球与各种几何体切接问题专题资料讲解.docx
《球与各种几何体切接问题专题资料讲解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《球与各种几何体切接问题专题资料讲解.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
球与各种几何体切接问题专题资料讲解
球与各种几何体切、接问题
近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义1:
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内
接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2:
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面
体，这个球是这个多面体的内切球•
一、球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题•
1、球与正方体
（1）正方体的内切球，如图1.位置关系：
正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心
与球心重合；
数据关系：
设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2ra.
（2）正方体的棱切球，如图2.位置关系：
正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：
设正方体的棱长为a，球的半径为r,这时有2r/2a.
3.位置关系：
正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心
AA，DD1的中点，则直线EF被球0截得的线段长为（）
思路分析：
由题意推出，球为正方体的外接球.平面aadd1截面所得圆面的半径
R一-——,得知直线EF被球0截得的线段就是球的截面圆的直径.
22
【解析】由题意可知］球为正方体的外接琲尸面曲载面所得圆面的半径
卫二警二f.•••ETu面九如D巩-直线廿杆止得的线段黄］球的截面厨的直径2—上
点评*本题着査球与正方体唏”的间题「闻球的截面性囱转化虛为求球的截面13直径.
2、球与长方体例2自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求
MA2MB2MC2的值.
【解析】以谢A/B.MC为从一个顶点出发的三衆協将三棱锥3/-曲C补应一个长方也则另外四个顶点逊在疎面上，故长方体是球的内接民右郎，围按方陳的对星线農是璘的貢径.
..3A?
-M3'十」/CZ=（2A）:
=
点评=此题突出构造法的使用，以反淆觀炜令割补形的方法解诀立体几何中体积计算…
结论：
长方体的外接球直径是长方体的对角线.
4,体积为16，则这个
例3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为
球的表面积为（）.
思路分析：
正四棱柱也是长方体
可得长方体的长、宽、高分别为
.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,
2,2，4,长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径
【解析】正四粧柱也是长再体.由廉方体的休积応斥高4可刃「出长為悴的底面边扶为2,因此，长肓体
的长、宽、鬲分别为囚2,4,因为长方体內捋于險所以立药陳对角线正好为瑾能直径.松方体你对角钱
故球的表面积沏24故选G
点评*年题考查球与扶帛体^接”的问题，巧勺伕市体■的性质，转化咸対求具体对角餵
3、球与正棱柱
（1）结论1:
正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.
（2）结论2:
直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.
例1、
个兀棱柱的底而足止木边形，面,
已知该；；检柱的顶点都&间•个昧而上._!
!
浚7＜检牡的体积为一•
二、球与锥体的切接
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和
内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1、正四面体与球的切接问题
（1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：
正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：
设正四面体的棱长为a，高为h;球的半径为R，这时有4Rh—6a；
3
【解析】如图正四面体A—BCD的中心为0,即内切球球心，内切球半径R即为0到
1
正四面体各面的距离AB=a,—正四面体的咼h=丁a,又Va-bcd=4Vo-bcd,（）「.R=[h
=12a.
（2）正四面体的外接球，位置关系：
正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心
与球心重合；
数据关系：
设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R3h.6a;（可用
正四面体高h减去内切球的半径得到）例5求棱长为1的正四面体外接球的半径。
在Rt△AOOi中，由勾股定理得
R）2+（討
设SOi是正四面体S—ABC的高，外接球的球心0在SOi上，设外接球半径为R,AOi=
则在△ABC中，用解直角三角形知识得r,
3
结论：
正四面体的高线与底面的交点是△ABC勺中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据•此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点
3
此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的4，内切球的半径是正
1
四面体高的
4
（3）正四面体的棱切球，位置关系：
正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球
心重合；
数据关系：
设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有
已知正四而^A-BCD的棱长背g求它的外接球半径、內切球半徨、棱切球半径“解；由正四面悔的对称性与球的对称性知球心在正四面悴的高上.v
棱切球半橙掏0E二^EG:
+OG2=
12+24
RtXOCG中，OC;=<9GZ+CGZ-即F
内切球半径心0G+-心害.显二欝
例7设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积
之比及体积之比.
思路分析：
此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两
个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的.
【解析】如圖E四面»ABCI＞的中心二cK空3的中3芮0「则第一个球半径为正四而体■的中赴到各侖的距离.第二个辣的半径处正四面旅十3到頂〔的距离-
设00］二；川二迓，正四面悴的一「面的面积“■.
依题意得匕钻工=-5（J?
+r）.又rA_?
■-#2-心=；心尸-S
2?
+?
■=4r即说=3严.
希打內切球的表面积_4矿_1内切球的体积_亍。
_1所以外接球的袅囱税二碌•JFW^W=T^r=r
j、*「^o\y
3*/'口
电评：
正四面体与球的接切间题，可通过线面关荼证出，内切球和外接球的两个球心是堇合的，为正四蔚障高的四寺分点，［喘有内切球的半径尸厶。
淘正四面体的高），且外播球的半径疋二W
4
（4）为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点？
分析如團I,因为正四面体多氐
ABCD的外接球的球心0到点&G
D的距离相等「所以0在平面BCD/；\\
内的射影CT到点B,C,D的距高也£乙二一鋒（_〉D相等.又因为在正四面体ABCD中
vBCD是正三角形，所以On是V
vBCD的中心.进而在正四面休图］
ABCD中，有直QL平面RCD：
所以
球心O在髙线AQ上；同理:
球心0也在其它面的髙线上.乂正四面体AECD中各面上的高都相等，所队由04=
OB=0C=0D,得「点O到正四面休咅■面的距离相等’所以点O也是正四面ftABCD的内切球的球心.这祥’正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合.记正四面休ABCD的高为h,贝Ur十R=h=今a.因此.只要求出r和R中的一个，便可茨出另一个.
2.其它棱锥与球的切接问题
（1）球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点
在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解•二是球为正棱锥的内切球，例
如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R•这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
（2）球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.
结论1:
正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到.
结论2:
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法.
途径1:
正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.
途径2:
同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方
体和正方体.
途径3:
若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.
途径4:
若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
例8正三棱锥的高为1,底面边长为2.6，正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积.
思路分析：
此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法
XiBC的迫长^2^6,/-Z7£=—=V：
二尸丘二J5
6
可以得到j=S皿=5寸翼二£2?
CFE=・心=f（2^6）:
=丽
由等体积离崔:
=―任十—?
十心一宓十Gm
111■»[^一二一Kisj^xl二二）gJ5冥丘k3十上上'4：
R^―；-—=76-2・
333:
占十3
:
亠=4履：
=4兀（廳一习―陥一厶岳网./.E=土疫==t（丽—2）1
r、irr
厲1'
点评：
球心是决定球的位置关键為本匹利用球心幻正三梗维西个面的距离相等且対球半径丘来求出事
以球心的傥苴特点来抓球的基本壘1急是解决球有关|刁题常用的方法.
例9（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为.'3，则其外接球的表面积
是^
思路分析：
此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球
的半径•而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法•三条侧棱两两垂直，使我们很快联想
到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型^
【解析】1K题用TS解法，需要作出棱雜的髙，然后臣设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题'我们更想便用鮫为便捷的方法，所囚三条侧棱两两垂直使我们很快联想郢长方体的一牛角I马上构造长方解且侧棱长均相芋所以可枸造正方体旌•如图h[JIJAC-BC=CD=^3.那么三棱锥的外接球的直径即为正寿惟的体对角繼，故所求恙山积是9,丁.（如图1）
点评：
此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体与球切接问题常用的方法.
例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是
边长为1的正三角形，SC是球O的直径，且SC2;则此棱锥的体积为（）
2.3.2.2
A.B.C.D.
6632
思路分析：
ABC的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点O到面ABC
的距离•由SC为球O的直径点S到面ABC的距离即可求得棱锥的体积.
"*拓
点.S到瓯ME的距®2d=^±
【解析】牝閑夕隠圆半径角2並，点0到面挫匸的距孕d=JF二7=^-.sc^to的直径二3--—p3
此棱锥的体积为厂=2孔挖X加=丄X迺X迹=迟一选/
孑廿亠3436
廉评：
不题难度不大,主要是利用转优与化归塩想,将檢锂高应用球的几何性质计算脣到.
练习:
例乩沿ABCD的对角线AC折起.形昵鑒间恻边应AlKLk纯得诃曲B-AC^D为120°,芥AB2.BC1^
U'll此时餌拠怵ABCD的外接球的体枳为
则三棱链A-BCD外接诽的体职」
W.已甥一牛三棱需的二祂图如图所示*托中三个视圏那撻H角三対形.则直该三棲蚀的四MTif'P，建血1命膨的命数为.
例】入若二桂供s-bcd的mrr顶点即在咸o的隊而上，
SH丄fSJ=2V3,JZ?
=1,AC=2^HAC=^
则球。
的於面积为.16jf
3、由性质确定球心
利用球心0与截面圆圆心01的连线垂直于截面圆及球心0与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.
例2Sf$fSlS_-ARC中，SA丄而ABC*5^=2.
AABC'i边It为1的正三角膨则其外接球的表:
曲枳为.
例13*点A.B.GD在同-fXtffi球面上*AB-BC-2rAO2V2?
4
若四新体ABCD休积的最人值为匚・则该球的表面积为.9t
4、内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个
球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：
构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
（二,枝锥的内切球（分割法）
将内加球的珠心与椎时耐备牛厢点连缰，将披權分劃成
以即黴雉的咼曲底曲，内刼竦的半栓斯高的檢惟*
權揺分割前后的儒枳桐等，列出芙于半径R晞咅椎•
3/
蒼陵毎的休积沟讥袁闻积为5则均切蟀的半径幻代二一--.
S
例口、止V^^S-ABCD•底面城长为2,H援怅为击
则内切味的半位足.M
4+
例I氛三校锥P-上。
厂中•底尚厂'是边從为2的iE三角形.
/V丄底W,且丹爲则此三檯锥内妙求的半径为.
2価
"厉+街十41
（三）岡柱（糰趙1町为止方底h風推的内切球（越丽法）
例$圆镰的高为右底而t径为2+求该圆僚内切越仃外携球HMB-
8
例怖.圆柱的底血直径和岛都是&虫谨圆柱内切郎的半径.3
三、球与球相切问题
对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解^
例11已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为.
思路分析：
结合图形，分析四个球的球心A、BC、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5\B=6CD=4.
设AB中点为E、CD中点为F,连结EF.在厶ABF中可得BF、.21，在△EBF中可得EF23.
由于对称性可得第五个球的球心0在EF上，连结OA0D设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF建立r的方程•
【辭析】如團；役四个球的球卫易别为A、色亡、D,则:
ED二BCW酹&CXd・设挹中点丸臥CD中点拘F,连结EF•在AABF中求簿氐血，在AEEF中求得ERiJL
由于对称性可狷第五个球的球心。
衽EF上连结阳0D•设第五个球的芈径为“则偌+,0D寸2于是
OE-Jb+2「一A=J廿一巧尸JORJl》_2-2*三J八，.'OE4O2EF
■'■4y'-6孑亠JJT厂=】忑=>/匸亠6厂=2念-平方整理再平方得
11,亠60—36=0解得—勺或-6（舎掉）.故答.
1111
点评’本题通过分析球心的位罠根据它们构成的几何体特征.转化戚平商几何中三角形边角关系，利用方程思想得解.
例12把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四
个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离.
思路分析：
关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定
组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2.
【解析】四球右细咸棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四酝体的高h=^22-（2-y-）:
=学・
而第四吓球的最高点到第四个球的球心距离为求的半後1,且三个球心到桌面的距离都芮1*故第四个球的
最高掠与桌面的距离为三-斗・
点阳萼题难度不大，主夢是利用转化口rt归思想•晦棱锥高应用球的几何性质计算得到.
四、球与几何体的各条棱相切问题
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为
目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解•如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对
近
棱的一半：
r—a.
4
例13把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为—0cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使
皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）
A.10.3cmB.10cm
C.10,—cm
D.30cm
思路分析：
根据题意球心0在图中AP上，过O作BP的垂线ON垂足为N,ON=R,OM=R,由各个棱都为—0,得到AM=10,BP=20,BM=10,AB=10、.—，设BPA,在RtBPM中，由BP2BM2PM2,得PM10.3.在RtPAM中，由PM2AM2AP2,得
PA10（2.在Rtabp中得，sin塑10^—，在RtONP中得，
BP202
ONRRV2厂222
sin————，从而,OP-2R.在RtOAM中，由OM2AO2AM2,
OPOPOP2
建立方程R2（10・、2--2R）2100即可得解.
【解析】如图所示，由题意球心在A?
上球心为0,过0作芳的
垂竝ON垂足为禹O'WtOM-Ri因冷各个棱祁九引，所以
£I=lh3?
<^:
3\1=10,.A3-10>/2:
设一BPA=a.
在ArA3?
M中，0尸二閃厂-Rif［所皿FV二10浙一在妣二BAXI中：
円厂二日」厂-卫尸：
所以
LJAloJ^JTOXj?
在加A3P中sincf=—=i-2^=—,在盘MON?
中一sinG=—=—3flzi
SP202OPOP
邑二尝所以。
尸二①尺,在处AO心1中：
Ql「fTOr.LV〔所l儿-百Q十IgC）F■
解得，J?
=10或耳（舍）•所以，RH啟选了
点评主本題唯匡较大，主耍是刑用转化2化匸忠想，将间题转化成平而几何间题，应用三角舷中的边弟关系，逢立R的芳程.
五、
六、球与旋转体切接问题
首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系.
例14求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
思路分析：
首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系.
【解析】如图，等边対園锥的轴就面，此截面截區K得正芳■形
截瑚面得球的六
役珈的丰径OO-=R,则它的外切圖柱的高为2£底面丰径为恥
0B二008撕二竝,
50二ORtan150。
二血』二弘，
A
点评；本题充分利用轴髓面，将问题转化咸平面几何问题，应用三角形中的迦角关系，建立与球半径R的麻系
例15在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切.
（1）求两球半径之和;
（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小.
思路分析：
此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察R与r和棱长间的关系即可.
【解析】如罰球心6和©在」二上，讨切Q令别作AD.BC的垂线交于EF.
则由AS=\AC=j3得AO-；7r:
C0-JTR.
⑴设两球体积之和竟F,
刚孑二二卫卅-宀=匚卫-艮饭-Ryfr：
）
23
当看护时，炜針值…当恥「二字时，栩之和有針值.
点评’本题充分利用轴隸酝，将间题转优成平丽几何间题，应用三角肠中的边第关系，建立与球半径片疋的联爲将球的体积之和用尸醯说表示，应用二姬甑舶團象和性质确定其最小值.本題缥台性擾强，是画数与立悴几何相结合的典例.
综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决•如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题•解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解•如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确•高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一,在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界•
升级会员 