图形的变换.docx

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图形的变换

图形与变换

太原五中路丘平牛小艳

《课程标准》中规定的数学学习内容有四个领域：

（P4）

1．数与代数2.空间与图形3.统计与概率4.实践与综合应用

其中“空间与图形”领域的内容标准是：

“现实世界中物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换”，这一内容在第三学段（七、八、九年级）的结构《标准》中用四条线索分别阐述：

①图形的认识②图形与变换③图形与坐标④图形与证明（P11）

幻灯2：

一、学习内容的四个领域是：

（标准第4页）

1、数与代数2、空间与图形3、统计与概率4、实践综合应用

二、空间与图形的内容标准是：

现实世界中物体，几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换。

《标准》第11页

三、空间与图形的内容结构是：

1．图形的认识2。

图形与变换3。

图形与坐标4。

图形与证明《标准》第11页

我们今天主要是交流“图形与变换”这条线索在《标准》中是如何要求的，在教材是如何呈现的，在教学中是如何落实的，在中考中是如何考查的。

在展开交流之前，请大家思考以下问题：

这也是我们今天交流的主要内容。

幻灯3：

1、《课程标准》中对“图形与变换”的具体目标是如何要求的？

（标准第40——42页）对此你是如何理解的？

2、你对北师大版教材中（共六册书）关于“图形与变换”这一内容的呈现方式，编写意图，如何理解？

3、请你回顾与思考，建立“图形与变换”的知识结构图。

4、关于“图形与变换”的知识与技能，你在教学中是如何落实的？

幻灯4：

5、请思考如下试题的解法：

①边长为5的正方形ABCD与腰长为5，底边为8的等腰△PQR如图所示：

当△PQR沿CB方向以每秒一个单位的速度平移，设平移的时间为t。

求△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积S与t的函数关系。

出示第5、6、7、8张幻灯片

②太原市07年中考第29题第三问

我主要讲述1、2、3，第4、5由自己完成。

出示幻灯片9

交流的主题

把握课程标准，理解教材意图。

构建知识网络，落实目标要求。

关注中考动向，提高教学质量。

一、“图形与变换”在《课程标准》中目标要求的综述和解读：

“图形与变换”的内容标准在《课程标准》中第40——42页作了详细的目标阐述，主要包括：

出示幻灯片10

1.图形的轴对称2.图形的平移

3.图形的旋转4.图形的相似

与旧教材相比，大部分内容是新增的，如1、2、3，所以我们今天主要讨论新增内容的有关问题：

《课程标准》中对图形的轴对称、平移、旋转的内容及具体目标可综述如下：

《课程标准》第38页

幻灯11：

具体目标：

1、认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质。

2、能按要求作出简单图形经过轴对称、平移、旋转后的图形。

3、探索基本图形（三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形，圆）的轴对称、平移、旋转的性质及其相关性质的应用。

4、探索图形的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）

关于《课程标准》中对图形与变换阐述的具体目标（《标准》第40——42页）我们要认真阅读学习和深刻理解。

现在根据我的学习思考和教学实践，谈五点看法供大家讨论。

出示幻灯片12

五点认识

1、充分认识“图形与变换”的重要作用

2、恰当把握“图形与变换”的目标要求

3、精心设计“图形与变换”的教学形式

4、全面整合“图形与变换”的教学内容

5、梳理明确“图形与变换”与其它内容的关系

五点认识的详细讲解

1、充分认识“图形与变换”的重要作用。

作为《课程标准》学习内容的四大领域之一“空间与图形”，主要研究“现实世界中物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换”。

可见“图形与变换”是何其重要，它突出了知识的现实背景，把课程内容与学生的生活经验相融合，与数学课程中各个分支进行整合，从而拓展了“空间与图形”的学习背景，丰富了“空间与图形”的教学方式，体现了“空间与图形”的教育价值。

不仅能有效地发展学生的推理能力，而且能引导学生感受数学的思想方法，体验数学的学习乐趣，积累数学活动经验，发展空间观念。

所以“图形与变换”是“空间与图形”领域最重要的学习内容，我们要特别关注和重视。

2、恰当把握“图形与变换”的目标要求

轴对称变换、平移变换、旋转变换，是保持两点间距离不变的变换，这称为合同变换或保距变换，这种变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，所以又称为全等变换。

相似变换是保持角的大小不变的变换，这称为保角变换，这种变换改变图形的大小，但不改变图形的形状。

应该指出:

《课程标准》并不要求从严格的几何变换定义出发来研究变换的性质和图形的性质，而只要求“通过实例认识变换”，借助图形的直观性去探索轴对称、平移、旋转的基本性质，以及一些基本图形的性质，并能利用图形变换进行作图和思考。

这样的学习标准对初中生已经是够高了，在教学中一定要把握好这个尺度标准，不能随意提高。

3、精心设计“图形与变换”的教学方式

在教学过程中，应当结合学生熟悉的实例，认识生活中图形的变换，要以观察、动手操作作为主要方式引导学生展开教学活动，切实把握好“图形与变换”的具体要求及其要求的“度”。

如“作出简单图形经过轴对称、平移、旋转后的图形”这样的要求：

应当由学生自己通过实践操作，如利用实物观察，或折纸、或画图等手段进行探索，从而真正形成技能、发展空间观念，才能收到预期效果。

另外对各类试题，如前面第五个问题中的两个题目都需要根据平移或旋转的概念准确地画出图形，才能完成解答。

又如教材中很多习题也是如此。

只有通过实现从操作到空间想象的飞跃，才能发展学生的空间观念。

4、全面整合“图形与变换”的教学内容

要掌握“图形与变换”这一内容在三年六册书中的分布情况及相互联系。

虽然本内容主要呈现在七下第八章和八上第三章中，但其内容的渗透和应用则在六册书中均有分布。

如在七年级上第一章《丰富的图形世界》中渗透的各种变换，长方体的形成是图形的平移，圆柱、圆锥的形成是图形的旋转，展开与折叠中包含着对称变换等；在七年级下第二章《平行线》中有平移、旋转、对称的应用；在八年级上第四章《平行四边形》、第五章《位置的确定》中更有图形与变换的引申；尤其是在八年级下的证明

（一）、九年级上的证明

（二）、（三）以及《视图与投影》和九年级下的《圆》中都充分反映了图形与变换的大量应用。

所以在教学中一定要纵观全局、挖掘教材、潜心研究，才能真正落实这一内容的教学目标。

5、梳理明确“图形与变换”这一内容与其它内容的关系

第三学段的“空间与图形”包括“图形的认识”、“图形与变换”、“图形与坐标”、“图形与证明”，它们都是围绕“空间与图形”问题展开教学的，既有内在联系，又有各自的特点和侧重。

但我们认为在这四项内容中，占主导地位的是《图形与变换》，它是一条主线，可以将其它三项内容贯穿起来，比如图形的认识可以用图形变换方法来解释，图形与坐标可以用图形的变换来理解，图形与证明更是可以用图形的变换来完成。

所以，要明确“图形与变换”和“图形的认识”、“图形与证明”的关系，熟悉它在其它三大内容中的应用。

例如，若能把“图形变换”的理念应用在“图形认识”中，则有利于学生从图形的变换角度去认识图形，用运动的观点思考问题，从而有效的掌握知识技能和发展空间观念。

下面举例加以说明。

出示幻灯片13：

例1与例2

例1：

对AB=CD的认识。

既可以从等腰三角形的角度去分析，又可以从轴对称的角度去分析，还可以从旋转的角度去分析。

例2：

对AB=CD，且AB∥CD的认识。

既然可以从数量关系、位置关系的角度认识图形。

也可以从平移的角度加以分析，从而认识图形。

还可以从中心对称、旋转的角度去认识图形。

又如，“图形与变换”和“图形与坐标”中的联系十分密切。

点的坐标的变化与图形的变换关系，把坐标思想与图形变换联系起来。

在直角坐标系中，由于点的坐标的变化，使得图形发生了对称、平移和旋转的变换的例题屡见不鲜。

而且，还有大量的既不是平移、旋转、对称，又不是相似的一些变换，如图形向某个方向“拉伸”、“压缩”等，使得“图形的变换”的内容和思想更加丰富多彩，应用广泛。

再如“图形与变换”和“图形与证明”更是密不可分。

很多证明题均可采用“变换”简捷地完成证明。

更重要的是变换的思路和方法恰恰能揭示问题的本质，从而提升思维品质。

再举几例加以说明。

出示幻灯片14、15、16：

分别为例3、例4、例5

例3：

以五边形为例探究多边形的外角和公式。

如图所示，求五边形ABCDE的外角和：

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？

解法一：

用量角器测量五个角的度数。

然后计算发现和为360°。

解法二：

设置情境：

某人沿五边形广场的小路，按逆时针方向跑步，跑完一圈时，身体转过的五个角恰好就是五边形的五个外角，所以五边形的外角和为360°。

解法三：

把∠2、∠3、∠4、∠5平移到∠1的位置，使五个角的顶点重合，如把∠3沿CB方向平移CB的距离，形成∠2+∠3，再把∠2+∠3沿BA方向平移AB的距离，形成∠1+∠2+∠3，同样平移∠4形成∠4+∠5，再平移∠4+∠5，最终形成∠1+∠2+∠3+∠4+∠5，恰好是以A为端点的周角，所以其和为360度。

以上三种方法中，方法一是测量的方法，是研究几何问题的基本方法，可以推测出一些重要的结论，但不可靠。

方法二是模拟实验的方法，也仅仅是猜想，很难说是数学证明。

而方法三恰恰是数学证明，是应用平移变换、揭示了外角和的本质。

当然也可以用分割成三角形的方法完成证明，这是大家熟悉的方法，就不细说啦。

以下两例是说明旋转变换和对称变换也可简捷地完成几何证明。

例4：

如图，已知△ABC中，BD=CD,求证：

AB+AC＞2AD

证明：

因为BD=CD,所以把△ABC绕点D按顺时针方向旋转180度，使得点A落在点E处，则AC=BE,DE=AD，在△ABE中，∵AB+BE>AE,∴AB+AC>2AD

例5：

如图，AD平分∠BAC,若Ac=AB+BD,求证：

∠B=2∠C

证明∵∠1=∠2，∴可将△ABD沿AD折叠，使B落在AC上E处,

则AB=AE,BD=DE∵AC=AB+BD=AE+EC,∴DE=EC,∴∠EDC=∠C,

∵∠AED=∠C+∠EDC,∠B=∠AED,∴∠B=2∠C。

二、对北师大版第三学段数学教材中关于“图形与变换”的呈现方式和编写意图的理解。

北师大版数学教材的内容呈现方式精彩纷呈，编写意图独具匠心。

需要我们用心学习深刻理解，才能领会其精神实质。

下面仅从四个方面加以解读。

。

出示幻灯片17：

呈现方式和编写意图：

1体现数学知识的形成与应用过程。

2突出数学知识之间的联系与综合应用。

3展示数学知识技能与思想方法的螺旋上升。

4提供探索与交流的时间和空间。

详细讲解：

1体现数学知识的形成与应用过程。

教材中关于“图形与变换”的呈现方式力求体现“问题情境——建立数学模型——解决问题——应用拓展”的模式，即从具体问题情境中抽象出数学问题，用三种数学语言表达问题，建立数学模型。

并解决问题。

这样的呈现方式有利于学生理解并掌握相关知识与方法，感受数学创造的乐趣，获得对数学全面的体验和理解，形成用数学的强烈意识。

例如：

七年级下第七章第三节《探索轴对称的性质》时，课文首先呈现给学生一张熟悉的手工作品，然后设计了问题情境：

由4个问题组成的问题串，让学生观察思考和述说理由；紧接着又呈现了一个学生熟悉的飞机模型，让学生动手操作连接对应点的线段后，思考回答四个问题，最后探索归纳出轴对称性质；在后续的学习中设计了第四节，利用性质设计图形；第五节解决“镜子改变了什么”的实际问题。

象这样的呈现方式在教材中比比皆是，屡见不鲜，这正是体现了以上理念：

重视知识的形成与应用过程。

所以我们在教学中必须要重视知识的形成与应用过程，特别是知识的形成过程不能忽略。

②突出数学知识之间的联系与综合应用

数学是一个整体，其不同的知识之间存在着实质性的联系，关于这个理念应该让学生有所认识。

因此，教材在“图形与变换”知识内容呈现方式上，突出了与其它数学知识的联系，展示了数学的整体性。

例如：

“图形与变换”在“图形的认识”、“图形与坐标、“图形与证明”中的渗透和应用无处不在，比如在《丰富的图形世界》、《视图与投影》等许多章节中都有不同程度的联系和应用，突出地体现了“图形与变换”与其它数学知识联系和综合应用。

具体例题这里不用细说，大家也能感同身受。

所以我们在教学中必须要重视突出数学知识之间的联系与综合应用。

尤其是在复习时更要重视这一点。

③展示数学知识技能思想方法的螺旋上升

《课程标准》中提出的目标是学生在学段未最终应达到的目标，而学生对相应知识的学习和理解是逐步深入的，不可能“一步到位”。

所以对重要的数学概念与思想方法的学习应当逐级递进、螺旋上升，以符合学生的数学认知规律。

对于“图形的变换”这一数学概念和变换思想教材的呈现方式就是根据学生的年龄特征和认知规律，由浅入深不断深化的，而不是集中一次学完。

例如，在小学一至三年级第一学段、四至六年级第二学段都有“图形与变换”的学习内容，在七至九年级第三学段“图形与变换”的学习内容更是分散在七上第一章、第四章、七下第二章、第七章、八上第三章、第四章、第五章，八下第四章、第六章、九上第一章、第三章、九下第一章、第三章。

这种逐级递进、螺旋上升的呈现方式，有利于学生对图形与变换的知识技能以及变换思想的掌握和理解。

当然要注意把握不同阶段的不同要求，绝不能一概而论。

④提供探索与交流的时间和和空间

改进学生的数学学习方式是《课程标准》提出的一个根本性的改革目标。

大家都知道“学什么”与“如何学”是最重要的两个方面，有效的学习不能单纯依赖于模仿和记忆，而动手实践自主探索与合作交流是数学学习的重要方式，所以教材彻底改变了传统的呈现形式，用问题情境的模式，以问题串的形式引导学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等活动，从而获取知识。

也就是说教材把学习过程主要表现为一个探索与交流的过程，在探索中形成自己对数学理解，在交流中逐渐完善自己的想法和认识。

所以教学中一定不能一味讲解而忽视学生的参与，而应以学生为主体展开教学。

⑤对以上呈现方式和编写意图的再理解

有人认为北师大教材很不系统，非常离散，甚至有重复现象。

事实确实如此，但这既是《课程标准》的全新理念，也是教材编者的刻意策化。

按照《课程标准》的理念和要求编写的教材，就应该兼有学科课程和经验课程的双重特色，既有不同领域各自的内在结构，也有这些知识领域相互交织在一起的“模糊”局面。

如为啥要设计一节“小车下滑的时间”？

其作用和意义何在？

就有很多人不理解，其实就是以上意图的体现。

这样的课程虽然不像传统教材那么“规矩”和“系统”，但却有助于唤起学生的探索欲望和创新意识，也不会影响学生计算和推理的基本技能的形成。

认清这一点，对于使用教材的热情和态度会有好处的。

三、图形与变换的知识结构图

出示幻灯片18（要讲解）

以上结构图也可以用列表的形式表示，若有兴趣，请自行设计

四、对于第四个问题，“在教学中如何落实目标”，请大家在后续的互动讨论中完成。

五、对于两个试题，第一个试题请大家自己完成，提示：

①分五类讨论；

②作五个平移图；

③写五个函数关系；

现给出第二个试题的答案，供大家参考，思路仍然是

①分类

②作图

③计算

以上交流，只是个人理解，仅供参考，若有不同看法和意见，请展开讨论。

2009．7．1