线性代数难点解析.docx

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线性代数难点解析

一章行列式

一、重点

1、理解：

行列式的定义，余子式，代数余子式。

2、掌握：

行列式的基本性质及推论。

3、运用：

运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。

二、难点

行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。

三、重要公式

1、若A为n阶方阵，则│kA│=kn│A│

2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│

3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1

若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1

4、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi

四、题型及解题思路

1、有关行列式概念与性质的命题

2、行列式的计算（方法）

1）利用定义

2）按某行（列）展开使行列式降阶

3）利用行列式的性质

①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。

②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。

③逐次行（列）相加减，化简行列式。

④把行列式拆成几个行列式的和差。

4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式

5）数学归纳法，多用于证明

3、运用克莱姆法则求解线性方程组

若D=│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即

x1=D1/D，x2=D2/D，…，xn=Dn/D

其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：

克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题

1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）

2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出

第二章矩阵

一、重点

1、理解：

矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）

2、掌握：

1）矩阵的各种运算及运算规律

2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法

3）矩阵的初等变换方法

二、难点

1、矩阵的求逆矩阵的初等变换

2、初等变换与初等矩阵的关系

三、重要公式及难点解析

1、线性运算

1）交换律一般不成立，即AB≠BA

2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵

（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2

（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2

（AB）k≠AkBk

（A+B）（A-B）≠A2-B2

以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。

3）由AB=0不能得出A=0或B=0

4）由AB=AC不能得出B=C

5）由A2=A不能得出A=I或A=0

6）由A2=0不能得出A=0

7）数乘矩阵与数乘行列式的区别

2、逆矩阵

1）（A–1）–1＝A

2）（kA）–1=（1/k）A–1，（k≠0）

3）（AB）–1=B–1A–1

4）（A–1）T=（AT）–1

5）│A–1│=│A│–1

3、矩阵转置

1）（AT）T＝A

2）（kA）T=kAT，（k为任意实数）

3）（AB）T=BTAT

4）（A+B）T=AT+BT

4、伴随矩阵

1）A*A＝AA*=│A│I（AB）*=B*A*

2）（A*）*=│A│n-2│A*│=│A│n-1,（n≥2）

3）（kA）*=kn-1A*（A*）T=（AT）*

4）若r（A）=n，则r（A*）=n

若r（A）=n-1，则r（A*）=1

若r（A）

5）若A可逆，则（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-1

5、初等变换（三种）

1）对调二行（列）

2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素

3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素

注意：

用初等变换①求秩，行、列变换可混用

②求逆阵，只能用行或列变换

③求线性方程组的解，只能用行变换

6、初等矩阵

1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵

2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换

3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵

E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）

7、矩阵方程

1）含有未知矩阵的等式

2）矩阵方程有解的充要条件

AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示

<==>r（A）=r（A┆B）

四、题型及解题思路

1、有关矩阵的概念及性质的命题

2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）

3、矩阵可逆的判定

n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B，有AB=BA=I

<==>│A│≠0

<==>r（A）=n

<==>A的列（行）向量组线性无关

<==>Ax=0只有零解

<==>任意b，使得Ax=b总有唯一解

<==>A的特征值全不为零

4、矩阵求逆

1）定义法：

找出B使AB=I或BA=I

2）伴随阵法：

A-1=（1/│A│）A*

注意：

用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏（-1）i+j，当n>3时，通常用初等变换法。

3）初等变换法：

对（A┆I）只用行变换化为（I┆A-1）

4）分块矩阵法

5、解矩阵方程AX=B

1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X

2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X

（A┆B）初等行变换（I┆X）

3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。

第三章线性方程组

一、重点

1、理解：

向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。

2、掌握：

向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。

3、运用：

线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。

二、难点

线性相关、线性无关的判定。

向量组的秩与矩阵的秩的关系。

方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。

三、重点难点解析

1、n维向量的概念与运算

1）概念

2）运算

若α＝（a1,a2,…,an）T，β＝（b1,b2,…,bn）T

①加法：

α＋β＝（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）T

②数乘：

kα＝（ka1,ka2,…,kan）T

③内积：

（α·β）＝a1b1+a2b2+,…,+anbn＝αTβ＝βTα

2、线性组合与线性表出

3、线性相关与线性无关

1）概念

2）线性相关与线性无关的充要条件

①线性相关

α1,α2,…,αs线性相关

<==>齐次方程组（α1,α2,…,αs）（x1,x2,…,xs）T＝0有非零解

<==>向量组的秩r（α1,α2,…,αs）＜s（向量的个数）

<==>存在某αi（i=1,2,…,s）可由其余s-1个向量线性表出

特别的：

n个n维向量线性相关<==>│α1α2…αn│＝0

n+1个n维向量一定线性相关

②线性无关

α1,α2,…,αs线性无关

<==>齐次方程组（α1,α2,…,αs）（x1,x2,…,xs）T＝0只有零解

<==>向量组的秩r（α1,α2,…,αs）＝s（向量的个数）

<==>每一个向量αi（i=1,2,…,s）都不能用其余s-1个向量线性表出

③重要结论

A、阶梯形向量组一定线性无关

B、若α1,α2,…,αs线性无关，则它的任一个部分组αi1,αi2,…,αit必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。

C、两两正交，非零的向量组必线性无关。

4、向量组的秩与矩阵的秩

1）极大线性无关组的概念

2）向量组的秩

3）矩阵的秩

①r（A）＝r（AT）

②r（A+B）≤r（A）＋r（B）

③r（kA）＝r（A），k≠0

④r（AB）≤min（r（A），r（B））

⑤如A可逆，则r（AB）＝r（B）；如B可逆，则r（AB）＝r（A）

⑥A是m×n阵，B是n×p阵，如AB＝0，则r（A）＋r（B）≤n

4）向量组的秩与矩阵的秩的关系

①r（A）＝A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）＝A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）

②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变

③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，则r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）。

特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

5、基础解系的概念及求法

1）概念

2）求法

对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有r（A）个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有n-r（A）个），对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。

6、齐次方程组有非零解的判定

1）设A是m×n矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是r（A）＜n，亦即A的列向量线性相关。

2）若A为n阶矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是│A│＝0

3）Ax＝0有非零解的充分条件是m＜n，即方程个数＜未知数个数

7、非齐次线性方程组有解的判定

1）设A是m×n矩阵，Ax＝b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A增）的秩，即r（A）＝r（A增）

2）设A是m×n矩阵，方程组Ax＝b

①有唯一解<==>r（A）＝r（A增）＝n

②有无穷多解<==>r（A）＝r（A增）

③无解<==>r（A）+1=r（A增）

8、非齐次线性方程组解的结构

如n元线性方程组Ax＝b有解，设,η2,…,ηt是相应齐次方程组Ax＝0的基础解系，ξ是Ax＝b的一个解，则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax＝b的通解。

1）若ξ1，ξ2是Ax＝b的解，则ξ1-ξ2是Ax＝0的解

2）若ξ是Ax＝b的解，η是Ax＝0的解，则ξ+kη仍是Ax＝b的解

3）若Ax＝b有唯一解，则Ax＝0只有零解；反之，当Ax＝0只有零解时，Ax＝b没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）

四、题型及解题思路

1、有关n维向量概念与性质的命题

2、向量的加法与数乘运算

3、线性相关与线性无关的证明

1）定义法

设k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢！

）

①由B＝C可得AB＝AC，因此，可按已知条件的信息对上式乘上某个A

②展开整理上式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组，最后通过分析论证k1，k2，…，ks的取值，得出所需结论。

2）用秩（等于向量个数）

3）齐次方程组只有零解

4）反证法

4、求给定向量组的秩和极大线性无关组

多用初等变换法，将向量组化为矩阵，通过初等变换来求解。

5、求矩阵的秩

常用初等变换法。

6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组

第四章线性空间

一、重点

1、理解：

线性空间、基、维数、内积、长度、夹角和距离的概念，正交向量组及标准正交基的概念，正交矩阵

2、掌握：

Rn及其中向量的运算规则。

内积、长度、夹角、距离的计算。

3、运用：

两个向量的正交。

二、难点

正交矩阵的性质及应用。

三、重点难点解析

1、线性空间与基的概念和性质

2、内积、距离与夹角

1）内积：

α·β＝a1b1+a2b2+…+anbn

2）长度：

‖α‖＝（α·α）的平方根＝（a12+a22+…+an2）的平方根

3）距离：

d＝‖α－β‖＝[（a1-b1）2+（a2-b2）2+…+（an-bn）2]的平方根

4）夹角：

cosθ＝（α·β）/（‖α‖‖β‖）

θ＝arccos[（α·β）/（‖α‖‖β‖）]

5）正交：

α与β的夹角为90°，记为α⊥β

α与β正交<==>α·β＝0

6）正交向量组：

任意两个向量都互相垂直

①任一组非零正交向量组必线性无关

②Rn中任一非零正交向量组的向量个数不大于n

3、向量的正交化

1）标准正交基的概念

2）施密特正交化（先正交化，再单位化）

4、正交矩阵

1）概念

2）性质

若A为正交阵==>│A│＝1或-1

==>A－1仍为正交阵

==>若BBT＝I，则AB（AB）T＝I

==>A－1＝AT

3）n阶方阵A是正交阵<==>A的n个行向量构成Rn的一组标准正交基

<==>A的n个列向量构成Rn的一组标准正交基

四、题型及解题思路

1、判定给定集合是否为线性空间

一般由线性空间的定义与性质来判断

2、求线性空间的基与维数

3、验证n维向量组为Rn的一组标准正交基

步骤：

1）证向量两两正交，即内积为零

2）证各向量都是单位向量，即长度为1

4、计算两向量的内积、向量间的夹角及距离

5、把给定向量组标准正交化

步骤：

1）判断向量组的线性相关性，只有线性无关的向量组才能标准正交化

2）正交化（施密特正交化方法）

3）标准化vi＝βi/‖βi‖

6、证明有关正交矩阵的命题

7、正交矩阵的判定

1）定义法：

若AAT＝In==>A为正交阵

若AAT≠In==>A不是正交阵

该方法多用于抽象矩阵的证明。

2）n阶方阵A是正交阵<==>A的n个行向量（或列向量）构成Rn的一组标准正交基

<==>A的行（列）向量都是单位向量且两两正交

该方法多用于给出具体数值的矩阵。

第五章特征值与特征向量

一、重点

1、理解：

特征值与特征向量的概念及其基本性质。

相似矩阵的概念与性质，矩阵相似于对角阵的条件。

约当型矩阵。

2、掌握：

计算特征值与特征向量的方法。

求相似的对角阵。

二、难点

相似对角化及其应用。

三、重点难点解析

1、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质

1）概念

注意：

①若λ是A的特征值，则│λI-A│＝0，因此λI-A是不可逆矩阵

②若λ不是A的特征值，则│λI-A│≠0，因此λI-A是可逆矩阵

③特别地，0是A的特征值<==>│A│＝0<==>A不可逆

④Ax＝0的基础解系就是λ＝0的线性无关的特征向量

⑤对n阶阵A，若r（A）=1，则λ1＝∑aii,λ2=λ3=…=λn=0

2）性质

①若x1，x2都是特征值λi所对应的特征向量，则x1，x2的线性组合k1x1+k2x2（非零）仍是属于λi的特征向量。

λi的特征向量不是唯一的，反过来，一个特征向量只能属于一个特征值。

②不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当λi是A的k重特征值时，A属于λi的线性无关的特征向量的个数不超过k个。

③特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵A行列式的值。

2、相似矩阵的概念及性质

1）概念

2）性质

若A～B==>AT～BT

==>A－1～B－1（若A、B均可逆）

==>Ak～Bk（k为正整数）

==>│λI-A│＝│λI-B│，从而A、B有相同的特征值

==>│A│＝│B│，从而A、B同时可逆或不可逆

==>r（A）＝r（B）

3、矩阵可相似对角化的充要条件

1）相似对角化的概念

2）充要条件

A与对角阵相似<==>A有n个线性无关的特征向量

<==>A的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数

3）A与对角阵相似的充分条件是A有n个不同的特征值

4、对称矩阵的相似

1）实对称阵必可对角化

2）特征

①特征值全是实数，特征向量都是实向量

②不同特征值的特征向量互相正交

③k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有r（λI-A）＝n-k

四、题型及解题思路

1、特征值与特征向量的求法

1）对抽象矩阵

由特征值与特征向量的定义及其性质推导出特征值的取值。

2）对数字矩阵

①从特征方程│λI-A│＝0求出特征值λi（应有n个，含重根）

②解齐次方程组（λI-A）x＝0，其基础解系就是λ所对应的线性无关的特征向量。

2、判断A是否可对角化

1）方法一：

n阶方阵A可对角化<==>A有n个线性无关的特征向量

方法二：

对n阶方阵A的任一特征值λi（设为ki重根），有n-r（λiI-A）=ki

2）化A为对角阵的步骤

①先求出A的特征值λ1,λ2,…,λn

②再求所对应的线性无关的特征向量x1,x2,…,xn

λ1

③构造可逆矩阵P＝（x1x2…xn），则P－1AP＝[λ2…]

λn

3、利用特征值与相似矩阵求行列式

1）│A│＝λ1λ2…λn其中：

λ1,λ2,…,λn为A的n个特征值

2）若A～B，则│A│＝│B│

4、利用相似对角化求An

若A～∧，即存在可逆阵P，使得P－1AP＝∧，则

A＝P∧P－1，从而An＝P∧nP－1

其中：

∧是A的相似标准型

5、有关特征值与特征向量的证明

第六章实二次型

一、重点

1、理解：

二次型的概念，二次型同对称阵的关系，矩阵合同的概念，标准型与规范标准型的概念，正定二次型与正定矩阵的概念。

2、掌握：

从二次型求对称阵及从对称阵求二次型。

合同与讹传西变量变换之间的关系。

正定二次型、正定阵的判断。

3、应用：

正交变换法、配方法及初等变换法化二次型为标准型，从标准型求规范标准型。

二、难点

化二次型为标准型。

三、重点难点解析

1、二次型的概念及其标准型

1）二次型

二次型的矩阵是唯一的，由二次型应能立即写出其二次型矩阵，反之，给出实对称矩阵要能构造出二次型。

2）二次型的标准型

①概念

②正、负惯性指数，r（f）=r（A）=p+q

③正交变换化二次型为标准型时，标准型中平方项系数必是矩阵A的n个特征值，而配方法没有这个属性。

3）惯性定理

二次型的正、负惯性指数是唯一不变的，它反映了二次型的本质特征。

2、合同矩阵与正定矩阵

1）合同矩阵

①概念

②充要条件：

实对称阵A≌B<==>二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数。

A≌B的必要条件是r（A）=r（B）

2）正定二次型与正定矩阵

①概念

②充要条件

n元二次型xTAx正定<==>xTAx的正惯性指数p=n

<==>A与I合同，即有可逆阵D使A＝DTD

<==>A的特征值全是正数

<==>A的顺序主子式全大于零

正定的必要条件：

aii>0，（i=1,2,…,n）；│A│>0可帮助排除非正定的二次型。

3）注意：

若A为正定矩阵，则kA（k>0），AT，A－1，A*也是正定矩阵。

若A为正定矩阵，则有│A│>0，从而A可逆。

若A为正定矩阵，则A的主对角线上的元素aii>0，（i=1,2,…,n）。

四、题型及解题思路

1、有关二次型基本概念的命题

2、化二次型为标准型

1）配方法

2）正交变换法

①必须先正确写出二次型矩阵，二次型矩阵是对角线aii为xi2的系数，aij=aji为xixj系数的一半；

②求出二次型矩阵的特征根及对应的特征向量；

③将重特征根的特征向量正交化，再将所得特征向量单位化，以此为列构成的矩阵即为正交矩阵Q；

④作变换X＝QY，即可将二次型化为标准型。

3）初等变换法

注意：

①用正交变换化标准型时，平方项系数是特征值，且是唯一的。

②由配方法所得的标准型是不唯一的。

③不论用那种方法，正、负惯性指数是一致的。

3、判别二次型的正定

方法：

1）用定义

2）正惯性指数p=n

3）顺序主子式全大于零

4）特征值全大于零

5）对任意x≠0，恒有xTAx>0。

4、有关正定性的证明

1）方法：

①特征值法

②定义法

2）正定是对实对称阵而言，证明A是正定矩阵时，要验证AT＝A。