几何模型一线三等角模型知识讲解.docx
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几何模型一线三等角模型知识讲解
几何模型:
一线三等型模角.
一线三等角模型
一.一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼,“K形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类
全等篇
DDCDCCBABAPPABP同侧
锐角直角钝角
DD
D
APAABPPBBCCC异侧
相似篇
DDCDCCBABAPPABP同侧
钝角直角锐角
DD
D
APABPBAPBCCC异侧
三、“一线三等角”的性质BDE.
∽△,易得△AEC一般情况下,如图3-1,由∠1=∠2=∠31.BDE.
AEC≌△当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如图3-1,若CE=ED,则△2.
3.中点型“一线三等角”中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE.如图3-2,当∠1=∠2=∠3,且D是BC
)了解4.“中点型一线三等角“的变式(1?
?
BOC?
BAC90?
?
时,点O是△ABC的内心如图3-3,当∠1=∠2且.可以考虑构2造“一线三等角”.
如图3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关,
1?
BOC?
90?
?
?
BAC这是内心的性质,反之未必是内心.
2
在图3-4(右图)中,如果延长BE与CF,交于点P,则点D是△PEF的旁心.
5.“一线三等角”的各种变式(图3-5,以等腰三角形为例进行说明)
图3-5
其实这个第4图,延长DC反而好理解.相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?
不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题
四、“一线三等角”的应用.
1.“一线三等角”应用的三种情况.
a.图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题;
b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题;
c.图形中只有直线上一个角,不上“二等角”构造模型解题.
体会:
感觉最后一种情况出现比较多,尤其是压轴题中,经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时,我经常构造“一线三等角”来解题.
2.在定边对定角问题中,构造一线三等角是基本手段,尤其是直角坐标系中的张角问题,在x轴或y轴(也可以是平行于x轴或y轴的直线)上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.
3.构造一线三等角的步骤:
找角、定线、构相似
坐标系中,要讲究“线”的特殊性
如图3-6,线上有一特殊角,就考虑构造同侧型一线三等角
当然只加这两条线通常是不够的,为了利用这个特殊角导线段的关系,过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。
两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
上面就是作辅助线的一般程序,看起来线条比较多,很多老师都认为一下子不容易掌握.
解题示范.
y?
?
x?
4与坐标轴分别交于A、B两点,点例1如图所示,一次函数P是线段AB上一个动点(不包括A、B两端点),C是线段OB上一点,∠OPC=45°,若△OPC是等腰三角形,求点P的坐标.
例2如图所示,四边形ABCD中,∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°,AE⊥BC于E,∠ADE=67.5°,AB=6,则CE=.
例3如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,∠ACD=45°,AB=3,AD=5.求BC
的长.
例4如图,△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC,BD=2,CD=3,求AD的长.
一线三等角,补形最重要,内构勤思考,外构更精妙.找出相似形,
比例不能少.巧设未知数,妙解方程好
还是可以纵横斜三个方向构造,坐标系中一般考虑纵横两个方向构造
2AB,AD⊥ACBAC=135°,交BC于点AC=D,中,∠5例如图,在△ABC
2,求△ABC若AD=的面积
当然有45°或135°等特殊角,据此也可以构造不同的一线三等角
一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起,是相似集中条件的一种.
大练身手:
例7:
在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(0,3),C(3,0),D-=2S.S,且交轴于E是线段AB上一点,CDyAOBBCE△△
(1)求直线AB的解析式;
(2)求点D的坐标,猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系,并说明理由;
(3)若F为射线CD上一点,且∠DBF=45°,求点F的坐标.y
B
DE
x
A
C
O
2交于A、B=ax两点(A与例8:
如图,直线=x2轴交于点C,与抛物线yyy+
在B的左侧),BC=2AC,点P是抛物线上一点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在直线AB的下方,求点P到直线AB的距离的最大值;
(3)若点P在直线AB的上方,且∠BPC=45°,求所有满足条件的点P的坐标.
y
B
C
A
x
O
练1:
.如图,抛物线的顶点为C(1,1),且经过点A、点B和坐标原点--O,点B的横坐标为3.-
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D为抛物线上的一点,且△BOD的面积等于△BOC的面积,请直接写出点D的坐标;
(3)若点E的坐标为(0,2),点P是线段BC上的一个动点,是否存在点P,使得∠OPE=45°?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
y
B
E
x
OA
C
课后作业:
如图,点A(0,-1),B(3,0),P为直线y=-x+5上一点,若∠APB=45°,求点P的坐标
在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,∠ACD=45°,AB=3,AD=4,求AC的长.
为等边三角形,求证:
上,△EFGABCD如图,正方形中,点E,F,G分别在AB,BC,CD3BE+GC=BC
:
2:
CD=2AB.BC,且△DBA,AC=求证ABC如图,△
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=,求BD的长55
如图,点A是反比例(X>0)图形上一点,点B是X轴正半轴上一点,点C的坐标为(0,2),点△ABC是等边三角形时,求点A的坐标.
2bx4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与ax=如图,抛物线yy++
1xm经过点A,与抛物线交于另一点D(5,=:
轴交于点C,直线ly-+-
2
7),点P是直线l上方的抛物线上的动点,连接PC、PD.
2
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△PCD为直角三角形时,求点P的坐标;
(3)设△PCD的面积为S,请你探究:
使S的值为整数的点P共有几个,说明理由.
y
C
l
x
B
A
O
D
2242?
y?
?
x
327与抛物线如图1.1,已知直线y=kx)(交于点A3,6.
OA的长度;=1)求直线ykx的解析式和线段(M交x轴于点,过点)点2P为抛物线第一象限内的动点,P作直线PM(,的垂线PM作直线Q再过点,Q于点OA交直线,不重合)O、M(点.
交y轴于点N.试探究:
线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?
如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重
合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探
究:
m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
y
y
PAA
E
Q
NB
x
xOD
M
O
1
图2
图
2ax=轴交于点C,抛物线2与x轴交于点A,与x如图,直线AC:
=2yyy++-
bxc(a>0)过A、C两点,与x轴交于另一点B(B在A的右侧),且△OBC+∽△OCA.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D为抛物线上一点,∠DCA=45°,求点D的坐标;
yy
CC
x
x
B
A
OB
OA
备用图