A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不确定
4.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+( )
A.都大于2B.都小于2
C.至少有一个不大小2D.至少有一个不小于2
5.已知函数f(x)=,a,b为正实数,A=f,B=f(),C=f,则A,B,C的大小关系为( )
A.A≤B≤CB.A≤C≤B
C.B≤C≤AD.C≤B≤A
6.不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数( )
A.成等比数列而不成等差数列
B.成等差数列而不成等比数列
C.既成等差数列又成等比数列
D.既不成等差数列又不成等比数列
7.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值( )
A.恒为负值B.恒等于零
C.恒为正值D.无法确定正负
8.将2n按如表所示的规律填在5列的数表中,设22014排在数表的第n行,第m列,则第m列中的前n个数的和Sn= .
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…
…
…
…
…
9.在数列{an}中,已知a1=,=,bn+2=3loan(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:
数列{bn}是等差数列.
10.若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a
(1)设g(x)=x2-x+是[1,b]上的“四维光军”函数,求常数b的值;
(2)是否存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?
若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
B组 提升题组
11.设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是( )
A.②③B.①②③C.③D.③④⑤
12.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形
13.已知正项等比数列{an}满足:
a7=a6+2a5,若存在两项am、an使得=4a1,则+的最小值为( )
A.B.C.D.不存在
14.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是 .
15.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,当f(c)=0,且00.
(1)证明:
是f(x)=0的一个根;
(2)试比较与c的大小;
(3)证明:
-2
答案全解全析
A组 基础题组
1.A “方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要作的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.
2.C 0⇔(a-c)·
(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.
3.C ∵cosAcosC-sinAsinC>0,
即cos(A+C)>0,∴-cosB>0,∴cosB<0,B为钝角.
故△ABC为钝角三角形.
4.D ∵a>0,b>0,c>0,
∴++=++≥6,当且仅当a=b=c=1时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.
5.A 因为a,b为正实数,所以≥≥,又f(x)=在R上是单调减函数,故f≤f()≤f.
6.B 由已知条件,可得
由②③得
代入①,得+=2b,
即x2+y2=2b2,故x2,b2,y2成等差数列(x2,b2,y2不成等比数列).
7.A 由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,则f(x1)8.答案
解析 由于2014=4×503+2,故22014位于表格的第504行第3列,所以n=504,m=3.所以Sn==.
9.解析
(1)因为a1=,=,所以数列{an}是首项为,公比为的等比数列,
所以an=(n∈N*).
(2)证明:
因为bn=3loan-2,
所以bn=3lo-2=3n-2.
所以b1=1,公差d=3,
所以数列{bn}是首项b1=1,公差d=3的等差数列.
10.解析
(1)由已知得g(x)=(x-1)2+1,其图象的对称轴为直线x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,
所以函数在区间[1,b]上单调递增.
由“四维光军”函数的定义可知,g
(1)=1,g(b)=b,
即b2-b+=b,解得b=1或b=3,
因为b>1,所以b=3.
(2)不存在.理由如下:
假设函数h(x)=在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,
因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,
所以有
即
解得a=b,这与已知矛盾.故不存在.
B组 提升题组
11.C 若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;
若a=b=1,则a+b=2,但不满足a,b中至少有一个大于1,故②推不出;
若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,但a<1,b<1,故④推不出;
若a=-2,b=-3,则ab>1,但a<1,b<1,故⑤推不出.
对于③,若a+b>2,则“a,b中至少有一个大于1”成立.
证明(反证法):
假设a≤1且b≤1,则a+b≤2,与a+b>2矛盾,
因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故选C.
12.D 由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形,
由题意不妨令cosA1=sinA2,cosB1=sinB2,cosC1=sinC2.
由
得
那么A2+B2+C2=90°,这与“三角形内角和为180°”相矛盾.
所以假设不成立,又显然△A2B2C2不是直角三角形,所以△A2B2C2是钝角三角形.
13.A 由题意可知,a5q2=a5q+2a5(q>0,a5>0),化简得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去).
由=4a1,得a1qm-1·a1qn-1=16,
∴qm+n-2=16=24,
∴m+n=6,
∴+=·=
≥=,当且仅当=,即m=2,n=4时,取“=”.
14.答案
解析 由题意可得只需f(-1)>0或f
(1)>0即可,由f
(1)>0,得2p2+3p-9<0,即-3
0,得2p2-p-1<0,即-
15.解析
(1)证明:
∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,
∴f(x)=0有两个不等实根,设为x1,x2,
∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根,
又x1x2=,∴x2=,
∴是f(x)=0的一个根.
(2)假设由00,且>0,
知f>0与f=0矛盾,
∴≥c,又∵≠c,∴>c.
(3)证明:
由f(c)=0,得ac+b+1=0,
∴b=-1-ac.
又a>0,c>0,∴b<-1.
二次函数f(x)的图象的对称轴为x=-=.
又>c,∴x2>x1,∴<=x2=,
即-<.
又a>0,∴b>-2,∴-2