数学分析总结计划选讲学习的教案doc.docx

1、数学分析总结计划选讲学习的教案doc精品文档数学分析选讲教案1授课时间2005 年 9 月 12 日第 3 周星期一 第 四 大节授课 6402实到 117地点人数授课题目函数的概念与性质、实数理论授课专业信息 与计 算班级科学教学目的1.掌握函数的概念、性质和运算的方法。2.理解实数理论的完备性，并会熟练运用，证明有关问题,.与教学要求1、各种符号，函数的概念，几类重要函数，函数的性质，定理 1.1 Contor 闭区间套定理，定理 1.2 （Bolzano -Weierstrass主定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性） ，定理 1. 3 (完要备性定理 ) 数列收敛的充要条件是它为基

2、本数列。定理 1.4 （单内容重点与难点教学方法手段（教具）调收敛定理） 单调有界数列必收敛。 定理 1.5 （确界存在定理）上有界的数集必有上确界；下有界的数集必有下确界。定理 1.6（HeineBorel 有限覆盖定理）重点：函数的性质和实数理论。难点：实数理论讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合数学分析，高等数学， 2005 年数学研究生考题参考资料 2006 年高等数学考试测试题课后作业与 作业 1.2.3.4.5.6思考题 思考题：六个实数完备性定理的相互证明。教学后记.讲稿部分教学过程第一讲：函数的概念与性质，实数理论一、函数的概念与性质（一）常用符号 N, Z, R,U 0x0

3、 ,Ux0 ,Ux0DDC a, bD a, b R a, b Ta, b T(二)函数的概念1.函数的定义2.几个重要函数分段函数1x0符号函数Sgn( x)0x01x01,xqpDirichlet函数 D ( x)q0, xp1xp(0,1)qxRinmann 函数 R( x)qp0x0,1xq3.初等函数4.周期函数5.奇偶函数6.复合函数7. 反函数(三 )函数的性质有界性f ( x)MxI周期性 f ( x T ) f ( x)奇偶性 f ( x) f ( x), f ( x) f (x)单调性 f (x) f ( y) x y I精品文档时间分配20m第 1 页 共 页.精品文档讲

4、稿部分时间教学过程分配20mExample 1. f (x)xxxRg( x)x2x0求 fg x2,xx0,x(x)x0g( x)| g( x) |20Solutionf gx=222xxx2x02Example 2.已知 f (x)xf n ( x)f f Lf (x) L ，求 fn (x)1,x 2Solution 设 f (x)f1 ( x)f2 ( x)f f1 (x) =x由数学归纳法12x2f n ( x)x1nx2Example 3. 证明 f (x)xn e x2为 R 上的有界函数。二、实数完备性定理在研究数列极限以前，我们要讨论一下极限存在的环境问题。它是数学分析的另一

5、个基础：实数系和它的完备性。所谓完备性，实质上就是对极限运算的 “封闭性 ”。正因为实数系有完备性（或连续统） ，所以在实数系中讨论极限问题时才没有后顾之忧。定理 1.1 Contor 闭区间套定理，定理 1.2 （Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性）。定理 1. 3 (完备性定理 ) 数列收敛的充要条件是它为基本数列。第 2 页 共 页.精品文档讲稿部分时间教学过程分配定理 1.4 （单调收敛定理） 单调有界数列必收敛。20m定理 1.5 （确界存在定理）上有界的数集必有上确界；下有界的数集必有下确界。定理 1.6 （HeineBorel 有限覆

6、盖定理）三、概念辨析与问题证明1、区间套与有限覆盖定理的应用区间套定理通常用于将函数在某一闭区间上成立的性质归结为在某点邻域的性质，体现了整体收缩为局部的特点。他所证明的结论涉及到某一点的问题，例如，闭区间上连续函数的零点存在性问题，有界数列存在收敛子列问题等。而有限覆盖定理得作用与区间套定理相反，它是把函数在每点某邻域的性质拓展为函数在闭区间上所共有的性质。 例如函数在闭区间上逐点连续推出函数在闭区间上一致连续。 区间套与有限覆盖定理是同一事物的两个方面，可以相互转化，从反证法的观点来看，局部点的反面变成了整体， ，反之亦然。Example 4. 若函数 f (x) 在 a,b 上有定义恒取

7、正值， x a,blim f (x) = A 0 则 f (x) 在a, b 上必有正的下界。x x2聚点与聚点定理E a 是 E 的聚点， 0, U 0 (a, ) E聚点是对数集而言， 极限是对数列而言。 聚点不一定是极限点， 极限点也不一定是聚点。当收敛数列有无穷项相异时，则极限点比为聚点。Example 2. a， a 不是 E 的聚点，但数列有极限。1, 1, 2, 1, 3, 1, n 有聚点但不是没有极限点23n第 3 页 共 页.精品文档讲稿部分教学过程时间分配聚点的等价定义： a 是 E 的聚点，以下三个定义等价：20mI0,U (a,) 含有 E 的无穷多个点II0,U 0

8、 (a,) 含有 E 内至少一个点III xn E xnxm ,nm,使得 lim x nan3确界原理应用举例Example 5. 设函数 f (x)在 a,b 上单调递增，且 af (a) f (b) b证明x0(a,b) 使得 f ( x0 )x0proof ： E x | f (x)x, xa,b由 aE ， E 非空有上界 b ，必有上确界 x0supE欲证f ( x0 )x0x E, xx0f (x) 单增xf (x)f (x.0 )f (x.0 ) 是 E的一个上界，所以x0f ( x.0 )（1）又 f (x) 单增， ax0f ( x.0 )f (b)b得到 f ( x0 )

9、f f ( x.0 ) 即 f ( x0 )Ef ( x.0 )x0（2）由（ 1）（2）知道 f (x0 ) x03.致密性定理应用举例Example 6. 设 函 数 f (x) C a, b ， 且 有 唯 一 最 值 点 x0 a, b ， 若 xn a,b xn a, b且 lim f ( xn ) f ( x0 ) 证明 lim xn x0n nproof ： If lim xn x0 0 0 xnk xn s.t | xnk x0 | 0n xnk a, b 为有界数列，有收敛的子列记作 xnk 第 4 页 共 页.精品文档讲稿部分教学过程时间分配并记 lim xnkx*x*x再

10、由f (x)20mC a, bk显然0f ( x0 )lim f ( xn )lim f ( xnk )f ( x*)nk这与 x0 为 f ( x) 的唯一最值点矛盾。4多种方法证明Example 7. 设函数 f (x) 在 a,b 上只有第一类间断点（可以有无穷多个） ，证明f (x) 在 a,b 上有界1 proof ：（致密性定理）反证，若f (x) 在 a,b 上无界，存在 nN ，可找出 xn a, bs.t | f (xn ) |n ， xn a, b 有界，必有收敛的子列 xnk lim xnkx*ab, xx0 时 f (x) 在 a,b 上无界。k小结：掌握函数的各种性质

11、，理解初等函数的概念及复合运算。第 5 页 共 页.精品文档讲稿部分教学过程作业题1f ( x)x,xRto show f f fxx ,求 f1xf ( x)12试证 f (x)sinx不是周期函数n,xm互质3证明f xn,m, n0，1每一点都有有限值， 但每一点的x0, x 0,1, x无理数邻域内函数无界。4证明3 是满足不等式 r23 一切正有理数的下确界。5已知 f (x) 在 a, b上有定义，在每一点极限存在，证明f (x) 在 a, b上有界6设函数 f (x)C0,) 且有界，R ， f (x) =在 0,) 至多有有时间分配35m限实根，证明 lim f ( x ) 存

12、在x第 6 页 共 页.精品文档数学分析选讲教案2授课时间2005 年 9 月 14 日第 3 周星期三 第二 大节授课 6403实到 117地点人数授课题目数列极限，实数理论授课专业信息 与计 算班级科学教学目的1 掌握数列的概念、性质和运算的方法。2掌握数列收敛的判别方法，并会熟练运用，证明有关问题,.与教学要求主要内容重点与难点教学方法手段（教具）1、数列极限概念、 性质，唯一性、有界性、包号性、保序性、迫敛性。（Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性），柯西基本列。2、 收敛数列判别 单调收敛定理、 单调有界数列必收敛。海因定理。 Stolz

13、定理，压缩影响原理3、 判别法应用及运算技巧重点：各种判别法。难点：运算技巧讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合数学分析，高等数学， 2005 年数学研究生考题参考资料 2006 年高等数学考试测试题课后作业与 作业 1.2.3.4.5.6思考题 思考题：各种判别法相互关系。教学后记.精品文档讲稿部分教学过程第二讲 数列的极限数学分析的最根本的概念是极限。数学分析所有的概念都基于极限。如数列极限，函数极限，连续，导数，积分等的定义都是某种类型的极限。（一）基本概念和定理lim xn x0xn x00N , n N , | xn _ x0 |n1性质 唯一性，有界性，保号性，保序性迫敛性2四则

14、运算0,| q |13几个公式lim | q |n1,| q |1n, | q | 1lim (1a) neannlim n sin aann4常用收敛判别方法（1）Cauchy Principle, （ 2）单调有界定理，（3）两面夹定理，（4）Stolz 定理。 （5）压缩映像原理，（ 6）定积分法5 三个不等式（1）Bernulli Inequality(1a)n1na,a2n2n| a b2nn(2) Schwarz Inequalitya b|ak2bk2kkk kk1k1k 1k 11nn1nakak(3)AG Inequalitynk1k 1时间分配20m第 1 页 共 页.讲稿

15、部分不教学过程（二）应用举例| q |n0,| q |1Example1lim1/ 2,| q |11nn| q |1,| q |1Example 2lim (1a ) nea / 2n2nExample 3lim n2 sin a tan babnnnExample 4用 Cauchy Principle 证明调和级数1发散。n 1 nExample 5用单调有界定理证明x0a0axnsin xn 1证明2lim xn0proofx0a0a0xn22xnsin xn1xn1单调递减 下确界为零Example 6设 a1, b1 为两正实数， a1b1an2an 1bn 1bnan 1bn 1

16、anbn11证明an ,bn收敛，并有相同的极限。proofLetcn1 ,dn1anbn精品文档时间分配20m第 2 页 共 页.精品文档讲稿部分教学过程时间分配thencn11111cndn 1,20man(an 1bn)1212dn1cn1 .dn1bncndnbyAG Inequalitycn1 cn 1dn 11 cn 1cn 1cn 1 ,22dn1cn 1.dn 1dn 1bnc1 c2 L cn 1 cn dndn 1 L d2 d1limc1, limd1,lima l,limbsnnlnnsnnnnl2ls ,slslsls（三） 压缩映像原理1压缩数列x| xnxn 1

17、|r | xn 1xn 2 |,n1,2,K ,0r 1n2压缩函数 |f ( x1 )f ( x2 ) |r | x1x2 |0r13 有界变差数列x| xnxn 1 |xn 1xn 2 |L|x2x1 |Mn第 3 页 共页.精品文档讲稿部分教学过程Theorem有界变差数列，压缩数列均收敛proof 先证有界变差数列收敛y1 0, y2 | x2 x1 | Lyn |xn xn 1 | | xn 1 xn 2 | L | x2 x1 |yn 单调地递增有上界 故收敛| yn ym | | xn xn 1 | |xn 1 xn 2 | L | xm 1 xm | |xn xm | | xn

18、 xn 1 | | xn 1 xn 2 | L | xm 1 xm |xn 收敛再证压缩数列收敛x| xn xm | | xn 1xn 2 |n|xn 2x n 3 | x n3xn 4 | L| xm 1 xm |r n 2 | x2 x1 | + r n 3 | x2x1 | +Lr m 1 | x2x1 |r m 1 | xx | 10,m21r12压缩函数 | f ( x1 )f ( x2 ) | r | x1x2 |0 r1压缩函数列应用设 f ( x)x2 . x0 1, xn 1 f ( xn ) n 0, 1, 2x1证明 lim xn2n时间分配20m.精品文档第 4 页 共 页讲稿部分教学过程时间