基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题含答案.docx

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基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题含答案

基本不等式及其应用

1．基本不等式

若a>0,，b>0，则

≥

，当且仅当时取“＝”．

这一定理叙述为：

两个正数的算术平均数它们的几何平均数．

注：

运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：

（1）各项或各因式均正；（一正）

（2）和或积为定值；（二定）

（3）等号成立的条件存在：

含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）

2．常用不等式

（1）a2＋b2≥

（a，b∈R）．

（2）

注：

不等式a2＋b2≥2ab和

≥

它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：

ab≤（

）2.

（3）ab≤

（a，b∈R）．

（4）

＋

≥2（a，b同号且不为0）．

（5）

（a，b∈R）.

（6）

（7）abc≤

;

（8）

≥

；

3．利用基本不等式求最大、最小值问题

（1）求最小值：

a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.

（2）求最大值：

a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值（a＞0，b＞0），即.

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是（　　）

A.6B.4

C.2

D.2

解：

因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥2

＝2

＝4

，当且仅当a＝b＝

时取等号，故选B.

若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为（　　）

A.

B.1C.2D.4

解：

∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2

，即ab≤

.当且仅当a＝1，b＝

时等号成立.故选A.

小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（　　）

A.a＜v＜

B.v＝

C.

＜v＜

D.v＝

解：

设甲、乙两地之间的距离为s.

∵a＜b，∴v＝

＝

＜

＝

.

又v－a＝

－a＝

＞

＝0，∴v＞a.故选A.

（

）若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________.

解：

由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋

≥2

，当且仅当x＝±

时等号成立.故填2

.

点（m，n）在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.

解：

由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，

所以mn≤

＝

，

当且仅当m＝n＝

时取等号，

∴log2m＋log2n＝log2mn≤log2

＝－2，故填－2.

类型一　利用基本不等式求最值

（1）求函数y＝

（x＞－1）的值域.

解：

∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝

＝m＋

＋5≥2

＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9.

又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞）.

（2）下列不等式一定成立的是（　　）

A.lg

>lgx（x>0）B.sinx＋

≥2（x≠kπ，k∈Z）

C.x2＋1≥2

（x∈R）D.

>1（x∈R）

解：

A中，x2＋

≥x（x＞0），当x＝

时，x2＋

＝x.

B中，sinx＋

≥2（sinx∈（0，1]）；

sinx＋

≤－2（sinx∈[－1，0））.

C中，x2－2|x|＋1＝（|x|－1）2≥0（x∈R）.

D中，

∈（0，1]（x∈R）.故C一定成立，故选C.

点拨：

这里

（1）是形如f（x）＝

的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f（x）转化为f（x）＝a（x＋d）＋

＋h（这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值），再利用基本不等式求其最值.

（2）牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.

（1）已知t＞0，则函数f（t）＝

的最小值为.

解：

∵t＞0，∴f（t）＝

＝t＋

－4≥－2，

当且仅当t＝1时，f（t）min＝－2，故填－2.

（2）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：

（Ⅰ）xy的最小值；

（Ⅱ）x＋y的最小值.

解：

（Ⅰ）由2x＋8y－xy＝0，得

＋

＝1，又x＞0，y＞0，

则1＝

＋

≥2

＝

，得xy≥64，

当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.

（Ⅱ）解法一：

由2x＋8y－xy＝0，得x＝

，∵x＞0，∴y＞2，

则x＋y＝y＋

＝（y－2）＋

＋10≥18，

当且仅当y－2＝

，即y＝6，x＝12时等号成立.

解法二：

由2x＋8y－xy＝0，得

＋

＝1，

则x＋y＝

·（x＋y）＝10＋

＋

≥10＋2

＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.

类型二　利用基本不等式求有关参数范围

　若关于x的不等式（1＋k2）x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有（　　）

A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉M

C.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M

解法一：

求出不等式的解集：

（1＋k2）x≤k4＋4⇒x≤

＝（k2＋1）＋

－2⇒x≤

＝2

－2（当且仅当k2＝

－1时取等号）.

解法二（代入法）：

将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.

故选A.

点拨：

一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：

（1）a＞f（x）恒成立⇔a＞f（x）max；

（2）a＜f（x）恒成立⇔a＜f（x）min；

（3）a＞f（x）有解⇔a＞f（x）min；（4）a＜f（x）有解⇔a＜f（x）max.

　已知函数f（x）＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式

mf（x）≤e－x＋m－1在（0，＋∞）上恒成立，求实数m的取值范围.

解：

由条件知m（ex＋e－x－1）≤e－x－1在（0，＋∞）上恒成立.

令t＝ex（x＞0），则t＞1，且m≤－

＝－

对任意t＞1成立.

∵t－1＋

＋1≥2

＋1＝3，

∴－

≥－

，

当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立.

故实数m的取值范围是

.

类型三　利用基本不等式解决实际问题

　围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：

元），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：

元）.

（1）将y表示为x的函数；

（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

解：

（1）如图，设矩形的另一边长为am，

则y＝45x＋180（x－2）＋180·2a＝225x＋360a－360.

由已知xa＝360，得a＝

，

所以y＝225x＋

－360（x≥2）.

（2）∵x≥0，∴225x＋

≥2

＝10800，

∴y＝225x＋

－360≥10440，

当且仅当225x＝

，即x＝24时等号成立.

答：

当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

　如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小（A，B孔面积忽略不计）.

解法一：

设y为排出的水中杂质的质量分数，

根据题意可知：

y＝

，其中k是比例系数且k＞0.

依题意要使y最小，只需ab最大.

由题设得：

4b＋2ab＋2a≤60（a＞0，b＞0），

即a＋2b≤30－ab（a＞0，b＞0）.

∵a＋2b≥2

，

∴2

·

＋ab≤30，得0＜

≤3

.

当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.

故当a＝6m，b＝3m时经沉淀后排出的水中杂质最少.

解法二：

同解法一得b≤

，代入y＝

求解.

1.若a＞1，则a＋

的最小值是（　　）

A.2B.aC.3D.

解：

∵a＞1，∴a＋

＝a－1＋

＋1≥2

＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.

2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是（　　）

A.ab＜1＜

B.ab＜1≤

C.1＜ab＜

D.ab≤

≤1

解：

运用不等式ab≤

2⇒ab≤1以及（a＋b）2≤2（a2＋b2）⇒2≤a2＋b2（由于a≠b，所以不能取等号）得，ab＜1＜

，故选A.

3.函数f（x）＝

在（－∞，2）上的最小值是（　　）

A.0B.1C.2D.3

解：

当x＜2时，2－x＞0，因此f（x）＝

＝

＋（2－x）≥2·

＝2，当且仅当

＝2－x时上式取等号.而此方程有解x＝1∈（－∞，2），因此f（x）在（－∞，2）上的最小值为2，故选C.

4.（

）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　）

A.80元B.120元

C.160元D.240元

解：

假设底面的长、宽分别为xm，

m，由条件知该容器的最低总造价为y＝80＋20x＋

≥160，当且仅当底面边长x＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.

5.下列不等式中正确的是（　　）

A.若a，b∈R，则

＋

≥2

＝2

B.若x，y都是正数，则lgx＋lgy≥2

C.若x<0，则x＋

≥－2

＝－4

D.若x≤0，则2x＋2－x≥2

＝2

解：

对于A，a与b可能异号，A错；对于B，lgx与lgy可能是负数，B错；对于C，应是x＋

＝－

≤－2

＝－4，C错；对于D，若x≤0，则2x＋2－x≥2

＝2成立（x＝0时取等号）.故选D.

6.（

）若log4（3a＋4b）＝log2

，则a＋b的最小值是（　　）

A.6＋2

B.7＋2

C.6＋4

D.7＋4

解：

因为log4（3a＋4b）＝log2

，所以log4（3a＋4b）＝log4（ab），即3a＋4b＝ab，且

即a＞0，b＞0，所以

＋

＝1（a＞0，b＞0），a＋b＝（a＋b）

＝7＋

＋

≥7＋2

＝7＋4

，当且仅当

＝

时取等号.故选D.

7.若对任意x＞0，

≤a恒成立，则a的取值范围是.

解：

因为x＞0，所以x＋

≥2（当且仅当x＝1时取等号），

所以有

＝

≤

＝

，

即

的最大值为

，故填a≥

.

8.（

）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|·|PB|的最大值是________.

解：

易知定点A（0，0），B（1，3）.

且无论m取何值，两直线垂直.

所以无论P与A，B重合与否，均有

|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10（P在以AB为直径的圆上）.

所以|PA|·|PB|≤

（|PA|2＋|PB|2）＝5.

当且仅当|PA|＝|PB|＝

时，等号成立.故填5.

9.

（1）已知0