高中数学经典高考难题集锦解析版.docx

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高中数学经典高考难题集锦解析版

2015年10月18日杰的高中数学组卷

一．解答题（共10小题）

1．（2012•宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．

（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；

（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．

2．（2010•模拟）已知直线l：

y=k（x+2）与圆O：

x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．

（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；

（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

3．（2013•越秀区校级模拟）已知圆满足：

①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：

1；③圆心到直线l：

x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．

4．（2013•柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）是否存在直线l：

y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？

若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．

5．（2009•）

（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．

（2）已知直线l：

3x+4y﹣12=0与圆C：

（θ为参数）试判断他们的公共点个数；

（3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．

6．（2009•东城区一模）如图，已知定圆C：

x2+（y﹣3）2=4，定直线m：

x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．

（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：

l过圆心C；

（Ⅱ）当时，求直线l的方程；

（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

7．（2009•天河区校级模拟）已知圆C：

（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．

（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；

（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；

（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？

如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由．

8．（2007•）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．

（Ⅰ）求k的取值围；

（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？

如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

9．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．

10．过原点O作圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点，求P1P2的中点P的轨迹．

2015年10月18日杰的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．（2012•宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．

（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；

（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．

考点：

直线和圆的方程的应用．菁优网所有

专题：

计算题；压轴题．

分析：

（1）由题意，由于以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B，所以先得到点E为原点，利用方程的思想设出圆心C的坐标，进而利用面积公式求解；

（2）由于|EM|=|EN|此可以转化为点E应在线段MN的垂直平分线上，利用圆的性质可得EC与MN垂直建立t的方程求解即可．

解答：

解：

（1）证明：

点（t＞0），

因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．

所以点E是直角坐标系原点，即E（0，0）．

于是圆C的方程是．则．

由|CE|=|CA|=|CB|知，圆心C在Rt△AEB斜边AB上，

于是多边形EACB为Rt△AEB，

其面积．

所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4．

（2）若|EM|=|EN|，则E在MN的垂直平分线上，即EC是MN的垂直平分线，，kMN=﹣2．

所以由kEC•kMN=﹣1，得t=2，

所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

点评：

（1）重点考查了利用方程的思想用以变量t写出圆的方程，判断出圆心O在AB上，故四边形为直角三角形，还考查了三角形的面积公式；

（2）重点考查了垂直平分线的等价式子，还考查了方程的求解思想，及两直线垂直的实质解直线的斜率互为负倒数．

2．（2010•模拟）已知直线l：

y=k（x+2）与圆O：

x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．

（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；

（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

考点：

直线与圆的位置关系；二次函数的性质．菁优网所有

专题：

计算题；压轴题．

分析：

（Ⅰ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简．

（Ⅱ）换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量围的改变．

解答：

解：

（Ⅰ）直线l方程，

原点O到l的距离为（3分）

弦长（5分）

•ABO面积•

∵|AB|＞0，∴﹣1＜K＜1（K≠0），•

∴（﹣1＜k＜1且K≠0）（8分），

（Ⅱ）令，

∴

．

∴当t=时，时，Smax=2（12分）

点评：

本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量围的改变．

3．（2013•越秀区校级模拟）已知圆满足：

①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：

1；③圆心到直线l：

x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．

考点：

直线与圆的位置关系．菁优网所有

专题：

综合题；压轴题．

分析：

设出圆P的圆心坐标，由圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：

1，得到圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，根据垂径定理得到圆截x轴的弦长，找出r与b的关系式，又根据圆与y轴的弦长为2，利用垂径定理得到r与a的关系式，两个关系式联立得到a与b的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P到直线x﹣2y=0的距离，让其等于，得到a与b的关系式，将两个a与b的关系式联立即可求出a与b的值，得到圆心P的坐标，然后利用a与b的值求出圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的方程即可．

解答：

解：

设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，

则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，

知圆P截x轴所得的弦长为．故r2=2b2

又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1；

又因为P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以=，即有a﹣2b=±1，

由此有或

解方程组得或，于是r2=2b2=2，

所求圆的方程是：

（x+1）2+（y+1）2=2，或（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．

点评：

本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力，是一道中档题．

4．（2013•柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）是否存在直线l：

y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？

若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．

考点：

直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．菁优网所有

专题：

压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（Ⅰ）设抛物线方程为x2=2py，把点（2，1）代入运算求得p的值，即可求得抛物线的标准方程．

（Ⅱ）由直线与圆相切可得．把直线方程代入抛物线方程并整理，由△＞0求得t的围．利用根与系数的关系及，求得，求得点O到直线的距离，从而求得，由此函数在（0，4）单调递增，故有，从而得出结论．

解答：

解：

（Ⅰ）设抛物线方程为x2=2py，

由已知得：

22=2p，所以p=2，

所以抛物线的标准方程为x2=4y．

（Ⅱ）不存在．

因为直线与圆相切，所以．

把直线方程代入抛物线方程并整理得：

x2﹣4kx﹣4t=0．

由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0，得t＞0或t＜﹣3．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k且x1•x2=﹣4t，

∴

．

∵∠MON为钝角，∴，解得0＜t＜4，∵

，

点O到直线的距离为，∴，易证在（0，4）单调递增，

∴，故不存在直线，当∠MON为钝角时，S△MON=48成立．

点评：

本题主要考查直线和圆的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，点到直线的距离公式，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．

5．（2009•）

（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．

（2）已知直线l：

3x+4y﹣12=0与圆C：

（θ为参数）试判断他们的公共点个数；

（3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．

考点：

直线与圆的位置关系；二阶矩阵；绝对值不等式的解法．菁优网所有

专题：

计算题；压轴题；转化思想．

分析：

（1）由矩阵的线性变换列出关于x和y的一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到点A的坐标；可设出矩阵M的逆矩阵，根据逆矩阵的定义得到逆矩阵与矩阵M的乘积等于单位矩阵，得到一个一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到M的逆矩阵；

（2）把圆的参数方程化为普通方程后，找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d与半径r比较大小得到直线与圆的位置关系，即可得到交点的个数；

（3）分三种情况x大于等于，x大于等于0小于和x小于0，分别化简绝对值后，求出解集，即可得到原不等式的解集．三个题中任选两个作答即可．

解答：

解：

（1）由题意可知（x，y）=（13，5），即，

解得，所以A（2，﹣3）；

设矩阵M的逆矩阵为，则•=，即，

且，解得a=﹣1，b=3，c=﹣1，d=2

所以矩阵M的逆矩阵为；

（2）把圆的参数方程化为普通方程得（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心（﹣1，2），半径r=2

则圆心到已知直线的距离d==＜2=r，得到直线与圆的位置关系是相交，

所以直线与圆的公共点有两个；

（3）当x≥时，原不等式变为：

2x﹣1＜x+1，解得x＜2，所以原不等式的解集为[，2）；

当0≤x＜时，原不等式变为：

1﹣2x＜x+1，解得x＞0，所以原不等式的解集为（0，）；

当x＜0时，原不等式变为：

1﹣2x＜﹣x+1，解得x＞0，所以原不等式无解．

综上，原不等式的解集为[0，2）．

点评：

此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆的位置关系的判断方法，会利用讨论的方法求绝对值不等式的解集，是一道综合题．

6．（2009•东城区一模）如图，已知定圆C：

x2+（y﹣3）2=4，定直线m：

x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．