极坐标与参数方程知识点总结复习过程.docx
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极坐标与参数方程知识点总结复习过程
第一部分：
坐标系与参数方程
【考纲知识梳理】
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
的作用下,点
对应到点
称
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
（1）极坐标系
如图
（1）所示,在平面内取一个定点
叫做极点,自极点
引一条射线
叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.
注:
极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
（2）极坐标
设M是平面内一点,极点
与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为
;以极轴
为始边,射线
为终边的角
叫做点M的极角,记为
.有序数对
叫做点M的极坐标,记作M
.一般地,不作特殊说明时,我们认为
可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为
。
和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定
那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标
表示;同时,极坐标
表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
（1）互化背景:
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图
（2）所示:
（2）互化公式:
设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是
极坐标是
于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M
直角坐标
极坐标
互化公式
在一般情况下,由
确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为
的圆
圆心为
半径为
的圆
圆心为
半径为
的圆
过极点,倾斜角为
的直线
（1）
（2）
过点
与极轴垂直的直线
过点
与极轴平行的直线
注:
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程
点
可以表示为
等多种形式,其中,只有
的极坐标满足方程
.
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
都是某个变数
的函数
①,并且对于
的每一个允许值,由方程组①所确定的点
都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数
的变数
叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
（2）如果知道变数
中的一个与参数
的关系,例如
把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系
那么
就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使
的取值范围保持一致.
注：
普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数
如图所示，设圆
的半径为
，点M从初始位置
出发，按逆时针方向在圆
上作匀速圆周运动，设M
，则
。
这就是圆心在原点
，半径为
的圆的参数方程，其中
的几何意义是
转过的角度。
圆心为
，半径为
的圆的普通方程是
，
它的参数方程为：
。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点
为中心，焦点在
轴上的椭圆的标准方程为
其参数方程为
，其中参数
称为离心角；焦点在
轴上的椭圆的标准方程是
其参数方程为
其中参数
仍为离心角，通常规定参数
的范围为
。
注：
椭圆的参数方程中，参数
的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角
区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到
的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
但当
时，相应地也有
，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
以坐标原点
为中心，焦点在
轴上的双曲线的标准议程为
其参数方程为
，其中
。
焦点在
轴上的双曲线的标准方程是
其参数方程为
，其中
以上参数
都是双曲线上任意一点的离心角。
6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线
的参数方程为
7．直线的参数方程
经过点
，倾斜角为
的直线
的普通方程是
而过
，倾斜角为
的直线
的参数方程为
。
注：
直线参数方程中参数的几何意义：
过定点
，倾斜角为
的直线
的参数方程为
，其中
表示直线
上以定点
为起点，任一点
为终点的有向线段
的数量，当点
在
上方时，
＞0；当点
在
下方时，
＜0；当点
与
重合时，
=0。
我们也可以把参数
理解为以
为原点，直线
向上的方向为正方向的数轴上的点
的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
【要点名师透析】
一、坐标系
（一）平面直角坐标系中的伸缩变换
〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换
（1）求点
经过
变换所得的点
的坐标；
（2）点B经过
变换得到点
，求点
的坐标；
（3）求直线
经过
变换后所得到直线的
方程；
（4）求双曲线
经过
变换后所得到曲线
的焦点坐标。
（二）极坐标与直角坐标的互化
〖例2〗在极坐标系中，如果
为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标
。
（三）求曲线的极坐标方程
〖例〗已知P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，∠AOB=
，⊿POQ的面积为8，求PQ中点M的极坐标方程。
（四）极坐标的应用
〖例〗如图，点A在直线x=4上移动，⊿OPA为等腰直角三角形，⊿OPA的顶角为∠OPA（O，P，A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状。
二、参数方程
（一）把参数方程化为普通方程
〖例〗已知曲线C
：
（t为参数），C
：
（
为参数）。
（1）化C
，C
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C
上的点P对应的参数为
，Q为C
上的动点，求
中点
到直线
（t为参数）距离的最小值。
（二）椭圆参数方程的应用
在平面直角坐标系
中，点
是椭圆
上的一个动点，求
的最大值
解答：
（三）直线参数方程的应用
〖例〗过点
作倾斜角为
的直线与曲线
交于点
，求
的值及相应的
的值。
解析：
（四）圆的参数方程的应用
〖例〗已知曲线C的参数方程是
为参数），且曲线C与直线
=0相交于两点A、B
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长
【感悟高考真题】
1．在极坐标系中，点（2，
）到圆
的圆心的距离为（）
（A）2（B）
（C）
（D）
2．在极坐标系中，圆
的圆心的极坐标是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．在直角坐标系xOy中，曲线
的参数方程为
在极坐标系（与直角坐标系xOy有相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线
的方程为
的交点个数为______
4．直角坐标系xOy中，曲线
的参数方程为
在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线
的方程为
的交点个数为___
5.
（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为
=
，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为.
6．（2011·陕西高考理科·T15C）直角坐标系
中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线
：
（
为参数）和曲线
：
上，则
的最小值为．
7．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系
中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线
：
（
为参数）和曲线
：
上，则
的最小值为．
8.（2011.天津高考理科.T11）.已知抛物线
的参数方程为
（
为参数）若斜率为1的直线经过抛物线
的焦点，且与圆
相切，则
=________.
9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为
和
，它们的交点坐标为.
10．
（2）在直角坐标系xOy中，直线
的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
.（I）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为
，判断点P与直线l位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
11.选修4-4：
坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系
中，求过椭圆
（
为参数）的右焦点，且与直线
（
为参数）平行的直线的普通方程。
12.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（
为参数）M是C1上的动点，P点满足
P点的轨迹为曲线C2
（Ⅰ）求C2的方程
（Ⅱ）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求
.
13.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（
为参数）M是C1上的动点，P点满足
P点的轨迹为曲线C2
（Ⅰ）求C2的方程
（Ⅱ）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求
.
14.（2011·辽宁高考理科·Ｔ23）（本小题满分10分）（选修4-4：
坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
，曲线C2的参数方程为
.在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：
θ=a与C1，C2各有一个交点．当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=
时，这两个交点重合．
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当
=
时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当a=-
时，l与C1，
C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
15.极坐标
和参数方程
（t为参数）所表示的图形分别是（D）
A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线
16．极坐标方程（p-1）（
）=（p
0）表示的图形是
（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线
17．在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=
与
的交点的极坐标为______．
18．已知P为半圆C:
（
为参数，
）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧
的长度均为
。
（I）以O为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
【考点模拟演练】
一、选择题
1．已知极坐标平面内的点P
，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为（ ）
A.
，（1，
）B.
，（1，－
）C.
，（
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