初中数学竟赛辅导资料正整数简单性质的复习.docx

1、初中数学竟赛辅导资料正整数简单性质的复习初中数学竞赛辅导资料(70)正整数简单性质的复习甲. 连续正整数一. n位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9102个，那么 n位数的个数共_.(n是正整数)练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码个. 2.由连续正整数写成的数12349991000是一个_位数； 10011002100319881989是_位数. 3. 除以3余1的两位数有_个，三位数有_个，n位数有_个. 4. 从1到100的正整数中，共有偶数_个，含 3的倍数_个； 从50到1000的正整数

2、中，共有偶数_个，含3的倍数_个.二. 连续正整数的和：1+2+3+n=(1+n).把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+100=_.6. 1+3+5+99=_.7. 5+10+15+100=_.8. 1+4+7+100=_.9. 1+2+3+1989其和是偶数或奇数？答_10. 和等于100的连续正整数共有_组，它们是_.11. 和等于100的连续整数共有_组，它们是_.三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+(4+5)=95=45；123499100各位数字和是(0+99)

3、+(1+98)+(49+50)+1=1850+1=901.练习：12. 整数 12349991000各位上的数字和是_.13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：这个数用9除的余数是_.(1987年全国初中数学联赛题)14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数123499100中：1 它是一个_位数；2 它的各位上的数字和等于_；3 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十位是_.四.连续正整数的积： 123n 记作n ! 读作n的阶乘. n个连续正整数的积能被n!整除.如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+

4、1)(a+2)(a+n1). a为整数. n! 中含有质因数m的个数是+.x表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3 min如：12310的积中，含质因数3的个数是： =3+1=4练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：_16.一串数1，4，7，10，697，700相乘的积中，末尾共有零_个 (1988年全国初中数学联赛题)17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a21)(a+2) a为整数五. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.乙. 正整数十进制的表示法一. n+1位的正整数记作：an10n

5、+an110n1+a110+a0 其中n是正整数，且0ai9 (i=1,2,3,n)的整数, 最高位an0.例如：54321=5104+4103+3102+210+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=1213143233. 试证：A能被99整除.证明：A=121042+131040+141038+31104+32102+33 =1210021+1310020+141019+311002+32100+33. 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n=(99+1) n1 (mod 9) A=99k+12+13+14+31+32+33 (k 为正整数 ) =99 k+(12+33)

6、+(13+32)+(22+23) =99k+4511 =99k+995.A能被99整除.练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成192021227980.试证明这个数能被1980整除二. 常见的一些特例=10 n1, = (10 n1), (10 n1).例题：试证明12，1122，111222，11112222，这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n个数是=10 n+ = (10 n+2)=. 证毕.练习：21. 化简+1=_.22. 化简=_.23. 求证 是合数.24. 已知：存在正整数 n,能使数被1987整除. 求证：数p=和 数q=都能被1987整除. (1

7、987年全国初中数学联赛题)25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证：15+1是完全平方数.丙. 末位数的性质.一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4；a=3时，N (a)=3. 1. N (a4k+r)=N (ar) a和k都是整数，r=1,2,3,4. 特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身.2. N (a)=N (b) N (ab)=010 |(ab).3.

8、若N (a)=a0, N (b)=b0. 则N (an)=N (a0n)； N (ab)=N (a0b0).例题1：求53100 ； 和 7的个位数.解：N (53100)=N (3424+4)=N (34)=1先把幂的指数77化为4k+r形式，设法出现4的因数.77=777+7=7(761)+4+3=7(721)(74+72+1)+4+3 =7412 (74+72+1)+4+3 =4k+3 N(7)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27. 19891989的个位数是_，9的个位数是_.28. 求证：10 | (1987198919931991).29. 221033157720552

9、5的个位数是_.二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12，22，32，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和 例题1. 填空：12，22，32，1234567892的和的个位数的数字是_. (1991年全国初中数学联赛题)解：12，22，32，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+

10、0)(12345678+1)的个位数5. 2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：(n2)2+(n1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2 (n, k都是整数)5(n2+2)=k2 . k2是5的倍数，k也是5的倍数.设k=5m, 则5(n2+2)=25m2. n2+2=5m2.n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n2的倍数是8或3.但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3. 假设不能成立 任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.3.判断不是完全平方

11、数的其他方法例题3. 已知：a是正整数.求证： a(a+1)+1不是完全平方数 证明：a(a+1)+1=a2+a+1，且a是正整数 a2 a(a+1)+1=a2+a+11的正整数) 不是完全平方数 证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 =4k+11=4k+42+3=4(k+2)+3即除以4余数为3，而不是1，它不是完全平方数.例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1=4(a2+b2+a+b)+2. 这表明其和是偶数，

12、但不是4的倍数，故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.三. 魔术数：将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N称为魔术数.常见的魔术数有：a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5(即10的一位正约数是魔术数)b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数)c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_.(1986年全国初中数学联赛题)四. 两个连续自然数，积的个位数只有0

13、，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习：31. 已知：n是自然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n的值是：_. (1985年上海初中数学竞赛题)丁. 质数、合数1. 正整数的一种分类： 2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数. 例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：令A=1234567891011那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数. 一般地，要写出n个连

14、续自然数，个个是合数，可用令m=n+1, 那么m!+2, m!+3, m!+4, + m!+n+1 就是所求的合数.m!+i (2in+1) 有公约数i. 练习：32. 已知质数a， 与奇数b 的和等于11，那么a=_,b=_.33. 两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于_，_.34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)2， m!=22! 那么所求的合数是22!+3，_,_,_,35. 写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=235711.(这里11=10+1，即N是不大于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，N+11就是所

15、求的合数.这是为什么？如果 要写15个呢？36. 已知：x,m,n 都是正整数 . 求证：24m+2+x4n 是合数.戊.奇数和偶数1.整数的一种分类： 2. 运算性质：奇数+奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+偶数=奇数.奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数.(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.4. 其他性质： 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数. 奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数不是平方数.a) 2n (n为正整数)不含大 于1的奇因数.b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必一奇一偶.c) 若n个整数的积是奇数，则它们都

16、是奇数. 例1. 设m 与n都是正整数，试证明m3n3为偶数的充分必要条件是mn为偶数.证明：m3n3（mn）(m2+mn+n2).当mn为偶数时，不论m2+mn+n2是奇数或偶数，m3n3都是偶数；mn为偶数是m3n3为偶数的充分条件.当mn为奇数时，m, n必一奇一偶，m2，mn，n2三个数中只有一个奇数，m2+mn+n2是奇数，从而m3n3也是奇数.mn为偶数，是m3n3为偶数的必要条件.综上所述m3n3为偶数的充分必要条件是mn为偶数.例2. 求方程x2y2=1990的整数解.解：(x+y)(xy)=25199. 若x, y同是奇数或同是偶数，则 x+y，xy都是偶数，其积是4的倍数，

17、但1990不含4的因数，方程左、右两边不能相等. 若x, y为一奇一偶，则xy，x+y都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，方程两边也不能相等.综上所述，不论x, y取什么整数值，方程两边都不能相等. 所以 原方程没有整数解本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性.练习：37. 设n为整数，试判定n2n+1是奇数或偶数.38. 1001+1002+1003+1989其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由.40. 求证：方程x2+1989x+9891=0没有整数根.41. 已知： 求证：n是4的倍数.42

18、. 若n是大于1的整数，p=n+(n21)试判定p是奇数或偶数，或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题)已. 按余数分类1. 整数被正整数 m除，按它的余数可分为m类，称按模m分类. 如：模m=2，可把整数分为2类:2k, 2k+1 k为整数，下同模m=3，可把整数分为3类:3k, 3k+1，3k+2.模m=9，可把整数分为9类:9k,9k+1,9k+2.9k+8.2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.3. 按模m分类时，它们的余数有可加

19、，可乘，可乘方的性质.如：若a=5k1+1,b=5k2+2. 则a+b除以5 余数 是3 (1+2)；ab除以5余2 (12)； b2 除以5余4 (22).例1. 求19891989除以7的余数.解：19891989=(7284+1)1989， 1989198911989 1 (mod 7).即19891989除以7的余数是1.练习：43. 今天是星期一，99天之后是星期_.44. n 个整数都除以 n1, 至少有两个是同余数，这是为什么？45. a 是整数，最简分数化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几位？4. 运用余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进行检验例2. 下列

20、演算是否正确？ 12625+9568=21193 ； 2473429=1060927.解：用各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7. 7+17， 演算必有错. 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.而76=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.练习：46. 检验下列计算有无差错： 37285483275=289679 ； 233662926236=3748.5. 整数按模分类，在证明题中的应用例3. 求证：任意两个整数a和b，它们的和、差、积中，至少有一

21、个是3的倍数.证明：把整数a和b按模3分类，再详尽地讨论.如果a, b除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b的差是3的倍数；如果a, b除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么a, b的积是3的倍数；如果a, b除以3，余数分别是1和2，那么a, b的和是3的倍数.综上所述任意两个整数a，b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数. (分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏)例4. 已知： p5，且 p和2p+1都是质数. 求证：4p+1是合数. 证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k为整数)三类讨论p是质数，不能是3的倍数，即p3k； 当p=3k

22、+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). 2p+1不是质数，即p3k+1； 只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5. 2 p+1也是质数， 符合题设.这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕练习：47. 已知：整数a不能被2和3整除 . 求证：a2+23能被24整除. 48. 求证：任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6.49. 若正整数a不是5的倍数. 则a8+3a44能被100整除.50. 已知：自然数n2求证：2n1和2n+1中，如果 有一个是质数，则另一个必是合数.51.设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证 a

23、3bab3,b3cbc3,c3aca3三个数中，至少有一个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)庚. 整数解1. 二元一次方程 ax+by=c的整数解：当a,b互质时，若有一个整数的特解那么可写出它的通解2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质 整数整数=整数， 整数整数=整数，整数(这整数的约数)=整数， (整数)自然数=整数3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.4. 根据已知条件讨论整数解.例1. 小军和小红的生日.都在10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小军比小红早出生，求小军的生日.解：设小军和小红的生日分别为x, y，根据题意

24、，得(k=1,2,3,4) 2x=347k x=17k=1, 3时， x没有整数解；当k=2时， 当k=4时， (10月份没有31日，舍去)小军的生日在10月10日例2. 如果一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初二数学双基赛题)解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c都是整数，0a9，0b, c9.那么， 且8ab+c0, 以c=0, 1, 2, 3, 4逐一讨论a的解.当c=2,4时，无实数根；当c=1,3时，无整数解；只有当c=0时，a=5；或a=0. (a=0不合题意，舍去)只有c=0,a=5,b=5适

25、合 所求的三位数是550；(2)当ab+c=11时， 得9a+b+1=a2+b2+c2.以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得2a2+2(c16)a+2c223c+131=0. 仿(1)通过韦达定理，由c的值逐一以讨论a的解.只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件的三位数有550和803.练习：52. 正整数x1, x2, x3,xn满足等式x1x2x3x4+x5=x1x2x3x4x4x5 那么x5的最大值是_. （1988年全国初中数学联赛题）53. 如果p, q,都是整数，.且p1, q1, 试求p+q的值.（1988年全国初中数学

26、联赛题）54. 能否找到这样的两个正整数m和n，使得等式m2+1986=n2成立. 试说出你的猜想，并加以证明.（1986年泉州市初二数学双基赛题）55. 当m取何整数时，关于x的二次方程m2x218mx+72=x26x的根是正整数，并求出它的根. （1988年泉州市初二数学双基赛题）56. 若关于x的二次方程（1+a）x2+2x+1a=0的两个实数根都是整数，那么a的取值是_. （1989年泉州市初二数学双基赛题）57. 不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，适合条件的三角形共有_个，它们的边长分别是：_.58. 直角三角形三边长都是整数，

27、且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长.59. 鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？60. 甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒1个共付1.69元，乙买铅笔3支，笔记本7本，文具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各1，应付几元？若123499100=12 nM，其中M为自然数，n为使得等式成立的最大自然数，则M是( ) (A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.(1991年全国初中数学联赛题)练习701. 9+902+9003+9904=68492. 2893 7956 3. 30，300，310n1 4. 50,33,476,317 . 5.2550 6.2500.7. 1050 1. 1717.9.奇数 (1+1989). 10有两组：18，19，20，21，22；9，10，11，12，13，14，1