初中数学竟赛辅导资料正整数简单性质的复习.docx

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初中数学竟赛辅导资料正整数简单性质的复习

初中数学竞赛辅导资料（70）

正整数简单性质的复习

甲.连续正整数

一.n位数的个数：

一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么n位数的个数共__________.（n是正整数）

练习：

1.一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.

2.　由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；

　　　　　　　　　　　　100110021003……19881989是_______位数.

3.除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n位数有_______个.

4.从1到100的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个；

从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.

二.连续正整数的和：

1+2+3+……+n=（1+n）×

.

把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.

练习：

5.计算2+4+6+……+100=__________.

6.1+3+5+……+99=____________.

7.5+10+15+……+100=_________.

8.1+4+7+……+100=____________.

9.1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？

答______

10.和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.

11.和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.

三.由连续正整数连写的整数，各位上的数字和

整数123456789各位上的数字和是：

（0+9）+（1+8）+…+（4+5）=9×5=45；

1234…99100各位数字和是（0+99）+（1+98）+…+（49+50）+1=18×50+1=901.

练习：

12.整数1234……9991000各位上的数字和是_____________.

13.把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：

这个数用9除的余数是__________.

（1987年全国初中数学联赛题）

14.由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：

1它是一个________位数；

2它的各位上的数字和等于________；

3从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么剩下的数的前十位是___________________________.

四.连续正整数的积：

①1×2×3×…×n记作n!

读作n的阶乘.

②n个连续正整数的积能被n!

整除.

如：

2!

|a（a+1）,3!

|a（a+1）（a+2）,n!

|a（a+1）（a+2）…（a+n－1）.a为整数.

③n!

中含有质因数m的个数是

+

+…+

.

[x]表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3…mi≤n

如：

1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：

=3+1=4

练习：

15.在100!

的积中，含质因数5的个数是：

____

16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个　　　　　　（1988年全国初中数学联赛题）

17.求证：

10494|1989!

18.求证：

4!

|a（a2－1）（a+2）a为整数

五.两个连续正整数必互质

练习：

19.如果n+1个正整数都小于2n,那么必有两个是互质数，试证之.

乙.正整数十进制的表示法

一.n+1位的正整数记作：

an×10n+an－1×10n－1+……+a1×10+a0

其中n是正整数，且0≤ai≤9（i=1,2,3,…n）的整数,最高位an≠0.

例如：

54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.

例题：

从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233.试证：

A能被99整除.

证明：

A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33

=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.

∵100的任何次幂除以9的余数都是1，即100n=（99+1）n≡1（mod9）

∴A=99k+12+13+14+……+31+32+33（k为正整数）

=99k+（12+33）+（13+32）+…+（22+23）

=99k+45×11

=99k+99×5.

∴A能被99整除.

练习：

20.把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除

二.常见的一些特例

=10n－1,

=

（10n－1）,

（10n－1）.

例题：

试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.

证明：

第n个数是

=

×10n+

=

（10n+2）

=

=

=

×

.证毕.

练习：

21.化简

×

+1

=_______________________________.

22.化简

=____________________________________________.

23.求证

是合数.

24.已知：

存在正整数n,能使数

被1987整除.

求证：

数p=

和

数q=

都能被1987整除.

　　　（1987年全国初中数学联赛题）

25.证明：

把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7（或13）整除，则这个正整数就能被7（或13）整除.

26.求证：

×1

5+1是完全平方数.

丙.末位数的性质

.一.用N（a）表示自然数的个位数.例如a=124时，N（a）=4；　a=－3时，N（a）=3.

1.N（a4k+r）=N（ar）a和k都是整数，r=1,2,3,4.

特别的：

个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9的正偶数次幂的个位数也是它本身.

2.N（a）=N（b）

N（a－b）=0

10|（a－b）.

3.若N（a）=a0,N（b）=b0.则N（an）=N（a0n）；N（ab）=N（a0b0）.

例题1：

求①53100；和②7

的个位数.

解：

①N（53100）=N（34×24+4）=N（34）=1

②先把幂的指数77化为4k+r形式，设法出现4的因数.

77=77－7+7=7（76－1）+4+3

=7（72－1）（74+72+1）+4+3

=7×4×12×（74+72+1）+4+3

=4k+3

∴N（7

）=N（74k+3）=N（73）=3.

练习：

27.19891989的个位数是______，9

的个位数是_______.

28.求证：

10|（19871989－19931991）.

29.2210×3315×7720×5525的个位数是______.

二.自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；

连续整数平方的个位数的和，有如下规律：

12，22，32，……，102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.

1.用这一性质计算连续整数平方的个位数的和

例题1.填空：

12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.

（1991年全国初中数学联赛题）

解：

∵12，22，32，……，102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.

11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45.所以所求的个位数字是：

（1+4+9+6+5+5+9+4+0）×（12345678+1）的个位数5.

2.为判断不是完全平方数提供了一种方法

例题2.求证：

任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.

证明：

（用反证法）设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：

（n－2）2+（n－1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2=k2（n,k都是整数）

5（n2+2）=k2.

∵k2是5的倍数，k也是5的倍数.

设k=5m,则5（n2+2）=25m2.

n2+2=5m2.

n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么n2的倍数是8或3.

但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3.

∴假设不能成立

∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.

3.判断不是完全平方数的其他方法

例题3.已知：

a是正整数.

求证：

a（a+1）+1不是完全平方数

证明：

∵a（a+1）+1=a2+a+1，且a是正整数

∴a2

∵a和a+1是相邻的两个正整数，a（a+1）+1介于它们的平方之间

∴a（a+1）+1不是完全平方数

例题4.求证：

（n>1的正整数）不是完全平方数

证明：

根据奇数的平方数除以4必余1，即（2k+1）2=4（k+1）+1.

但

=

=4k+11=4k+4×2+3=4（k+2）+3

即

除以4余数为3，而不是1，

∴它不是完全平方数.

例题5.求证：

任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.

证明：

设2a+1,2b+1（a,b是整数）是任意的两个奇数.

∵（2a+1）2+（2b+1）2=4a2+4a+1+4b2+4b+1

=4（a2+b2+a+b）+2.

这表明其和是偶数，但不是4的倍数，

故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.

三.魔术数：

将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N称为魔术数.常见的魔术数有：

a）能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5　（即10的一位正约数是魔术数）

b）能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50（即100的两位正约数也是魔术数））

c）能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500（即1000的三位正约数也是魔术数）

练习：

30.在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.

（1986年全国初中数学联赛题）

四.两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9.

练习：

31.已知：

n是自然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n的值是：

___________________.（1985年上海初中数学竞赛题）

丁.质数、合数

1.正整数的一种分类：

2.质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.

3.互质数：

是指公约数只有1的两个正整数.相邻的两个正整数都是互质数.

例题：

试写出10个连续自然数，个个都是合数.

解：

答案不是唯一的，其中的一种解法是：

令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11

那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.

一般地，要写出n个连续自然数，个个是合数，可用

令m=n+1,那么m!

+2,m!

+3,m!

+4,+……+m!

+n+1就是所求的合数.

∵m!

+i（2≤i≤n+1）有公约数i.

练习：

32.已知质数a，与奇数b的和等于11，那么a=___,b=___.

33.两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.

34.写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=（10+1）×2，m!

=22!

那么所求的合数是22!

+3，_____,____,____,……

35.写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令N=2×3×5×7×11.

（这里11=10+1，即N是不大于11的质数的积）.那么N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？

如果要写15个呢？

36.已知：

x,　m,　n都是正整数.求证：

24m+2+x4n是合数.

戊.奇数和偶数

1.整数的一种分类：

2.运算性质：

奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数.

奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.

（奇数）正整数=奇数，（偶数）正整数=偶数.

4.其他性质：

①两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数.

②奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数

不是平方数.

a）2n（n为正整数）不含大于1的奇因数.

b）若两个整数的和（差）是奇数，则它们必一奇一偶.

c）若n个整数的积是奇数，则它们都是奇数.

例1.设m与n都是正整数，试证明m3－n3为偶数的充分必要条件是m－n为偶数.

证明：

∵m3－n3＝（m－n）（m2+mn+n2）.

当m－n为偶数时，不论m2+mn+n2是奇数或偶数，m3－n3都是偶数；

∴m－n为偶数是m3－n3为偶数的充分条件.

当m－n为奇数时，m,n必一奇一偶，m2，mn，n2三个数中只有一个奇数，

∴m2+mn+n2是奇数，从而m3－n3也是奇数.

∴m－n为偶数，是m3－n3为偶数的必要条件.

综上所述m3－n3为偶数的充分必要条件是m－n为偶数.

例2.求方程x2－y2=1990的整数解.

解：

（x+y）（x－y）=2×5×199.

若x,y同是奇数或同是偶数，则x+y，x－y都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴方程左、右两边不能相等.

若x,y为一奇一偶，则x－y，x+y都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴方程两边也不能相等.

综上所述，不论x,y取什么整数值，方程两边都不能相等.

所以原方程没有整数解

本题是根据整数的一种分类：

奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性.

练习：

37.设n为整数，试判定n2－n+1是奇数或偶数.

38.1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？

39.有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由.

40.求证：

方程x2+1989x+9891=0没有整数根.

41.已知：

求证：

n是4的倍数.

42.若n是大于1的整数，p=n+（n2－1）

试判定p是奇数或偶数，或奇偶数都有可能.　（1985年全国初中数学联赛题）

已.按余数分类

1.整数被正整数m除，按它的余数可分为m类，称按模m分类.

如：

模m=2，可把整数分为2类:

{2k},{2k+1}k为整数，下同

模m=3，可把整数分为3类:

{3k},{3k+1}，{3k+2}.

……

模m=9，可把整数分为9类:

{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.

2.整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.

如：

6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6.那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.

3.按模m分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质.

如：

若a=5k1+1,　　b=5k2+2.

则a+b除以5余数是3（1+2）；

ab除以5余2　　（1×2）；　

b2除以5余4　　（22）.

例1.求19891989除以7的余数.

解：

∵19891989=（7×284+1）1989，

∴19891989≡11989≡1（mod7）.

即19891989除以7的余数是1.

练习：

43.今天是星期一，99天之后是星期________.

44.n个整数都除以n－1,至少有两个是同余数，这是为什么？

45.a是整数，最简分数

化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几位？

4.运用余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进行检验

例2.下列演算是否正确？

①12625+9568=21193；　②2473×429=1060927.

解：

①用各位数字和除以9，得到余数：

12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7.

∵7+1≠7，∴演算必有错.

　②2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.

而7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.

注意：

发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.

练习：

46.检验下列计算有无差错：

①372854－83275=289679；　　②23366292÷6236=3748.

5.整数按模分类，在证明题中的应用

例3.求证：

任意两个整数a和b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.

证明：

把整数a和b按模3分类，再详尽地讨论.

如果a,b除以3，有同余数（包括同余0、1、2），那么a,b的差是3的倍数；

如果a,b除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么a,b的积是3的倍数；

如果a,b除以3，余数分别是1和2，那么a,b的和是3的倍数.

综上所述任意两个整数a，b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.

（分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏）

例4.已知：

p≥5，且p和2p+1都是质数.

求证：

4p+1是合数.

证明：

把整数按模3分类.即把整数分为3k,3k+1,3k+2（k为整数）三类讨论

∵p是质数，∴不能是3的倍数，即p≠3k；

当p=3k+1时,2p+1=2（3k+1）+1=3（2k+1）.　∴2p+1不是质数，即p≠3k+1；

只有当质数p=3k+2时，2p+1=2（3k+2）+1=6k+5.

∴2p+1也是质数，符合题设.

这时，4p+1=4（3k+2）+1=3（4k+3）是合数.证毕

练习：

47.已知：

整数a不能被2和3整除.求证：

a2+23能被24整除.

48.求证：

任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6.

49.若正整数a不是5的倍数.则a8+3a4－4能被100整除.

50.已知：

自然数n>2求证：

2n－1和2n+1中，如果有一个是质数，则另一个必是合数.

51.设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证a3b－ab3,b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个能被10整除.（1986年全国初中数学联赛题）

庚.整数解

1.二元一次方程ax+by=c的整数解：

当a,b互质时，若有一个整数的特解

那么可写出它的通解

2.运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质

整数±整数=整数，整数×整数=整数，

整数÷（这整数的约数）=整数，（整数）自然数=整数

3.一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.

4.根据已知条件讨论整数解.

例1.小军和小红的生日.都在10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小军比小红早出生，求小军的生日.

解：

设小军和小红的生日分别为x,y，根据题意，得

（k=1,2,3,4）2x=34－7kx=17－

k=1,3时，x没有整数解；

当k=2时，

当k=4时，

（10月份没有31日，舍去）

∴小军的生日在10月10日

例2.如果一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数.（1988年泉州市初二数学双基赛题）

解：

设三位数为100a+10b+c,a,b,c都是整数，0

那么

，且－8

要使a－b+c被11整除，其值只能是0和11.

（1）当a－b+c=0时，得9a+b=a2+b2+c2.

以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得

2a2+2（c－5）a+2c2－c=0

根据韦达定理

这是必要而非充分条件.

∵5－c>0,　以c=0,1,2,3,4　逐一讨论a的解.

当　c=2,　4时，无实数根；　　当c=1,　3时，无整数解；

只有当c=0时，a=5；或　a=0.（a=0不合题意，舍去）

∴只有c=0,　a=5,　b=5适合　

∴所求的三位数是550；

（2）当a－b+c=11时，得9a+b+1=a2+b2+c2.

以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得

2a2+2（c－16）a+2c2－23c+131=0.

仿

（1）通过韦达定理，由c的值逐一以讨论a的解.

只有当c=3时,a=8,b=0适合所有条件.　

即所求三位数为803.

综上所述，符合条件的三位数有550和803.

练习：

52.正整数x1,x2,x3,……xn满足等式x1＋x2＋x3＋x4+x5=x1x2x3x4x4x5

那么　x5的最大值是________.　（1988年全国初中数学联赛题）

53.如果p,q,

都是整数，.且p>1,q>1,试求p+q的值.

（1988年全国初中数学联赛题）

54.能否找到这样的两个正整数m和n，使得等式m2+1986=n2成立.试说出你的猜想，并加以证明.

（1986年泉州市初二数学双基赛题）

55.当m取何整数时，关于x的二次方程m2x2－18mx+72=x2－6x的根是正整数，并求出它的根.

（1988年泉州市初二数学双基赛题）

56.若关于x的二次方程（1+a）x2+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a的取值是________________.（1989年泉州市初二数学双基赛题）

57.不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，适合条件的三角形共有____个，它们的边长分别是：

______________________________________________________________.

58.直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长.

59.鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？

60.甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒1个共付1.69元，乙买铅笔3支，笔记本7本，文具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各1，应付几元？

若1×2×3×4×……×99×100=12n×M，其中M为自然数，n为使得等式成立的最大自然数，则M是（）

（A）.能被2整除，不能被3整除.（B）.能被3整除，但不能被2整除.

（C）.被4整除，不能被3整除.（D）.不能被3整除，也不能被2整除.

（1991年全国初中数学联赛题）

练习70

1.9+90×2+900×3+990×4=6849

2.28937956

3.30，300，3×10n－14.50,　33,　476,　317.　5.2550　6.2500.　7.1050　　　

1.1717.　　9.奇数（1+1989）×

.

10有两组：

18，19，20，21，22；　　　9，10，11，12，13，14，1