数学分析总结计划选讲学习的教案doc.docx
《数学分析总结计划选讲学习的教案doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析总结计划选讲学习的教案doc.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学分析总结计划选讲学习的教案doc
精品文档
《数学分析选讲》教案
1
授课时间
2005年9月12日第3周星期一第四大节
授课6402
实到117
地点
人数
授课题目
函数的概念与性质、实数理论
授课专业
信息与计算
班级
科学
教学目的
1.
掌握函数的概念、性质和运算的方法。
2.
理解实数理论的完备性，并会熟练运用，证明有关问题
.
与
教学要求
1、各种符号，函数的概念，几类重要函数，函数的性质，
定理1.1Contor闭区间套定理，定理1.2（Bolzano--Weierstrass
主
定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性），定理1.3（完
要
备性定理）数列收敛的充要条件是它为基本数列。
定理1.4（单
内
容
重点与难点
教学方法手段（教具）
调收敛定理）单调有界数列必收敛。
定理1.5（确界存在定理）
上有界的数集必有上确界；下有界的数集必有下确界。
定理1.6
（Heine－Borel有限覆盖定理）重点：
函数的性质和实数理论。
难点：
实数理论
讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合
数学分析，高等数学，2005年数学研究生考题参考资料2006年高等数学考试测试题
课后作业与作业1.2.3.4.5.6
思考题思考题：
六个实数完备性定理的相互证明。
教学后记
.
讲稿部分
教学过程
第一讲：
函数的概念与性质，实数理论
一、函数的概念与性质
（一）常用符号N,Z,R,U0
x0,
U
x0,U
x0
@
D
D
Ca,b
Da,bRa,bT
a,bT
（二）
函数的概念
1.
函数的定义
2.
几个重要函数
分段函数
1
x
0
符号函数
Sgn（x）
0
x
0
1
x
0
1,
x
q
p
Dirichlet
函数D（x）
q
0,x
p
1
x
p
（0,1）
q
x
Rinmann函数R（x）
q
p
0
x
0,1
x
q
3.
初等函数4.
周期函数
5.奇偶函数
6.
复合函数
7.反函数
（三）
函数的性质
有界性
f（x）
M
x
I
周期性f（xT）f（x）
奇偶性f（x）f（x）,f（x）f（x）
单调性f（x）f（y）xyI
精品文档
时间
分配
20m
第1页共页
.
精品文档
讲稿部分
时间
教学过程
分配
20m
Example1.f（x）
x
x
x
R
g（x）
x2
x
0
求f
gx
2
x
x
0
x
（
x）
x
0
g（x）
|g（x）|
2
0
Solution
fg
x
=
2
2
2
x
x
x2
x
0
2
Example2.
已知f（x）
x
fn（x）
f{f[L
f（x）L]}
，
求fn（x）
1
x2
Solution设f（x）
f1（x）
f
2（x）
f{f1（x）}=
x
由数学归纳法
1
2x2
fn（x）
x
1
nx2
Example3.证明f（x）
xnex2
为R上的有界函数。
二、实数完备性定理
在研究数列极限以前，我们要讨论一下极限存在的环境问题。
它是数学分析的另一个基础：
实数系和它的完备性。
所谓完备性，实质
上就是对极限运算的“封闭性”。
正因为实数系有完备性（或连续统），所以在实数系中讨论极限问题时才没有后顾之忧。
定理1.1Contor闭区间套定理，
定理1.2（Bolzano--Weierstrass定理）任何的有界数列必有收敛子列
（列紧性）。
定理1.3（完备性定理）数列收敛的充要条件是它为基本数列。
第2页共页
.
精品文档
讲稿部分
时间
教学过程
分配
定理1.4（单调收敛定理）单调有界数列必收敛。
20m
定理1.5（确界存在定理）上有界的数集必有上确界；下有界的数集
必有下确界。
定理1.6（Heine－Borel有限覆盖定理）
三、概念辨析与问题证明
1、区间套与有限覆盖定理的应用
区间套定理通常用于将函数在某一闭区间上成立的性质归结为在某点邻域的
性质，体现了整体收缩为局部的特点。
他所证明的结论涉及到某一点的问题，
例如，闭区间上连续函数的零点存在性问题，有界数列存在收敛子列问题等。
而有限覆盖定理得作用与区间套定理相反，它是把函数在每点某邻域的性质拓展
为函数在闭区间上所共有的性质。
例如函数在闭区间上逐点连续推出函数在闭区间
上一致连续。
区间套与有限覆盖定理是同一事物的两个方面，可以相互转化，从
反证法的观点来看，局部点的反面变成了整体，，反之亦然。
Example4.若函数f（x）在[a,b]上有定义恒取正值，x[a,b]
limf（x）=A0则f（x）在[a,b]上必有正的下界。
xx
2聚点与聚点定理
Ea是E的聚点，0,U0（a,）E
聚点是对数集而言，极限是对数列而言。
聚点不一定是极限点，极限点也不一
定是聚点。
当收敛数列有无穷项相异时，则极限点比为聚点。
Example2.a
，a不是E的聚点，但数列有极限。
1,1
2,1
3,
1
n有聚点但不是没有极限点
2
3
n
第3页共页
.
精品文档
讲稿部分
教学过程
时间
分配
聚点的等价定义：
a是E的聚点，以下三个定义等价：
20m
I
0,
U（a,
）含有E的无穷多个点
II
0,
U0（a,
）含有E内至少一个点
III
{xn}
E{xn
xm,n
m},
使得limxn
a
n
3．确界原理应用举例
Example5.设函数f（x）
在[a,b]上单调递增，且a
f（a）f（b）b
证明
x0
（a,b）使得f（x0）
x0
proof：
E
{x|f（x）
x,x
[a,b]}
由a
E，E非空有上界b，
必有上确界x0
supE
欲证
f（x0）
x0
xE,x
x0
f（x）单增
x
f（x）
f（x.0）
f（x.0）是E
的一个上界，所以
x0
f（x.0）
（1）
又f（x）单增，a
x0
f（x.0）
f（b）
b
得到f（x0）
f{f（x.0）}即f（x0）
E
f（x.0）
x0
（2）
由
（1）
（2）知道f（x0）x0
3.致密性定理应用举例
Example6.设函数f（x）C[a,b]，且有唯一最值点x0[a,b]，若
{xn}a,b{xn}[a,b]
且limf（xn）f（x0）证明limxnx0
nn
proof：
Iflimxnx000xnkxns.t|xnkx0|0
n
{xnk}[a,b]为有界数列，有收敛的子列记作{xnk}
第4页共页
.
精品文档
讲稿部分
教学过程
时间
分配
并记limxnk
x*
x*
x
再由
f（x）
20m
C[a,b]
k
显然
0
f（x0）
limf（xn）
limf（xnk）
f（x*）
n
k
这与x0为f（x）的唯一最值点矛盾。
4．多种方法证明
Example7.设函数f（x）在[a,b]上只有第一类间断点（可以有无穷多个），证明
f（x）在[a,b]上有界
1．proof：
（致密性定理）反证，若
f（x）在[a,b]上无界，存在n
N，可
找出xn
[a,b]
s.t|f（xn）|
n，xn
[a,b]有界，必有收敛的子列{xnk}
limxnk
x*
[ab,]x
x0时f（x）在[a,b]上无界。
k
小结：
掌握函数的各种性质，理解初等函数的概念及复合运算。
第5页共页
.
精品文档
讲稿部分
教学过程
作业题
1
f（x）
x
x
R
toshowfff
x
x,
求f
1
x
f（x）
1
2
试证f（x）
sin
x
不是周期函数
n,
x
m
互质
3
证明
fx
n
m,n
0，1
每一点都有有限值，但每一点的
x
0,x0,1,x无理数
邻域内函数无界。
4
证明
3是满足不等式r
2
3一切正有理数的下确界。
5
已知f（x）在a,b
上有定义，在每一点极限存在，证明
f（x）在a,b
上有界
6．设函数f（x）
C[0,
）且有界，
R，f（x）=
在[0,
）至多有有
时间
分配
35m
限实根，证明limf（x）存在
x
第6页共页
.
精品文档
《数学分析选讲》教案
2
授课时间
2005年9月14日第3周星期三第二大节
授课6403
实到117
地点
人数
授课题目
数列极限，实数理论
授课专业
信息与计算
班级
科学
教学目的
1掌握数列的概念、性质和运算的方法。
2．掌握数列收敛的判别方法，并会熟练运用，证明有关问题
.
与
教学要求
主
要
内
容
重点与难点
教学方法手段（教具）
1、数列极限概念、性质，唯一性、有界性、包号性、保序性、
迫敛性。
（Bolzano--Weierstrass定理）任何的有界数列必有收
敛子列（列紧性），柯西基本列。
2、收敛数列判别单调收敛定理、单调有界数列必收敛。
海因定理。
Stolz定理，压缩影响原理
3、判别法应用及运算技巧
重点：
各种判别法。
难点：
运算技巧
讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合
数学分析，高等数学，2005年数学研究生考题参考资料2006年高等数学考试测试题
课后作业与作业1.2.3.4.5.6
思考题思考题：
各种判别法相互关系。
教学后记
.
精品文档
讲稿部分
教学过程
第二讲数列的极限
数学分析的最根本的概念是极限。
数学分析所有的概念都基于极限。
如数列极
限，函数极限，连续，导数，积分等的定义都是某种类型的极限。
（一）基本概念和定理
limxnx0
xnx0
0
N,nN,|xn_x0|
n
1．性质唯一性，有界性，保号性，保序性迫敛性
2．四则运算
0,
|q|
1
3．几个公式
lim|q|n
1,
|q|
1
n
|q|1
lim（1
a）n
ea
n
n
limnsina
a
n
n
4常用收敛判别方法
（1）CauchyPrinciple,
（2）单调有界定理，（3）两面夹定理，
（4）Stolz定理。
（5）压缩映像原理，（6）定积分法
5三个不等式
（1）BernulliInequality
（1
a）n
1
na,
a
2
n
2
n
|ab
2
n
n
（2）SchwarzInequality
ab
|
ak2
bk2
k
k
kk
k
1
k
1
k1
k1
1
n
n
1
n
ak
ak
（3）AGInequality
n
k
1
k1
时间
分配
20m
第1页共页
.
讲稿部分不
教学过程
（二）应用举例
|q|n
0,
|q|
1
Example1
lim
1/2,
|q|
1
1
n
n
|q|
1,
|q|
1
Example2
lim（1
a）n
ea/2
n
2n
Example3
limn2sinatanb
ab
n
n
n
Example4
用CauchyPrinciple证明调和级数
1
发散。
n1n
Example5
用单调有界定理证明
x0
a
0
a
xn
sinxn1
证明
2
limxn
0
proof
x0
a
0
a
0
xn
2
2
xn
sinxn
1
xn
1单调递减下确界为零
Example6
设a1,b1为两正实数，a1
b1
an
2an1bn1
bn
an1bn1
an
bn
1
1
证明
an,
bn
收敛，并有相同的极限。
proof
Let
cn
1,
dn
1
an
bn
精品文档
时间
分配
20m
第2页共页
.
精品文档
讲稿部分
教学过程
时间
分配
then
cn
1
1
1
1
1
cn
dn1
20m
an
（
an1
bn
）
1
2
1
2
dn
1
cn
1.dn
1
bn
cn
dn
byAGInequality
cn
1cn1
dn1
1cn1
cn1
cn1,
2
2
dn
1
cn1.dn1
dn1
bn
c1c2Lcn1cndn
dn1Ld2d1
limc
1,limd
1,
limal,
limb
s
n
n
l
n
n
s
n
n
n
n
l
2ls,
s
ls
l
s
l
s
（三）压缩映像原理
1．压缩数列
x
|xn
xn1|
r|xn1
xn2|,
n
1,2,K,0
r1
n
2．压缩函数|
f（x1）
f（x2）|
r|x1
x2|
0
r
1
3有界变差数列
x
|xn
xn1|
|xn1
xn2|
L
|x2
x1|
M
n
第3页共
页
.
精品文档
讲稿部分
教学过程
Theorem有界变差数列，压缩数列均收敛
proof先证有界变差数列收敛
y10,y2|x2x1|L
yn|xnxn1||xn1xn2|L|x2x1|
yn单调地递增有上界故收敛
|ynym||xnxn1||xn1xn2|L|xm1xm||xnxm||xnxn1||xn1xn2|L|xm1xm|
xn收敛
再证压缩数列收敛
x
|xnxm||xn1
xn2|
n
|
xn2
xn3|
|xn
3
xn4|L
|xm1xm|
rn2|x2x1|+rn3|x2
x1|+L
rm1|x2
x1|
rm1|x
x|1
0,
m
2
1
r
1
2．压缩函数|f（x1）
f（x2）|r|x1
x2|
0r
1
压缩函数列应用
设f（x）
x
2.x01,xn1f（xn）n0,1,2
x
1
证明limxn
2
n
时间
分配
20m
.
精品文档
第4页共页
讲稿部分
教学过程
时间
升级会员 