不等式常见考试题型总结.docx
《不等式常见考试题型总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不等式常见考试题型总结.docx（38页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
不等式常见考试题型总结
《不等式》常见考试题型总结
一、高考与不等式
高考试题，有关不等式的试题约占总分的12%左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以
及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力•选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合•解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。
不等式常与下列知识相结合考查：
1不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；
2解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；
3证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查.
二、常见考试题型
（1）求解不等式解集的题型
（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法）
（2）不等式的恒成立问题
（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法）
（3）不等式大小比较常用方法：
1.作差：
作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2•作商（常用于分数指数幕的代数式）；3.分析法;4•平方法；5•分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；7•寻找中间量或放缩法；8•图象法。
（4）不等式求函数最值
技巧一：
凑项
5.
例：
已知X,求函数V=4x_2•的最大值。
4y4x-5
技巧二：
凑系数
例.当L时，求y=χ（8-2x）的最大值。
技巧三：
分离
2
χ2+7x+10例.求y=（χ.-1）的值域。
X+1
技巧四：
换元
2
例.求、上12（χ,.1）的值域。
x+1
技巧五：
函数的单调性
a
f（X）=X的单调性。
）
X
例：
求函数
技巧六：
整体代换
（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
19
例：
（1）已知X0,y0,且1,求Xy的最小值。
Xy
（2）若X,yR■且2χ∙y=1,求丄.丄的最小值
Xy
⑶已知a,b,X,yR且α≥=I,求x，y的最小值
Xy
技巧七、利用Sin2鳥ACoS2=1转换式子2
技巧八、已知X,y为正实数，且X2++y=1,求X1+y2的最大值.
分析：
因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式
b≤a2+b2
ab≤
技巧九：
已知
a,
1
2，
2
X2+J
X2
2
X.1+y2
2X-.'1
即X1+y2=2X
+≤
1
b为正实数，2b+ab+a=30,求函数y=Ob的最小值.
（注意：
在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数
这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，
一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解
二是直接用基本不等式。
例：
1.已知a>0,b>0,ab—（a+b）=1,求a+b的最小值。
2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。
技巧十：
取平方
例、已知x,y为正实数，3x+2y=10,求函数W=.3x+,2y的最值.（5）证明不等式
常用方法：
比较法、分析法、综合法和放缩法。
基本不等式一最值求法的题型
基础题型一：
指数类最值的求法
1.已知a^3,求3a3b的最小值。
变式1.已知a2b=3,求3a9b的最小值。
变式2.已知X一y=2,求3x的最小值。
3y
1
变式3.已知X-2y—3,求2x∙-y的最小值。
4y
11
变式4.已知点（x,y）在直线y=1χ-1上，求3x的最小值。
29y
基础题型二：
对数类最值的求法
2.已知X0,y0,且2x∙y=4,求log2xlog2y的最大值。
变式1.已知X0,y•0,且X•2y=4,求log1xlogI3y的最小值。
22
变式2.已知点（X,y）是圆X2y2=6在第一象限内的任一点，求log3Xlog3y的最大值。
能力题型一：
常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）
1
1.已知X2,求f（x）=χ∙1∙—的最小值。
X-2
变式1.已知X3,求f（X）=2x-3•的最小值。
x—2
变式2.已知X：
1,求f（x^2^—的最大值。
X-1
能力题型二：
代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）
21
1.已知X0,y0,且χ∙2y=1,求的最小值。
Xy
23
2.变式1.已知X0,y0,且2xy=3,求的最小值。
Xy
12
变式2.已知X：
：
0,y<0,且X3^-2,求丄上的最大值。
Xy
能力题型三：
指数与系数的变形（调整字母的系数和指数）
1.已知X0,y0,且2x2y^1,求X,12y2的最大值。
变式1.已知X0,y0,且X22y2=3,求2x.Vy2的最大值。
变式2.已知a0,b0,且a2b2=3,求—a12b2的最小值
能力题型四：
对勾函数及其应用
11
【对勾函数】y=χ∙-,由X=—得顶点的横坐标为X=1
XX
y=aχb,由ax=b得顶点的横坐标为
XX
y=ax+—=a（x-1）+a,由a（x-1）=—^得顶点的横坐标为X=1÷<∕-
X-1X-1X-1Va
2
例1.求y=χ（X.[1,4]）的值域。
X
2
变式1.求y=χ∙—（x∙[-2,-1]）的值域。
X
、、、2
变式2.求y=3x（x•[2,4]）的值域。
X
例2.求y=χ∙丄（x_2）的值域。
X+1
1
变式1.求y=2x（X_3）的值域。
X—2
2
x—1
（X乞-2）的值域。
4Tl
例3.求y=sinX（O-X）的值域。
SinX2
变式1.求y=
SinX
4
SinX-1
（O乞X空二）的值域。
变式2.求y=CoSX
cosx1
基本不等式例题
例1.已知'■■'11,且,求二.L'的最小值及相应的】J'值.
XtytZeE^tX-2y+3z=Of-
例2.唸的最小值为。
仗+掰
例3•已知:
■-1■'',二"「成等差数列，二八「成等比数列，则J的最小值是
（）
例4•函数二I-的图象恒过定点」，若点」在直线：
:
二门-X'',上，则
11
—+_
mH的最小值为.
11
-J+
例5.若二…-，则「：
的最小值是（）
例6.下列各函数中，最小值为2的是（）
[_F+2
「：
一B.'J-C
51
例7
（1）已知X,求函数y=4x-2的最大值.
44x-5
2422
（2）求函数y=χ-—的最小值求y二4—X-—的最大值.
X+1X+2
练习•设则'的最大值为
例8.已知，且--V二.求二二C「的最大值及相应的：
「的值
11
例9若X，y是正数，则（X）2（y）2的最小值是
2y2x
练习：
已知实数X，y满足X+y—仁0,则X2+y2的最小值
例10.若实数a、b满足a+b=2,是3a+3b的最小值是
基本不等式证明
例已知a,b为正数，求证:
⅜½Na+⅛⅛Iτ⅛ill:
实际应用：
某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为
Xy（单位：
m）的矩形，上部是等
腰直角三角形，要使框架围成的总面积为8m2,问Xy分别为多少时用料最省?
.基本不等式
基本不等式应用
1.
（1）若a,bR,则a2b2_2ab⑵
22
若a,b∙R,则ab<-—
_2
（当且仅当a=b时取“=”）
若a,b尸R,则a∙b_2∙.ab（当且仅当a=b时取“=”）
2.
（1）若a,bR*,则—_.ab⑵
2
（3）若a,b∙R*,则ab・：
：
•Jb（当且仅当a=b时取“=”）
飞2丿
11
3.若X0,则X2（当且仅当X=1时取“=”）；若X：
：
：
O,则X2（当且仅当X=-1时取“=”）
XX
若XHO,则X+1>2即X十丄启2或X+1兰-2（当且仅当a=b时取“="）XXX
3.若ab0,则ab_2（当且仅当a=b时取“=”）
ba
22
≤ab（当且仅当a=b时取“=”）_2
若ab^0,^U巳+二兰2即-+-工2或-+-≤-2（当且仅当a=b时取“=”）
4.若a,b∙R,则（Lb）2
2
注：
（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.
（3）均值定理在求最值、
应用一：
求最值
例1:
求下列函数的值域
21
（I）y=3x+27
⑵y=x+X
解：
（1）y=3x2+2x2≥2.'3x
2步=V6•值域为［丽,+∞）
（2）当χ>0时，y=X+X≥2Qx•1
=2;
1
当XV0时，y=x+-=—（—
X
解：
因4x-5：
：
：
0,所以首先要“调整”符号，又（4x-2
不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项,
11
x—_）≤—2X•_=—2
XJ;X
•••值域为（一∞,—2]U[2,+∞）
解题技巧：
技巧一：
凑项
5A
求函数y=4x-2'的取大值。
44x—5
t5II1
X,∙5—4x0,.y=4x-25-4X
44x-5I5-4xJ
1
当且仅当5-4X-,即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1。
5-4X
评注：
本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：
凑系数
例1.当-一时，求y=x（8-2x）的最大值。
解析：
由L-<-知，丨二：
二一，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x（8—2x）=8为定值，故只需将y=x（8—2x）凑上一个系数即可。
λ=xC8-2x）=1[2x*（3-2x）]U（2x+^^ξx）3=8
当.-=■-■■：
即X=2时取等号当X=2时，y=x（8-2x）的最大值为8。
评注：
本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
3
变式：
设0：
：
：
X,求函数y=4x（3-2x）的最大值。
”3
解：
•••0：
升级会员 