可知选项A、B中的四点共面．对于选项C，易知可构成平行四边形．故选D.

16．[2016·云南师大附中月考]三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC、AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，则A1B与AC1所成角的正弦值为（　　）

A．1B．

C．D．

答案　D

解析　如图所示，把三棱柱补形为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，则BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角，设AB＝a，在△A1BD1中，A1B＝a，BD1＝a，A1D1＝a，∴sin∠A1BD1＝，故选D.

17．[2017·南昌调研]若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）

①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．

答案　②④

解析　对于①，若直线m⊥α，如果α、β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直，故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线，故③错误，④正确．

一、高考大题

1．[2014·陕西高考]四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.

（1）求四面体ABCD的体积；

（2）证明：

四边形EFGH是矩形．

解　

（1）由该四面体的三视图可知BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，

∴四面体ABCD的体积V＝××2×2×1＝.

（2）证明：

∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，

∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.

同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，

∴四边形EFGH是平行四边形．

又∵AD⊥平面BDC，

∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，

∴四边形EFGH是矩形．

2．[2015·四川高考]一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；

（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；

（3）证明：

直线DF⊥平面BEG.

解　

（1）点F，G，H的位置如图所示．

（2）平面BEG∥平面ACH，证明如下：

因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，

又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，

于是四边形BCHE为平行四边形，

所以BE∥CH.

又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，

所以BE∥平面ACH.

同理BG∥平面ACH.

又BE∩BG＝B，

所以平面BEG∥平面ACH.

（3）证明：

连接FH.

因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.

因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.

又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.

又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.

同理DF⊥BG.

又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.

二、模拟大题

3．[2016·广东佛山模拟]如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．

（1）求证：

PC⊥AD；

（2）在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？

若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；

（3）求点D到平面PAM的距离．

解　

（1）证明：

取AD的中点O，连接OP，OC，AC，

因为ABCD是∠ABC＝60°的菱形，所以∠ADC＝60°，AD＝CD，所以△ACD是正三角形，所以OC⊥AD，又△PAD是正三角形，所以OP⊥AD，

又OC∩OP＝O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，

所以AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，所以PC⊥AD.

（2）存在．当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．

证明：

取棱PB的中点Q，连接QM，QA，

因为M为PC的中点，所以QM∥BC，

在菱形ABCD中，AD∥BC，所以QM∥AD，

所以A，Q，M，D四点共面．

（3）点D到平面PAM的距离即为点D到平面PAC的距离，

由

（1）可知PO⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P－ACD的高，

在Rt△POC中，PO＝OC＝，PC＝，

在△PAC中，PA＝AC＝2，PC＝，

边PC上的高AM＝＝，

所以S△PAC＝PC·AM＝××＝，

设点D到平面PAC的距离为h，

由VD－PAC＝VP－ACD，得S△PAC·h＝S△ACD·PO，即×·h＝××22×，

解得h＝，所以点D到平面PAM的距离为.

4.[2016·河南焦作一模]如图所示，平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD＝2AB＝2AD＝2ED＝xAF.

（1）若四点F、B、C、E共面，AB＝a，求x的值；

（2）求证：

平面CBE⊥平面EDB.

解　

（1）∵AF∥DE，AB∥DC，AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，

∴平面ABF∥平面DCE.

∵四点F，B，C，E共面，∴FB∥CE，

∴△ABF与△DCE相似．

∵AB＝a，∴ED＝a，CD＝2a，AF＝，

由相似比得＝，即＝，

所以x＝4.

（2）证明：

不妨设AB＝1，则AD＝AB＝1，CD＝2，

在Rt△BAD中，BD＝，取CD中点为M，则MD与AB平行且相等，连接BM，可得△BMD为等腰直角三角形，因此BC＝，因为BD2＋BC2＝CD2，所以BC⊥BD，又因为平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED⊥AD，所以ED⊥平面ABCD，∴BC⊥DE，又因为BD∩DE＝D，∴BC⊥平面EDB，∵BC⊂平面ECB，∴平面CBE⊥平面EDB.

5．[2016·沈阳质检]如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：

（1）平面EFG∥平面ABC；

（2）BC⊥SA.

证明　

（1）因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.

因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，

所以平面EFG∥平面ABC.

（2）因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，

所以AF⊥平面SBC，因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.

又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.

因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.

6.[2017·广东适应性检测]如图，在直二面角E－AB－C中，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝2，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.

（1）证明：

FB⊥面PAC；

（2）求异面直线PC与AB所成的角的余弦值．

解　

（1）证明：

易得FB＝4，

cos∠PFA＝cos∠BFA＝，

在△PAF中，

PA＝

＝＝.

∵PA2＋PF2＝3＋9＝12＝AF2，∴PA⊥BF.

∵平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，AB⊥AC，∴AC⊥平面ABEF.

∵BF⊂平面ABEF，∴AC⊥BF.

∵PA∩AC＝A，∴BF⊥平面PAC.

（2）过P作PM∥AB，PN∥AF，分别交BE，BA于M，N，∠MPC或其补角为PC与AB所成的角．连接MC，NC.

易得PN＝MB＝，AN＝，NC＝＝，BC＝2，PC＝＝，MC＝＝，cos∠MPC＝＝＝－.

∴异面直线PC与AB所成的角的余弦值为.