线性代数难点解析.docx

1、线性代数难点解析一章 行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1、若A为n阶方阵，则kA= knA 2、若A、B均为n阶方阵，则AB=AB 3、若A为n阶方阵，则A*=An-1 若A为n阶可逆阵，则A-1=A-1 4、若A为n阶方阵，i（i=1,2,n）是A的特征值，Ai 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法） 1）利用

2、定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 逐次行（列）相加减，化简行列式。 把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法，多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D =A0，则Ax=b有唯一解，即 x1=D1/D，x2= D2/D，xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式A判别方

3、程组解的问题 1）当A0时，齐次方程组Ax0有非零解；非齐次方程组Axb不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解） 2）当A0时，齐次方程组Ax0仅有零解；非齐次方程组Axb有唯一解，此解可由克莱姆法则求出第二章 矩阵 一、重点 1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵） 2、掌握： 1）矩阵的各种运算及运算规律 2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法 3）矩阵的初等变换方法 二、难点 1、矩阵的求逆矩阵的初等变换 2、初等变换与初等矩阵的关系 三、重要公式及难点解析 1、线性运算 1）交换律一般不成立，即AB

4、BA 2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵 (A+B)2=A2+AB+BA+B2A2+2AB+B2 (AB)2=(AB)(AB)A2B2 (AB)kAkBk (A+B)(A-B)A2-B2 以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。 3）由AB=0不能得出A=0或B=0 4）由AB=AC不能得出B=C 5）由A2=A不能得出A=I或A=0 6）由A2=0不能得出A=0 7）数乘矩阵与数乘行列式的区别 2、逆矩阵 1）(A1)1A 2）(kA) 1=(1/k)A1，（k0） 3）(AB)1=B1A1 4）(A1)T=(AT)1 5）A1=A1 3、矩阵转置 1）(

5、AT)TA 2）(kA) T=kAT，（k为任意实数） 3）(AB)T=BTAT 4）(A+B)T=AT+BT 4、伴随矩阵 1）A*AA A*=AI (AB)*=B*A* 2）(A*)*=An-2 A*=An-1 ,(n2) 3）(kA)*=kn-1A* (A*)T=(AT)* 4）若r(A)=n，则r (A*)=n 若r(A)=n-1，则r (A*)=1 若r(A)5）若A可逆，则(A*)-1=(1/A)A，(A*)-1(A-1)*，A*AA-1 5、初等变换（三种） 1）对调二行（列） 2）用k（k0）乘以某行（列）中所有元素 3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素 注意

6、：用初等变换求秩，行、列变换可混用 求逆阵，只能用行或列变换 求线性方程组的解，只能用行变换 6、初等矩阵 1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵 2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换 3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵 E-1ij=Eij，E(-1)i(k)=Ei(1/k)，E(-1)ij(k)=Eij(-k) 7、矩阵方程 1）含有未知矩阵的等式 2）矩阵方程有解的充要条件 AX=B有解B的每列可由A的列向量线性表示 r(A)=r(AB) 四、题型及解题思路 1、有关矩阵的概念及性质的命题 2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置） 3、矩阵可

7、逆的判定 n阶方阵A可逆存在n阶方阵B，有AB=BA=I A0 r(A)=n A的列（行）向量组线性无关 Ax=0只有零解 任意b，使得Ax=b总有唯一解 A的特征值全不为零 4、矩阵求逆 1）定义法：找出B使AB=I或BA=I 2）伴随阵法：A-1=(1/A)A* 注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏(-1)i+j，当n3时，通常用初等变换法。 3）初等变换法：对(AI)只用行变换化为(IA-1) 4）分块矩阵法 5、解矩阵方程AX=B 1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X (AB)初

8、等行变换(IX) 3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。 第三章 线性方程组 一、重点 1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。 2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。 3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。 二、难点 线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。 三、重点难点解析 1、 n维

9、向量的概念与运算 1） 概念 2） 运算 若(a1,a2,an)T，(b1,b2,bn)T 加法：(a1+b1 ,a2+b2 ,an+bn)T 数乘：k(ka1,ka2,kan)T 内积：（）a1b1+a2b2+,+anbnTT 2、线性组合与线性表出 3、线性相关与线性无关 1）概念 2）线性相关与线性无关的充要条件 线性相关 1,2,s线性相关 齐次方程组(1,2,s)(x1,x2,xs)T0有非零解 向量组的秩r(1,2,s)s (向量的个数) 存在某i(i=1,2,s)可由其余s-1个向量线性表出 特别的：n个n维向量线性相关12n0 n+1个n维向量一定线性相关 线性无关 1,2,s

10、线性无关 齐次方程组(1,2,s)(x1,x2,xs)T0只有零解 向量组的秩r(1,2,s)s (向量的个数) 每一个向量i(i=1,2,s)都不能用其余s-1个向量线性表出重要结论 A、阶梯形向量组一定线性无关 B、若1,2,s线性无关，则它的任一个部分组i1,i2,i t必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。 C、两两正交，非零的向量组必线性无关。 4、向量组的秩与矩阵的秩 1）极大线性无关组的概念 2）向量组的秩 3）矩阵的秩 r(A)r(AT) r(A+B)r(A)r(B) r(kA)r(A)，k0 r(AB)min(r(A)，r(B) 如A可逆，则r(AB)r(B)；如B可逆，则r

11、(AB)r(A) A是mn阵，B是np阵，如AB0，则r(A)r(B)n 4）向量组的秩与矩阵的秩的关系 r(A)A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）A的列秩（矩阵A的列向量组的秩） 经初等变换矩阵、向量组的秩均不变 若向量组（）可由（）线性表出，则r()r()。特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。5、基础解系的概念及求法 1）概念 2）求法 对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有r(A)个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有n- r(A)个），对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。 6、齐次方程组有非

12、零解的判定 1）设A是mn矩阵，Ax0有非零解的充要条件是r(A)n，亦即A的列向量线性相关。 2）若A为n阶矩阵，Ax0有非零解的充要条件是A0 3）Ax0有非零解的充分条件是mn，即方程个数未知数个数 7、非齐次线性方程组有解的判定 1）设A是mn矩阵，Axb有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A增）的秩，即r(A)r(A增) 2）设A是mn矩阵，方程组Axb 有唯一解 r(A)r(A增)n 有无穷多解 r(A)r(A增)无解 r(A)+1=r(A增) 8、非齐次线性方程组解的结构 如n元线性方程组Axb有解，设,2,t是相应齐次方程组Ax0的基础解系，是Axb的一个解，则k11+

13、k22+ktt+是Axb的通解。 1）若1，2是Axb的解，则1-2是Ax0的解 2）若是Axb的解，是Ax0的解，则+k仍是Axb的解 3）若Axb有唯一解，则Ax0只有零解；反之，当Ax0只有零解时，Axb没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解） 四、题型及解题思路 1、有关n维向量概念与性质的命题 2、向量的加法与数乘运算 3、线性相关与线性无关的证明 1）定义法 设k11+k22+kss0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢！） 由BC可得ABAC，因此，可按已知条件的信息对上式乘上某个A 展开整理上式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组，最后通过分析论证k1，k2，ks的取值，

14、得出所需结论。 2）用秩（等于向量个数） 3）齐次方程组只有零解 4）反证法 4、求给定向量组的秩和极大线性无关组 多用初等变换法，将向量组化为矩阵，通过初等变换来求解。 5、求矩阵的秩 常用初等变换法。 6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组第四章 线性空间 一、重点 1、理解：线性空间、基、维数、内积、长度、夹角和距离的概念，正交向量组及标准正交基的概念，正交矩阵 2、掌握：Rn及其中向量的运算规则。 内积、长度、夹角、距离的计算。 3、运用：两个向量的正交。 二、难点 正交矩阵的性质及应用。 三、重点难点解析 1、线性空间与基的概念和性质 2、内积、距离与夹角 1）内积：a1b1+a2

15、b2+anbn 2）长度：（）的平方根（a12+a22+an2）的平方根 3）距离：d(a1-b1)2+(a2-b2)2+(an-bn)2的平方根 4）夹角：cos（）/（） arccos（）/（） 5）正交：与的夹角为90，记为 与正交0 6）正交向量组：任意两个向量都互相垂直 任一组非零正交向量组必线性无关 Rn中任一非零正交向量组的向量个数不大于n 3、向量的正交化 1）标准正交基的概念 2）施密特正交化（先正交化，再单位化） 4、正交矩阵 1）概念 2）性质 若A为正交阵=A1或-1 =A1仍为正交阵 =若BBTI，则AB(AB)TI = A1AT 3）n阶方阵A是正交阵A的n个行向量

16、构成Rn的一组标准正交基 A的n个列向量构成Rn的一组标准正交基 四、题型及解题思路 1、判定给定集合是否为线性空间 一般由线性空间的定义与性质来判断 2、求线性空间的基与维数 3、验证n维向量组为Rn的一组标准正交基 步骤：1）证向量两两正交，即内积为零 2）证各向量都是单位向量，即长度为1 4、计算两向量的内积、向量间的夹角及距离 5、把给定向量组标准正交化 步骤：1）判断向量组的线性相关性，只有线性无关的向量组才能标准正交化2）正交化（施密特正交化方法） 3）标准化vii /i 6、证明有关正交矩阵的命题 7、正交矩阵的判定 1）定义法：若AATIn =A为正交阵 若AATIn =A不是

17、正交阵 该方法多用于抽象矩阵的证明。 2）n阶方阵A是正交阵A的n个行向量（或列向量）构成Rn的一组标准正交基A的行（列）向量都是单位向量且两两正交 该方法多用于给出具体数值的矩阵。第五章 特征值与特征向量 一、重点 1、理解：特征值与特征向量的概念及其基本性质。 相似矩阵的概念与性质，矩阵相似于对角阵的条件。 约当型矩阵。 2、掌握：计算特征值与特征向量的方法。 求相似的对角阵。 二、难点 相似对角化及其应用。 三、重点难点解析 1、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质 1）概念 注意：若是A的特征值，则I-A0，因此I-A是不可逆矩阵 若不是A的特征值，则I-A0，因此I-A是可逆矩阵 特别

18、地，0是A的特征值A0A不可逆 Ax0的基础解系就是0的线性无关的特征向量 对n阶阵A，若r(A)=1，则1aii, 2=3=n=0 2）性质 若x1，x2都是特征值i所对应的特征向量，则x1，x2的线性组合k1x1+k2x2（非零）仍是属于i的特征向量。i的特征向量不是唯一的，反过来，一个特征向量只能属于一个特征值。 不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当i是A的k重特征值时，A属于i的线性无关的特征向量的个数不超过k个。 特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵A行列式的值。 2、相似矩阵的概念及性质 1）概念 2）性质 若AB=ATBT = A1B1（若A、B均可逆）

19、 = AkBk（k为正整数）=I-AI-B，从而A、B有相同的特征值 =AB，从而A、B同时可逆或不可逆 =r(A)r(B) 3、矩阵可相似对角化的充要条件 1）相似对角化的概念 2）充要条件 A与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量 A的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数 3）A与对角阵相似的充分条件是A有n个不同的特征值 4、对称矩阵的相似 1）实对称阵必可对角化 2）特征 特征值全是实数，特征向量都是实向量 不同特征值的特征向量互相正交 k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有r(I-A)n-k 四、题型及解题思路 1、特征值与特征向量的求法 1）对抽

20、象矩阵 由特征值与特征向量的定义及其性质推导出特征值的取值。 2）对数字矩阵从特征方程I-A0求出特征值i（应有n个，含重根） 解齐次方程组(I-A)x0，其基础解系就是所对应的线性无关的特征向量。2、判断A是否可对角化 1）方法一：n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 方法二：对n阶方阵A的任一特征值i（设为ki重根），有n-r(iI-A)= ki 2）化A为对角阵的步骤先求出A的特征值1,2,n 再求所对应的线性无关的特征向量x1,x2,xn1 构造可逆矩阵P（x1 x2 xn），则P1AP 2 n 3、利用特征值与相似矩阵求行列式1）A12n 其中：1,2,n为A的n个特征值

21、2）若AB，则AB4、利用相似对角化求An 若A，即存在可逆阵P，使得P1AP，则APP1，从而AnPnP1 其中：是A的相似标准型 5、有关特征值与特征向量的证明 第六章 实二次型 一、重点 1、理解：二次型的概念，二次型同对称阵的关系，矩阵合同的概念，标准型与规范标准型的概念，正定二次型与正定矩阵的概念。 2、掌握：从二次型求对称阵及从对称阵求二次型。 合同与讹传西变量变换之间的关系。 正定二次型、正定阵的判断。 3、应用：正交变换法、配方法及初等变换法化二次型为标准型，从标准型求规范标准型。 二、难点 化二次型为标准型。 三、重点难点解析 1、二次型的概念及其标准型 1）二次型 二次型的

22、矩阵是唯一的，由二次型应能立即写出其二次型矩阵，反之，给出实对称矩阵要能构造出二次型。 2）二次型的标准型 概念 正、负惯性指数，r(f)=r(A)=p+q 正交变换化二次型为标准型时，标准型中平方项系数必是矩阵A的n个特征值，而配方法没有这个属性。 3）惯性定理 二次型的正、负惯性指数是唯一不变的，它反映了二次型的本质特征。 2、合同矩阵与正定矩阵 1）合同矩阵 概念 充要条件： 实对称阵AB二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数。 AB的必要条件是r(A)= r(B) 2）正定二次型与正定矩阵 概念 充要条件 n元二次型xTAx正定xTAx的正惯性指数p=n A与I合同，即有可逆阵

23、D使ADTD A的特征值全是正数 A的顺序主子式全大于零 正定的必要条件：aii0，（i=1,2,n）；A0可帮助排除非正定的二次型。 3）注意：若A为正定矩阵，则kA（k0），AT，A1，A*也是正定矩阵。 若A为正定矩阵，则有A0，从而A可逆。 若A为正定矩阵，则A的主对角线上的元素aii0，（i=1,2,n）。 四、题型及解题思路 1、有关二次型基本概念的命题 2、化二次型为标准型 1）配方法 2）正交变换法 必须先正确写出二次型矩阵，二次型矩阵是对角线aii为xi2的系数，aij=aji为xixj系数的一半； 求出二次型矩阵的特征根及对应的特征向量； 将重特征根的特征向量正交化，再将所得特征向量单位化，以此为列构成的矩阵即为正交矩阵Q； 作变换XQY，即可将二次型化为标准型。 3）初等变换法 注意：用正交变换化标准型时，平方项系数是特征值，且是唯一的。 由配方法所得的标准型是不唯一的。 不论用那种方法，正、负惯性指数是一致的。 3、判别二次型的正定 方法：1）用定义 2）正惯性指数p=n 3）顺序主子式全大于零 4）特征值全大于零 5）对任意x0，恒有xTAx0。 4、有关正定性的证明 1）方法：特征值法 定义法 2）正定是对实对称阵而言，证明A是正定矩阵时，要验证ATA。