江苏南京中考数学试题解析版.docx

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江苏南京中考数学试题解析版

江苏省南京市2011年初中毕业生学业考试数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

1...9的值等于

A.3B.-3C.±3D..3

【答案】A.

【考点】算术平方根。

【分析】利用算术平方根的定义，直接得出结果

2.下列运算正确的是

A.a2+a3=a5B.a2?

a3=a6C.a3*a2=aD.（a2）3=a8

【答案】C.

【考点】指数运算法则。

【分析】a3*a2=a=a3-2=a

3.在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为人口用科学记数法表示约为

800万人，其中65岁及以上人口占9.2%.则该市65岁及以上

A.0.736X106人B.7.36X104人

【答案】C.

【考点】科学记数法。

【分析】利用科学记数法的定义，直接得出结果

C.7.36X105人D.7.36X106人

:

8000000X9.2%=736000=7.36X105.

4.为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是

A.随机抽取该校一个班级的学生

B.随机抽取该校一个年级的学生

C.随机抽取该校一部分男生

D.分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取10%的学生

【答案】D.

【考点】随机抽样样本的抽取。

【分析】D是最合适的.

5.如图是一个三棱柱，下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是

【答案】B.

【考点】图形的展开与折叠。

【分析】只有B才能通过折叠围成只有一个底的三棱柱

6.如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心是（2，a）（a>2），半径为2，

函数y=x的图象被OP的弦AB的长为2.3，贝Ua的值是

A.2-3B.2.2C.2-3D.23

【答案】B.

【考点】弦心距，四点共圆,300和450直角三角形.

【分析】连结PA,PB,过点P作PE丄AB于E,作PF丄X轴于F,交AB于G,

在RtPAE中，AE3,,PA2PE1.QPEABPFOF,P.O,F,E四点共圆

在EPG中EPGGOF450PG2•在FGO中FGOG2.因此a=PG+FG=2+2.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7.—2的相反数是.

【答案】2.

内角和是540,再除以5即得每一个内角等于

【考点】相反数。

【分析】利用相反数的定义，直接得出结果

8.如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线I//CD，贝U

Z1=.

【答案】360

【考点】n边形的内角和。

【分析】利用n边形的内角和定理，直接得出正五边形的

108°,（180°-108°）/2=36°

9•计算（-.21）（2,2）=

【答案】2.

【考点】根式计算，平方差公式。

【分析】（.21）（2,2）.2（.21）（、、21）.221、2

10.等腰梯形的腰长为5cm，它的周长是22cm，则它的中位线长为cm.

【答案】6.

【考点】等腰梯形的中位线。

【分析】等腰梯形的周长=上底+下底+2腰长=上底+下底+10=22,即上底+下底=12,从而中位线=（上底+下底）/2=6.

11.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，

再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则

cos/AOB的值等于.

【答案】1.

2

【考点】等边三角形和特殊角直角三角形值。

【分析】利用等边三角形内角60°的性质和特殊角直角三角形值，直接得出结果

【答案】2.3.

【考点】等边三角形的判定和性质，菱形面积。

【分析】QE是AB中点，且DE丄ABDBA为等边三角形

1

Sdba2厂「3菱形面积为23

13.如图，海边有两座灯塔

A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的

分）区域内，/AOB=80°，为了避免触礁，轮船

P与A、B的张角/APB的

AB

弧是OO的一部最大值为

【答案】40.

【考点】同弦所对的圆周角是圆心角的一半。

【分析】为了避免触礁，轮船P与A、B的张角/APB的最大值是轮船P落在圆周上，利用同弦所对的圆周角是圆

心角的一半，直接得出结果。

14.如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接

ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角为a（0°

a=

【答案】90°.

【考点】图形的旋转。

【分析】从AE转到BC可直接观察到。

【考点】一次函数，反比例函数,

2

【分析】Q函数y三与yxx

11

ab=2，ba=1，

ab

2一11

15.设函数y—与yx1的图象的交点坐标为（a,b）,则一一的值为

xab

【答案】1.

2

代数式变换。

2

1的图象的交点坐标为（a,b）,b一，yb1

a

ba=1

ab2

16.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定:

①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为

1、2、3、4，接着甲报5、乙报6

按此规律,

后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1,当报到的数是50时，报数结束；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手

甲

乙

丙

丁

甲

乙

丙

丁

甲

乙

丙

丁

甲

乙

丙

丁

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

的次数为

【答案】4.

【考点】分析题。

【分析】列表

表中可见。

、解答题（本大题共12小题，共88分）

52x>3

17.（6分）解不等式组x1x，并写出不等式组的整数解.

>-

32

【答案】解：

"5+2a>3①

■

x+L工„

>②

L32

解不等式①得：

x1解不等式②得：

x2

所以，不等式组的解集是1x2•不等式组的整数解是1,0,1.

【考点】不等式组。

【分析】利用不等式组的求解方法，直接得出不等式组的解集，再列出整数解。

18.（6分）计算（-y旦

a

兀）

b2a

b

ba

【答案】解:

a

a2b2ab

aabb

（ab）（ab）（ab）（ab）ba

（ab）（ab）b

直接得出结果

⑴求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数；

⑵小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：

“训练后第二组男生引体向上个数

没有变化的人数占该组人数的50%，所以第二组的平均数不可能提高3个这么多.”你同意小明的观点吗？

请说明

理由；

⑶你认为哪一组的训练效果最好？

请提出一个解释来支持你的观点.

【考点】分式运算法则，平方差公式。

【分析】利用分式运算法则，平方差公式,

19.（6分）解方程x2—4x+仁0

•••四边形ABCD是平行四边形，•ZABC=ZD，又tZAFC=2Zd,•ZAFC=2ZABC.•/ZAFC=ZABF+ZBAF,•ZABF=ZBAF.•FA=FB.

⑵①当50x80时，设y与x的函数关系式为ykxb.

根据题意，当x50时，y1950;当x80,y3600.

解得

广上=55

所以，y与x的函数关系式为y55x800.

②缆车到山顶的路线长为3600-2=1800（m）,

缆车到达终点所需时间为1800-180=10（min）.

小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60（min）.

把x60代入y55x800，得y=55x60—800=2500.

所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100（m）.

【考点】一次函数。

【分析】⑴看图可知，小亮行走的总路程是3600m,他途中休息了50-30=20_min.

⑵当50

由路程，速度，时间的关系求出缆车到达终点所需时间，从而求出小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间

代入函数关系式即得小亮离缆车终点的路程•

23.（7分）从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奥会志愿者.求下列事件的概率：

⑴抽取1名，恰好是女生；

⑵抽取2名，恰好是1名男生和1名女生.

2

【答案】解:

⑴抽取1名，恰好是女生的概率是2.

5

⑵分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这五位同学，从中任意抽取2名，所有可能出现的结果有:

（男1,男2）,（男1,男3）,（男1,女1）,（男1,女2）,（男2,男3）,（男2,女1）,（男2,女2）,（男3,女1）,（男3,女2）,（女1，女2）,共10种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足抽取2名，恰好是1名男

GQ

生和1名女生（记为事件A）的结果共6种，所以P（A）=—3.

105

【考点】概率。

【分析】列举出所有情况，求出概率

24.（7分）已知函数y=mx2—6x+1（m是常数）.

⑴求证：

不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.

【答案】解：

⑴当x=0时，y1.

所以不论m为何值，函数

2

mx6x1的图象经过y轴上的一个定点（0,1）.

所以（6）24m

综上，若函数ymx26x1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.

【考点】一，二次函数，二次函数与一元二次方程的关系.

【分析】⑴由于二次函数的常数项为1,故x=0时，y1得证.

（m）.

答：

电视塔高度约为120m.

解直角三角形。

【考点】

【分析】

欲求AB,由BCA450只要求出CA,

在RtBAE中，tan

BEA=里，故只要求出EC,EC由EC=

EA

DC

求得.

tanDEC

26.（8分）如图，在RtAABC中，/ACB=90°,

P为BC的中点.动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度

6

动，以P为圆心，PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为ts.

⑴当t=1.2时，判断直线AB与OP的位置关系，并说明理由;

⑵已知OOABC的外接圆，若OP与OO相切，求t的值.

【答案】解:

⑴直线AB与OP相切.

如图，过点P作PD丄AB,垂足为D.

在Rt△ABC中，/ACB=90°•/AC=6cm,BC=8cm,

二ABAC2BC210cm.vp为bc的中点，二PB=4cm.

•••/PDB=ZACB=90°/PBD=ZABC.a^PBDABC.

PDPBPD4

，即，•••PD=2.4（cm）.

ACAB610

当t1.2时，PQ2t2.4（cm）

PDPQ，即圆心P到直线AB的距离等于OP的半径.

•直线AB与OP相切.

⑵/ACB=90°•ABABC的外切圆的直径.

1

•-OBAB5cm.

2

1

连接OP.vP为BC的中点，•OP-AC3cm.

2

v点P在OO内部，•OP与OO只能内切.

•52t3或2t53,•t=1或4.

•OP与OO相切时，t的值为1或4.

【考点】直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，勾股定理，相似三角形，三角形中位线，直径所对的圆周角是900.

【分析】

（1）判断直线AB与OP的位置关系，即要求圆心P到直线AB的距离与圆半径PQ的关系即可.PQ很易求出为2.4;求圆心P到直线AB的距离就应作辅助线：

过点P作PD丄AB,垂足为D,由厶PBDABC求出，从而得出结论.

⑵OP与OO相切，两圆的圆心距等于两半径之差，故只要求出圆心距0P和两圆半径即可求得.

27.（9分）如图①，PABC内一点，连接FA、PB、卩6在厶PAB、△PBC和厶FAC中,

如果存在一个三角形与厶ABC相似，那么就称PABC的自相似点.

⑴如图②，已知RtAABC中，/ACB=90°,/ACB>ZA,CD是AB上的中线，过点B作BE丄试说明E是厶ABC的自相似点.

⑵在△ABC中，/A

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点

P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似

CD，垂足为E,

点，求该三角形三个内角的度数.

【答案】解：

⑴在Rt△ABC中，/ACB=90°CD是AB上的中线,

CD-AB,•CD=BD.2

•/BCE=ZABC.vBE丄CD，•/BEC=90°BEC=ZACB.•△BCEABC.

•E是厶ABC的自相似点.

⑵①作图略.作法如下：

（i）在/ABC内，作/CBD=ZA;（ii）在/ACB内，作/BCE=ZABC;

BD交CE于点P.贝UPABC的自相似点.

②连接PB、PC.vPABC的内心,

PBC丄ABC,PCB丄ACB.

22

vPABC的自相似点，•△BCPs^ABC.

:

丄PBC=ZA,/BCP=ZABC=2/PBC=2/A,/ACB=2/BCP=4/A.•••/A+/ABC+/ACB=180°/•/A+2/A+4/A=180°.

180O

该三角形三个内角的度数分别为

oo

180360

720O

7

【考点】直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，等腰三角形，相似三角形，尺规作图，三角形内心，三角形内角和

定理。

【分析】⑴由直角三角形斜边的一半等于斜边的一半知△CDB是等腰三角形，从而得对应角/BCE=/ABC.从而

由两个都是直角三角形证•

⑵①由相似三角形两个角相等的判定，分别作出两个角昂即可得到•

②由三角形内心是角平分线的交点和相似三角形对应角相等的性质推出三个角之间的关系，再应用三角

形内角和定理求解•

28.（11分）问题情境：

已知矩形的面积为a（a为常数，a>0）,当该矩形的长为多少时，它的周长最小？

最小

值是多少?

2（xa）（x>0）.

x

数学模型：

设该矩形的长为x,周长为y，则y与x的函数关系式为y

探索研究：

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数

2观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

3在求二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还

、1

可以通过配方得到.请你通过配方求函数yx（x>0）的最小值.

x

解决问题：

⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案.

x

1

4

1

3

1

2

1

2

3

4

y

17

10

5

2

5

10

17

4

3

2

2

3

4

【答案】解:

⑴①

1

函数yx-（x0）的图象如图.

x

②本题答案不唯一，下列解法供参考.

x1（x0）的最小值为2.

x

1时，y随x增大而减小；当x1时,y随x增大而增大；当x1时函数y

⑵仿⑴③y2（xa）=

x

=2（仮）2（£）2

=2Ox）2

（/2匸2&，:

=2（以j4（

【考点】画和分析函数的图象，配方法求函数的最大（小）值.

【分析】⑴将x值代入函类数关系式求出y值，描点作图即可.然后分析函数图像

所以，当上「=0，即x、、a时，函数y

⑵当该矩形的长为

a时，它的周长最小，最小值为4罷.

2（xa）（x>0）的最小值为4、書

x