六年级下册数学第四单元《比例》讲义.docx
《六年级下册数学第四单元《比例》讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六年级下册数学第四单元《比例》讲义.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
六年级下册数学第四单元《比例》讲义
六年级下册数学第四单元《比例》讲义
1.比例的意义和基本性质
一、比例的意义
1.如5:
6=
，15:
18=
，所以5:
6=15:
18。
像“5:
6=15:
18”，表示两个比相等的式子叫做比例。
2.判断两个比能否组成比例的方法：
看两个比的比值是否相等，如果比值相等，那么就能组成比例；否则不能组成比例。
二、比例的各部分名称
1.组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
例如：
3.6:
3 = 4.8:
4
内项
外项
三、比例的基本性质
1.在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
2.如果
（a、b、c、d均不为0），那么ad=bc。
【趁热打铁】
1.能与15：
9组成比例的比是（）。
A.13：
15B.3：
5C.5：
3D.15：
115
2.能与
：
组成比例的是（ ）。
A.2：
3B.
C.
D.
3.在比例1.2：
2.1=4：
7中， 和 是外项， 和 是内项，将这个比例改写成分数形式是
=
．
4.在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是3.5，另一个内项是（）。
5.如果a：
b=5：
9,那么a：
5=（）：
（）。
6.A的
相当于B的
，A：
B=（）：
（）
7.如果2a=6b，则
，a：
8=（）：
（）。
8.如果6x=7y，写成比例是（）
A.6:
7=y:
xB.x:
y=6:
7C.6:
x=7:
yD.6:
y=7:
x
9.用3、7、9、21这四个数组成的比例式，下面的哪个式子是正确的（ ）。
A.21:
3=7:
9 B.3:
7=9:
21C.9:
3=7:
21 D.3×21=7×9
1.根据比例的基本性质，求比例中的某一项
（1）
（2）
（3）
（4）
2.运用例举法把乘法等式改写成比例
（1）3×80=4×60
（2）
3.判断四个数能否组成比例
（1）判断3，6，9，18这四个数能否组成比例
（2）小强3分钟走了180米，小刚1小时走了3.6千米。
小强说：
“我俩各自左走的路程和时间的比能组成比例。
”小刚说：
“不能组成比例。
”他们谁说得对？
1.解比例的意义：
求比例中的未知项，叫做解比例
2.方法：
（1）根据比例的基本性质把比例转化成乘法算式
（2）解方程求出未知项的值
【趁热打铁】
1.解比例
：
=
：
X
2.根据条件列比例解比例
（1）36与X的比等于4与0.2的比．
（2）一个数和8的比等于
的比，这个数是多少？
（3）比的两个外项是4.6和5，两个内项是X和2.3．
3.一种农药，用药液和水按1：
1500配制而成，现有3千克药液，能配制这种农药多少千克？
4.隆兴嘉园11号楼的实际高度是38米，它的高度与模型高度的比试500:
1.那么模型的高度是多少厘米？
2.正比例和反比例
一、正比例的意义
1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
2.如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），那么正比例关系可以表示为
例：
正方形的周长与边长；速度一定时的路程与时间；单价一定时的总价与数量。
注：
判断两种量是否成正比例，要做到“两判”：
一判这两种量是不是相关联的量，二判两个量的比值是否一定。
二、正比例图像的特点
正比例图像是一条从原点出发的射线。
从图像中可以直观地看到两种量的变化情况，可以不用计算，由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值
【趁热打铁】
1.判断下面每题中的两种量是否成比例。
（1）笔记本单价一定，数量和总价（）
（2）工作效率一定，工作时间和工作总量（）
（3）一袋大米的重量一定，吃了的和剩下的（）
（4）正方形的周长和边长（）
（5）人的身高和体重（）
2.公共汽车里的投币箱贴有“2元/人”．
（1）把下表填写完整．
上车的人数/人
1
2
4
6
投币箱的车费/元
2
6
10
（2）根据表中的数据，在下图中描出车费和上车的人数所对应的点，再把它们按顺序连起来。
（3）你发现哪个量与哪个量成什么比例？
请说明理由。
3.妈妈去买苹果，苹果的总价和购买的数量如下：
数量（千克）
2
4
5
8
10
12
总价（元）
8
16
24
32
40
48
（1）妈妈买苹果的总价和所买数量成正比例吗？
为什么？
（2）根据表中数据，在下图中描出总价和所买数量所对应的点，再把它们用线连起来。
（3）看上图判断，妈妈买5千克苹果需要多少元？
60元可以买多少千克苹果？
4.同一时间，同一地点测得树高和影长如下图：
（1）看图填写下表：
树高/m
1
2
3
4
5
影长/m
（2）树高和影长成比例吗？
成什么比例？
为什么？
（3）根据图象，估计8米高的树，这时的影长是多少米？
4.甲、乙两车行驶的路与时间的关系如图：
（1）甲车行驶的路程与时间是否成正比例关系？
乙车呢？
（2）3小时甲车行驶（）千米，乙车行驶（）千米。
（3）从图象上看，甲车的速度快还是乙车的速度快？
（2）如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇．则A、B两地相距多少千米？
5.已知x和y成正比例关系，完成下面的表：
X
7
6
18
Y
36
24
8
1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
2.如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的成绩（一定），那么反比例关系可以表示为
例：
路程一定时的速度与时间；总价一定时的单价与数量。
注：
判断两种量是否成反比例，要做到“两判”：
一判这两种量是不是相关联的量，二判两个量的乘积是否一定。
【趁热打铁】
1.判断下面每题中的两种量是否成比例。
（1）比的前项一定，比的后项和比值（）
（2）平行四边形的面积一定，它的底和高（）
（3）烧煤的天数一定，每天的烧煤量和煤的总量（）
（4）长方形的周长一定，它的长和宽（）
（5）被减数一定，减数与差（）
（6）花生的出油率一定，花生的重量和油的重量（）
（7）正方形的边长与面积成（）
（8）班级学生的总人数一定，出勤率与缺勤率（）
（9）圆的周长与直径（）
（10）同时同地树高与影长（）
2.表示a和b这两种量成反比例的关系式是（）
A．a+b=8B．a-b=8C．a×b=8D．a÷b=8
3.x与y成反比例关系，根据条件完成下表。
X
15
20
40
Y
400
240
100
4.想一想，填一填。
（1）如果
=
，那么x和y成（ ）比例，
（2）如果
＝
那么a与b成（）比例。
5.3个人练习打同一份稿件，每人打字所用时间如下表，请填表并回答问题。
玲玲
军军
奇奇
打字所用的时间（分）
10
12
20
速度（字/分）
84
70
42
（1）不同的人在打同一份稿件的过程中，哪个量没变？
（2）打字的速度和所用的时间有什么关系？
（3）张老师打这份稿件用了7分钟，你知道她平均每分钟打多少个字吗？
6.一辆汽车准备从甲地开往乙地。
根据下表提供的信息，把表格填写完整。
（1）行驶的时间和速度成什么比例关系？
说明理由。
（2）如果这一辆汽车从甲地到乙地用了18小时，根据上面表格估计这辆汽车的速度大约是多少？
7.看同一本书，每天看的页数和所看天数的情况如下表：
每天看的页数
4
8
10
16
20
所看的天数
80
40
（1）判断：
每天所看的页数与所看天数成比例。
（2）把表格填完整。
（3）哪一个量不变。
注：
正比例和反比例的比较
共同点
不同点
正比例
两种量相关联，一种量变化，另一种量也随着变化。
两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，
即
=k（一定）
反比例
两种量中相对应的两个数的乘积一定，
即xy=k（一定）
3.比例的应用
一、比例尺的意义
1.一幅图的（）距离和（）距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2.（）︰（）=比例尺或
=（）
3.比例尺与一般的尺不同，它是一个（），不应带有计量单位．
4.求比例尺时，前、后项的单位长度一定要化成同级单位
例1：
一张地图上2厘米的距离表示实际距离1000米。
求图上距离和实际距离的比。
例2：
一个机器零件的长为3毫米,画在纸上的长为18厘米，求这幅图的比例尺。
练习：
1.用图上距离5厘米，表示实际距离200米，这幅图的比例尺是（）
2.图上距离：
实际距离=1cm：
50km=1cm:
（）cm=1:
（）
3.在一幅地图上，用3厘米的线段表示18千米的实际距离，这幅地图的比例尺是（）。
4.长4毫米的零件，画在图纸上是4厘米，这幅图的比例尺是（）
5.一个手表零件长2毫米，画在一幅图上长4厘米，这幅图的比例尺。
6.一张地图上，用3厘米表示实际距离600米，求这张地图的比例尺。
二、比例尺的分类
1.按表现形式分：
（1）线段比例尺：
（2）数值比例尺：
图上距离：
实际距离=比例尺或
（3）文字比例尺：
图上1厘米代表实地距离40千米
2.按将实际距离缩小还是放大分：
（1）缩小比例尺：
像1:
2000,1:
50这样前项是“1”的比例尺，称为缩小比例尺。
（2）放大比例尺：
像4:
1，60:
1这样后项是“1”的比例尺，称为放大比例尺。
例3：
（1）说一说下面两幅图中比例尺所代表的含义。
（2）你能将第二个线段比例尺改写成数值比例尺吗?
练习：
1.AB两地间的直线距离是150千米，在地图上只有5厘米，该地图的比例尺是多少？
用三种表示方法表示。
2.两城的实际距离是120千米，在一幅地图上的图上距离为4厘米，该地图的比例尺是多少？
将数值比例尺改写成线段比例尺。
3.填写表格
数字式
文字式
线段式
1：
2000000
图上1厘米等于实际距离3千米
1：
450000
三、已知比例尺和图上距离，求实际距离
方法一：
根据“
”列方程，用解比例的方法解答
方法二：
根据“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式解答
例4：
在比例尺1:
2000的平面图上，量得一座大桥的长度是7.2厘米。
这座大桥的实际长度是多少米？
方法一：
方法二：
练习：
1.判断
⑴实际距离一定比图上距离大。
（）
⑵在比例尺是10：
1的图纸上，2厘米的线段表示零件实际长度是20厘米。
（）
2.在比例尺是1：
6000000的地图上，量得重庆到上海的距离是24厘米，重庆到上海的实际距离是多少千米？
3.在比例尺是
的地图上，量得一间房屋地基长8厘米，宽5厘米。
这间房屋实际的长和宽分别是多少？
思维突破1：
在比例尺是
的地图上，量得一所学校的平面图长6厘米，宽4厘米。
这所学校实际占地面积是多少平方米？
过关精炼：
在比例尺是1:
400的图纸上，量得长方形的长是4厘米，宽是3厘米。
长方形的实际面积是多少平方米？
思维突破2：
在比例尺是1：
5000000的地图上，量得沈阳和重庆两地相距6厘米。
如果甲、乙两辆汽车同时从两地相对出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行42千米。
几小时后两车能相遇？
过关精炼：
1.在比例尺是1∶3000000的地图上，量的A、B两地的距离是50厘米。
如果甲、乙两列客车同时从A、B两地相对开出，经过10小时相遇，甲客车每小时行76千米，乙客车每小时行多少千米？
2.在比例尺是1：
2000000的地图上，量得济南到烟台的距离是3.6厘米。
如果汽车以每小时30千米的速度于上午9时整从济南出发，走完这段路程到达烟台时是什么时刻？
四、已知实际距离和比例尺，求图上距离（应用比例尺画图）
方法一：
用方程解。
1.解，设图上距离为x厘米。
2、换算单位。
实际距离与图上距离单位一致。
3、利用“图上距离：
实际距离=比例尺”列比例，解比例。
方法二：
算术法。
利用“图上距离=实际距离×比例尺”直接列式计算。
例5：
一个长方形操场，长110米，宽90米。
把它画在比例尺是
的图纸上，长和宽各应画多少厘米？
过关精炼：
实际距离240千米，画在比例尺是1：
8000000的地图上，应画多少厘米？
思维突破：
在比例尺是1：
6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米。
如果把南京到北京的距离画在比例尺是1：
5000000的地图上，应该画多少厘米？
过关精炼：
1.原比例尺为1：
50000的一幅地图，现在改为用
的比例尺重新绘制，原地图中4.8cm的距离，在新地图中应该画多少厘米？
2.在一幅地图上，用5厘米的距离表示实际距离1500千米。
在这幅地图上量得A、B两地的距离是3.5厘米，A、B两地的实际距离是多少千米？
一条640千米的高速公路，在这幅地图上是多少厘米?
五、应用比例尺画图
步骤：
1.确定比例尺。
2.根据自己选择的比例尺计算出平面图上的距离。
3.画图。
例6：
小明家在学校正西方向，距学校200m；小亮家在小明家正东方向，距小明家400m；小红家在学校正北方向，距学校250m，在下图中画出他们三家和学校的位置平面图。
·学校
过关精炼：
1、篮球场长120m，宽90m。
用1：
2000的比例尺在下面画出它的平面图（只画出边界）
2、小明家正西方向500是街心公园，街心公园正北方向300是科技馆，科技馆正东方向1是动物园，动物园正南方向400是医院。
先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。
一、图形的放大与缩小
1.图形的放大：
保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变大了，叫做图形的放大。
2.图形的缩小：
保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变小了，叫做图形的缩小。
二、在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小的方法
1.步骤：
一看二算三画
2.放大或缩小后的图形与原来的图形相比，形状相同，但是大小发生了变化。
3.图形按一定的比放大时，这个比的比值比1（）；图形按一定的比缩小时，这个比的比值比1（）。
多次放大或缩小
一个长方形，先按2:
1放大，再按1:
4缩小，和原来的长方形相比，最终的到的长方形各边是扩大了还是缩小了？
【趁热打铁】
1.
先按4:
1把下面的三角形放大，再把放大后的图形按1:
2缩小。
2.一个长方形，长是12厘米，宽是6厘米，
（1）按一定比例放大后，长是36厘米，宽是18厘米，它是按（）：
（）的比扩大的。
（2）按一定比例缩小后，长是6厘米，宽是3厘米，它是按（）：
（）的比缩小的。
3.把一个长是3cm，宽是2cm的长方形按2：
1的比扩大后，长是（）cm，宽是（）cm，面积将扩大到原来的（）。
4.把一个边长是24cm的正方形按1:
8缩小后，边长是（），缩小后的正方形的面积与原来正方形的面积的比是（）。
5.一个圆的半径是4厘米，按1：
2缩小后，得到的图形的面积是（）。
6.一个圆按3:
1放大后，半径是12cm，原来的圆的半径是（）。
7.若将直角三角形的两条直角边都扩大到原来的3倍，则斜边（）。
A.不变B.扩大到原来的3倍C.缩小到原来的
8.用放大镜看一个45°的角，这个角的度数是（）。
一、用正比例解决问题
步骤：
（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断他们是否成正比例
（2）如果成正比例关系，根据正比例的意义列出比例式
（3）解比例
（4）检验并答
二、用反比例解决问题
步骤：
（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断他们是否成反比例
（2）如果成反比例关系，根据反比例的意义列出比例式
（3）解比例
（4）检验并答
【趁热打铁】
1.下面各题中的两个量成不成比例，如果成比例，那么成什么比例？
（1）圆的面积和半径（）
（2）订《数学报》的份数与总价（）
（3）长方形的周长一定，长与宽（）
（4）在没有余数的除法中，被除数一定，除数和商（）
（5）铺底面积一定，方砖面积与所需块数（）
（6）货车的载重量一定，运送货物的总量和辆数（）
2.食堂买3桶油用了780元，照这样计算，买10桶油需要多少元？
（1）因为（）一定，相关联的两种量是（）和（）
（2）得数量关系式：
=
（3）所以（）和（）成（）比例关系。
3.生产一批自行车，计划每天生产30辆，需要生产20天；实际每天生产了50辆，实际生产了几天？
（1）因为（）一定，相关联的两种量是（）和（）
（2）得数量关系式：
=
（3）所以（）和（）成（）比例关系。
4.一种大豆，每20千克可以榨油5.5千克。
照这样计算。
（1）30吨大豆可以榨油多少吨？
（2）要榨22吨油，需要这样的大豆多少吨？
5.我国发射的人造地球卫星，在空中绕地球运行3周需要5.7小时。
照这样计算，运行12周需要多少小时？
6.测量小组测得一座电视发射塔的影长是100米。
同时把一根长2米长的竹竿直立在地上，测得影长是1.6米。
电视发射塔高多少米？
7.一个晒盐场用100克海水可以晒出3克盐。
照这样计算，如果一块盐田一次放入585000吨海水，那么可以晒出多少吨盐？
8.一种农药是用药液和水按1:
1500的比例配制而成的,现有3千克药液,能配制这种农药多少千克?
9.一辆汽车从上午8时到11时行了210km，照这样的速度，甲地到乙地的距离是980km，从甲地到乙地10小时能到吗？
10.一列火车从甲城开往乙城，前3小时行驶210千米，照这样计算，再行4.5小时就可以到达乙城，甲乙两城共多少千米？
11.一根木料，锯3段需要9分钟，如果锯6段，需要多少分钟？
12.学校音乐室要用方砖铺地。
用边长3分米的方砖铺，需要96块；如果改用边长2分米的方砖铺地，需要多少块？
13.工程队修一条公路，计划每天修4.5km，20天完成，实际每天修6km，实际多少天可以完成？
14.小青读一本名著,如果每天读20页,12天可以读完。
小青想8天读完,那么平均每天要读多少页?
15.食堂买来一批大米，每天吃80千克，可吃6天，如果每天吃96千克，少吃了几天?
16.生产一批零件，计划每天生产60个，20天完成。
实际每天超产20个，可以提前几天完成任务？
17.某食品厂包装一批水果糖，如果每袋装250克，需120袋才能装完。
现在要求每袋多装250克，需多少袋可以装完?
18.学校食堂运来一批煤，计划每天烧180千克，可以烧25天，实际每天少烧30千克，实际多烧了多少天？
19.一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行70千米，10小时到达。
从原路回来时提速，只用了9小时，回来时平均每小时行多少千米？
20.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，3小时可到达。
返回时，如果速度提高20%，多少小时就可返回甲地？
21.（浓度问题）现有浓度为10%的盐水100克，想得到浓度为5%的盐水，需加水多少克？
升级会员 