中考数学相似形专题复习导学案.docx

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中考数学相似形专题复习导学案

2017年中考数学相似形专题复习导学案

2017年中考数学专题练习21《相似形》

【知识归纳】

（一）1．成比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．

2．比例线段的基本性质

若ab＝d，则；当b＝时，，那么b是a，d的比例中项．

3．线段的黄金分割

点把线段AB分成两条线段A和B（A>B），如果A是线段AB和B的比例中项，且AAB＝BA＝－12≈0618，则点叫做线段AB的．

4平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

（二）1．相似图形定义：

形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：

对应角，对应边的比．

2．相似三角形的判定

（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应，那么这两个三角形相似；

（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应，且夹角，那么这两个三角形相似；

（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应，那么这两个三角形相似；

（4）平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形．

3相似三角形的性质

（1）相似三角形周长的比等于

（2）相似三角形面积的比等于

（3）相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于

4相似多边形的性质

（1）相似多边形周长的比等于

（2）相似多边形面积的比等于

位似图形

（1）定义

两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做，对应边的比叫做．位似是一种特殊的相似

（2）性质

（1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于；

（2）位似图形对应点的连线或延长线相交于点；

（3）位似图形对应边；

（4）位似图形对应角

【基础检测】

1．（2016•德州）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（　　）

A．平移B．旋转．轴对称D．位似

2．（2016•达州）如图，在△AB中，BF平分∠AB，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交A于点E．若AB=10，B=16，则线段EF的长为（　　）A．2B．3．4D．

3．（2016•哈尔滨）如图，在△AB中，D、E分别为AB、A边上的点，DE∥B，BE与D相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　）A．=B．．D．

4．（2016•巴中）如图，点D、E分别为△AB的边AB、A上的中点，则△ADE的面积与四边形BED的面积的比为（　　）A．1：

2B．1：

3．1：

4D．1：

1

．（2016•烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABD与正方形BEFG是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点坐标为（　　）A．（3，2）B．（3，1）．（2，2）D．（4，2）

6．（2016•辽宁丹东•3分）如图，正方形ABD边长为3，连接A，AE平分∠AD，交B的延长线于点E，FA⊥AE，交B延长线于点F，则EF的长为　　．7（2016•广西桂林•3分）如图，在Rt△AB中，∠AB=90°，A=B=3，D=1，H⊥BD于H，点是AB中点，连接H，则H=　　．8（2016•贵州安顺•4分）如图，矩形EFGH内接于△AB，且边FG落在B上，若AD⊥B，B=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为　　．9（2016•四川眉）已知：

如图△AB三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）画出△AB向上平移6个单位得到的△A1B11；

（2）以点为位似中心，在网格中画出△A2B22，使△A2B22与△AB位似，且△A2B22与△AB的位似比为2：

1，并直接写出点A2的坐标．10（2016•四川眉）如图，△AB和△BE均为等腰直角三角形，且∠AB=∠BE=90°，A=4，点P为线段BE延长线上一点，连接P以P为直角边向下作等腰直角△PD，线段BE与D相交于点F

（1）求证：

；

（2）连接BD，请你判断A与BD有什么位置关系？

并说明理由；

（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

【达标检测】

一．选择题

1如图，点P是▱ABD边AB上的一点，射线P交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对．2对D．3对

2如图，△AB中，AD、BE是两条中线，则S△ED：

S△AB=（　　）　A．1：

2B．2：

3．1：

3D．1：

4

3（2016•湖北随州）如图，D、E分别是△AB的边AB、B上的点，且DE∥A，AE、D相交于点，若S△DE：

S△A=1：

2，则S△BDE与S△DE的比是（　　）A．1：

3B．1：

4．1：

D．1：

2

4如图，在△AB中，AB=A，DE∥B，则下列结论中不正确的是（）A．AD=AEB．DB=E．∠ADE=∠D．DE=B

如图，在方格纸中，△AB和△EPD的顶点均在格点上，要使△AB∽△EPD，则点P所在的格点为（）AP1BP2P3DP4

6（2016•江西）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足=n的是（　　）A．只有②B．只有③．②③D．①②③

7（2016•辽宁丹东）如图，在△AB中，AD和BE是高，∠ABE=4°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠BE=∠BAD．有下列结论：

①FD=FE；②AH=2D；③B•AD=AE2；④S△AB=4S△ADF．其中正确的有（　　）A．1个B．2个．3个D．4个

二、填空题

8如图，在△AB中，DE∥B，，△ADE的面积是8，则△AB的面积为　9．（2016贵州毕节）在△AB中，D为AB边上一点，且∠BD=∠A．已知B=，AB=3，则BD=　　．10（2016•湖北武汉）如图，在四边形ABD中，∠AB＝90°，AB＝3，B＝4，D＝10，DA＝，则BD的长为_______．11（2016•黑龙江龙东）已知：

在平行四边形ABD中，点E在直线AD上，AE=AD，连接E交BD于点F，则EF：

F的值是　．

12．（2016•黑龙江齐齐哈尔•3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AB的两边A、分别在x轴和轴上，且A=2，=1．在第二象限内，将矩形AB以原点为位似中心放大为原的倍，得到矩形A11B1，再将矩形A11B1以原点为位似中心放大倍，得到矩形A22B2…，以此类推，得到的矩形AnnBn的对角线交点的坐标为　　．13如图，在平面直角坐标系中，等腰△B的边B在x轴上，B=B，B边上的高A与边上的高BE相交于点D，连接D，AB=，∠B=4°，在直线BE上求点，使△B与△D相似，则点的坐标是．三、解答题

14如图，将△AB在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A1B11．

（1）△AB与△A1B11的位似比等于；

（2）在网格中画出△A1B11关于轴的轴对称图形△A2B22；

（3）请写出△A1B11是由△A2B22怎样平移得到的？

（4）设点P（x，）为△AB内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为．

1如图所示，AD，BE是钝角△AB的边B，A上的高，求证：

．

16如图，等腰△AB中，AB=A，∠BA=36°，B=1，点D在边A上且BD平分∠AB，设D=x．

（1）求证：

△AB∽△BD；

（2）求x的值；

17（2016•陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：

如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线B上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线B上的对应位置为点，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1米，D=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：

如图，小亮从D点沿D方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2米，FG=16米．

如图，已知AB⊥B，ED⊥B，GF⊥B，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．18（2016•重庆市A卷•12分）在△AB中，∠B=4°，∠=30°，点D是B上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．

（1）若AB=2，求B的长；

（2）如图1，当点G在A上时，求证：

BD=G；

（3）如图2，当点G在A的垂直平分线上时，直接写出的值．

【知识归纳答案】

（一）1．成比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．

2．比例线段的基本性质

若ab＝d，则ad=b；当b＝时，b2=ad，那么b是a，d的比例中项．

3．线段的黄金分割

点把线段AB分成两条线段A和B（A>B），如果A是线段AB和B的比例中项，且AAB＝BA＝－12≈0618，则点叫做线段AB的黄金分割点．

4平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

（二）1．相似图形定义：

形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：

对应角相等，对应边的比成比例．

2．相似三角形的判定

（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；

（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角夹角相等，那么这两个三角形相似；

（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；

（4）平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．

3相似三角形的性质

（1）相似三角形周长的比等于相似比

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方

（3）相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比

4相似多边形的性质

（1）相似多边形周长的比等于相似比

（2）相似多边形面积的比等于相似比的平方

位似图形

（1）定义

两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做位似中心，对应边的比叫做位似比．位似是一种特殊的相似

（2）性质

（1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比；

（2）位似图形对应点的连线或延长线相交于一点；

（3）位似图形对应边成比例；

（4）位似图形对应角相等

【基础检测答案】

1．（2016•德州）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（　　）

A．平移B．旋转．轴对称D．位似

【分析】根据平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换的性质进行判断即可．

【解答】解：

平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”；

旋转的性质：

旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换”；

轴对称的性质：

成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换”；

位似变换的性质：

位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换，

故选：

D．

【点评】本题考查的是平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换，理解“等距变换”的定义、掌握平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换的性质是解题的关键．

2．（2016•达州）如图，在△AB中，BF平分∠AB，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交A于点E．若AB=10，B=16，则线段EF的长为（　　）A．2B．3．4D．

【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠BF=∠DFB，即DE∥B，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．

【解答】解：

∵AF⊥BF，

∴∠AFB=90°，

∵AB=10，D为AB中点，

∴DF=AB=AD=BD=，

∴∠ABF=∠BFD，

又∵BF平分∠AB，

∴∠ABF=∠BF，

∴∠BF=∠DFB，

∴DE∥B，

∴△ADE∽△AB，

∴=，即，

解得：

DE=8，

∴EF=DE﹣DF=3，

故选：

B．

【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．

3．（2016•哈尔滨）如图，在△AB中，D、E分别为AB、A边上的点，DE∥B，BE与D相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　）A．=B．．D．

【分析】根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

【解答】解；A、∵DE∥B，

∴，故正确；

B、∵DE∥B，

∴△DEF∽△BF，

∴，故错误；

、∵DE∥B，

∴，故错误；

D、∵DE∥B，

∴△DEF∽△BF，

∴，故错误；

故选：

A．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键．

4．（2016•巴中）如图，点D、E分别为△AB的边AB、A上的中点，则△ADE的面积与四边形BED的面积的比为（　　）A．1：

2B．1：

3．1：

4D．1：

1

【分析】证明DE是△AB的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥B，DE=B，证出△ADE∽△AB，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：

△AB的面积=1：

4，即可得出结果．

【解答】解：

∵D、E分别为△AB的边AB、A上的中点，

∴DE是△AB的中位线，

∴DE∥B，DE=B，

∴△ADE∽△AB，

∴△ADE的面积：

△AB的面积=（）2=1：

4，

∴△ADE的面积：

四边形BED的面积=1：

3；

故选：

B．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟记三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．

．（2016•烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABD与正方形BEFG是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点坐标为（　　）A．（3，2）B．（3，1）．（2，2）D．（4，2）

【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△AD∽△BG，进而得出A的长，即可得出答案．

【解答】解：

∵正方形ABD与正方形BEFG是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，

∴=，

∵BG=6，

∴AD=B=2，

∵AD∥BG，

∴△AD∽△BG，

∴=，

∴=，

解得：

A=1，

∴B=3，

∴点坐标为：

（3，2），

故选：

A．

【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出A的长是解题关键．

6．（2016•辽宁丹东•3分）如图，正方形ABD边长为3，连接A，AE平分∠AD，交B的延长线于点E，FA⊥AE，交B延长线于点F，则EF的长为　　．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得A的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠AE=∠E，易得E=A，由FA⊥AE，可得∠FA=∠F，易得F=A，可得EF的长．

【解答】解：

∵四边形ABD为正方形，且边长为3，

∴A=3，

∵AE平分∠AD，

∴∠AE=∠DAE，

∵AD∥E，

∴∠DAE=∠E，

∴∠AE=∠E，

∴E=A=3，

∵FA⊥AE，

∴∠FA+∠AE=90°，∠F+∠E=90°，

∴∠FA=∠F，

∴F=A=3，

∴EF=F+E=3=6，

故答案为：

6．

7（2016•广西桂林•3分）如图，在Rt△AB中，∠AB=90°，A=B=3，D=1，H⊥BD于H，点是AB中点，连接H，则H=　　．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】在BD上截取BE=H，连接，E，根据相似三角形的性质得到，求得H=，根据等腰直角三角形的性质得到A=B=，

∠A=∠A=∠B=∠AB=4°，等量代换得到∠H=∠ABD，根据全等三角形的性质得到E=H，∠BE=∠H推出△HE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：

在BD上截取BE=H，连接，E，

∵∠AB=90°H⊥BD，

∵A=B=3，D=1，

∴BD=，

∴△DH∽△BD，

∴，

∴H=，

∵△AB是等腰直角三角形，点是AB中点，

∴A=B=，∠A=∠A=∠B=∠AB=4°，

∴∠H+∠DH=4°，∠ABD+∠DB=4°，

∵∠DH=∠BD，∴∠H=∠ABD，

在△H与△BE中，，

∴△H≌△BE，

∴E=H，∠BE=∠H，

∵⊥B，∴∠EH=90°，

即△HE是等腰直角三角形，

∵EH=BD﹣DH﹣H=﹣﹣=，

∴H=EH×=，

故答案为：

．8（2016•贵州安顺•4分）如图，矩形EFGH内接于△AB，且边FG落在B上，若AD⊥B，B=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为　　．【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形AB相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．

【解答】解：

如图所示：

∵四边形EFGH是矩形，

∴EH∥B，

∴△AEH∽△AB，

∵A⊥EH，AD⊥B，

∴，

设EH=3x，则有EF=2x，A=AD﹣EF=2﹣2x，

∴，

解得：

x=，则EH=．

故答案为：

．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

9（2016•四川眉）已知：

如图△AB三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）画出△AB向上平移6个单位得到的△A1B11；

（2）以点为位似中心，在网格中画出△A2B22，使△A2B22与△AB位似，且△A2B22与△AB的位似比为2：

1，并直接写出点A2的坐标．【分析】

（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．

【解答】解：

（1）如图所示：

△A1B11，即为所求；

（2）如图所示：

△A2B22，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．

10（2016•四川眉）如图，△AB和△BE均为等腰直角三角形，且∠AB=∠BE=90°，A=4，点P为线段BE延长线上一点，连接P以P为直角边向下作等腰直角△PD，线段BE与D相交于点F

（1）求证：

；

（2）连接BD，请你判断A与BD有什么位置关系？

并说明理由；

（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．【分析】

（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BE∽△DP，进而得出答案；

（2）首先得出△PE∽△DB，进而求出∠AB=∠BD，即可得出A与BD的位置关系；

（3）首先利用相似三角形的性质表示出BD，P的长，进而表示出△PBD的面积．

【解答】

（1）证明：

∵△BE和△DP均为等腰直角三角形，

∴∠EB=∠PD=4°，∠EB=∠PD=90°，

∴△BE∽△DP，∴=；

（2）解：

A∥BD，

理由：

∵∠PE+∠ED=∠BD+∠ED=4°，

∴∠PE=∠BD，

又∵=，

∴△PE∽△DB，

∴∠BD=∠EP=90°，

∵∠AB=90°，

∴∠AB=∠BD，

∴A∥BD；

（3）解：

如图所示：

作P⊥BD于，

∵A=4，△AB和△BE均为等腰直角三角形，

∴BE=E=4，

∵△PE∽△DB，

∴=，即=，

∴BD=x，

∵∠PB=∠BD﹣∠BP=4°，BP=BE+PE=4+x，

∴P=，

∴△PBD的面积S=BD•P=×x×=x2+2x．【点评】此题主要考查了相似形综合、平行线的判定方法以及相似三角形的判定与性质等知识，正确表示出P的长是解题关键．

【达标检测答案】

一．选择题

1如图，点P是▱ABD边AB上的一点，射线P交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对．2对D．3对

【答案】D．

【解析】∵四边形ABD是平行四边形，∴AB∥D，AD∥B，∴△EAP∽△ED，△EAP∽△PB，∴△ED∽△BP，故有3对相似三角形．故选D．

2如图，△AB中，AD、BE是两条中线，则S△ED：

S△AB=（　　）　A．1：

2B．2：

3．1：

3D．1：

4

【答案】D．

【解析】∵△AB中，AD、BE是两条中线，

∴DE是△AB的中位线，

∴DE∥AB，DE=AB，

∴△ED∽△AB，

∴S△ED：

S△AB=（）2=．

故选D．

3（2016•湖北随州•3分）如图，D、E分别是△AB的边AB、B上的点，且DE∥A，AE、D相交于点，若S△DE：

S△A=1：

2，则S△BDE与S△DE的比是（　　）A．1：

3B．1：

4．1：

D．1：

2

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DE∽△A，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．

【解答】解：

∵DE∥A，

∴△DE∽△A，又S△DE：

S△A=1：

2，

∴=，

∵DE∥A，

∴==，

∴=，

∴S△BDE与S△DE的比是1：

4，

故选：

B．

4如图，在△AB中，AB=A，DE∥B，则下列结论中不正确的是（）A．AD=AEB．DB=E．∠ADE=∠D．DE=B

【答案】D．

【解析】∵DE∥B，∴，∠ADE=∠B，∵AB=A，∴AD=AE，DB=E，∠B=∠，∴∠ADE=∠，而DE不一定等于B，故选D．

如图，在方格纸中，△AB和△EPD的顶点均在格点上，要使△AB∽△EPD，则点P所在的格点为（）AP1BP2P3DP4

【答案】．

【解析】