1、几何模型一线三等角模型知识讲解 几何模型:一线三等 型模角一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼, “K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 DD C DCCBABAPP ABP同侧 锐角 直角 钝角 DD D APAABPPBBCCC 异侧 相似篇 DD C DCCBABAPP ABP同侧 钝角直角 锐角 DD D APABPBAPBCCC 异侧 三、“一线三等角”的性质BDE. ,易得AEC一
2、般情况下,如图 3-1,由1=2=31.BDE. AEC当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如图 3-1,若 CE=ED,则2. 3.中点型“一线三等角” 中点时,BDECFDDFE.如图 3-2,当1=2=3,且 D 是 BC ) 了解4.“中点型一线三等角“的变式(1?BOC?BAC90?时,点 O 是ABC 的内心如图 3-3,当1=2 且.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关, 1?BOC?90?BAC这是内心的性质,反之未必是内心. 2 在图 3-4(右图)中,如果延长 BE 与 CF,交于点 P,则点 D 是PEF 的旁
3、心. 5.“一线三等角”的各种变式(图 3-5,以等腰三角形为例进行说明 ) 图 3-5 其实这个第 4 图,延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题; b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题; c.图形中只有直线上一个角,不上“二等角”构造模型解题. 体会:感觉最后一种情况出现比较多,尤其是压轴题中,经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时,我经常构造“一线三等角”来解题.
4、 2.在定边对定角问题中,构造一线三等角是基本手段,尤其是直角坐标系中的张角问题,在 x 轴或 y 轴(也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线)上构造一线三等角解决问题更是重要的手段. 3.构造一线三等角的步骤:找角、定线、构相似 坐标系中,要讲究“线”的特殊性 如图 3-6,线上有一特殊角,就考虑构造同侧型一线三等角 当然只加这两条线通常是不够的,为了利用这个特殊角导线段的关系,过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。 上面就是作辅助线的一般程序,看起来线条比较多,很多老师都认为一下子不容易掌握. 解题示范y?x?4与坐标轴分别交于 A、B 两
5、点,点例 1 如图所示,一次函数 P 是线段 AB 上一个动点(不包括 A、B 两端点),C 是线段 OB 上一点,OPC=45,若OPC 是等腰三角形,求点 P 的坐标. 例 2 如图所示,四边形 ABCD 中,C=90,ABD=DBC=22.5,AEBC 于 E,ADE=67.5,AB=6,则 CE= . 例 3 如图,四边形 ABCD 中,ABC=BAD=90,ACD=45,AB=3,AD=5.求 BC 的长. 例 4 如图,ABC 中,BAC=45,ADBC,BD=2,CD=3,求 AD 的长. 一线三等角,补形最重要,内构勤思考,外构更精妙.找出相似形, 比例不能少.巧设未知数,妙解
6、方程好 还是可以纵横斜三个方向构造,坐标系中一般考虑纵横两个方向构造 2AB, ADAC BAC=135,交 BC 于点 AC= D,中, 5 例如图,在ABC 2, 求ABC若 AD = 的面积 当然有45或 135等特殊角,据此也可以构造不同的一线三等角 一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起,是相似集中条件的一种 . 大练身手: 例7:在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(0,3),C(3,0),D2S S,且交轴于E是线段AB上一点,CDyAOBBCE (1)求直线AB的解析式; (2)求点D的坐标,猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系,并说明理由; (3)
7、若F为射线CD上一点,且DBF45,求点F的坐标 y B D E x A C O 2交于A、Bax两点(A与例8:如图,直线x2轴交于点C,与抛物线yyy 在B的左侧),BC2AC,点P是抛物线上一点 (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点P在直线AB的下方,求点P到直线AB的距离的最大值; (3)若点P在直线AB的上方,且BPC45,求所有满足条件的点P的坐标 y B C A x O 练1:.如图,抛物线的顶点为C(1,1),且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横坐标为3 (1)求抛物线的解析式; (2)若点D为抛物线上的一点,且BOD的面积等于BOC的面积,请直接写出点D的坐标; (3)
8、若点E的坐标为(0,2),点P是线段BC上的一个动点,是否存在点P,使得OPE45?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由 y B E x O A C 课后作业: 如图,点A(0,-1),B(3,0),P为直线y= -x+5上一点,若APB=45,求点P的坐标 在四边形ABCD中,ABC=BAD=90,ACD=45,AB=3,AD=4,求AC的长. 为等边三角形,求证:上,EFGABCD如图,正方形中,点E,F,G分别在AB,BC,CD3 BE+GC=BC :2 :CD=2AB.BC,且DBA,AC=求证ABC如图, 如图,在四边形ABCD中,ABC90,AB3,BC4,CD10,DA,
9、求BD的长 55 如图,点A 是反比例(X0)图形上一点,点B是X轴正半轴上一点,点C的坐标为(0,2),点ABC是等边三角形时,求点A的坐标. 2bx4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与ax如图,抛物线yy 1xm经过点A,与抛物线交于另一点D(5,:轴交于点C,直线ly 2 7),点P是直线l上方的抛物线上的动点,连接PC、PD 2 (1)求抛物线的解析式; (2)当PCD为直角三角形时,求点P的坐标; (3)设PCD的面积为S,请你探究:使S的值为整数的点P共有几个,说明理由 y C l x B A O D 2242?y?x 327 与抛物线如图1.1,已知直线y=kx)(交于
10、点A3,6. OA的长度;=1)求直线ykx的解析式和线段(M交x轴于点,过点)点2P为抛物线第一象限内的动点,P作直线PM (,的垂线PM作直线Q再过点,Q于点OA交直线,不重合)O、M(点交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由; (3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重 合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足BAE=BED=AOD.继续探 究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个? y y P A A E Q N B x x O D M O 1 图2 图 2ax轴交于点C,抛物线2与x轴交于点A,与x如图,直线AC:2yyy bxc(a0)过A、C两点,与x轴交于另一点B(B在A的右侧),且OBCOCA (1)求抛物线的解析式; (2)点D为抛物线上一点,DCA45,求点D的坐标; y y C C x x B A O B O A 备用图
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