等差数列的前n项和讲课讲稿.docx
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等差数列的前n项和讲课讲稿
2.2等差数列的前n项和
1•理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系.（重点）
2•熟练掌握等差数列的五个基本量ai,d,n,an,Sn之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个.（重点）
［基础初探］
教材整理
等差数列的前n项和
1.等差数列的前n项和公式
求和公式
na1+an
Si=2
亠nn—1.
Sn=na1+2d
2.等差数列前n项和公式的函数特点
nn—1d2d
Sn=nai+—2—d=㊁门+ai—2n.
dM0时，Sn是关于n的二次函数，且无常数项.
判断（正确的打“V”，错误的打“x”）
（1）公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式.（）
（2）数列｛n2｝可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和Sn.（）
（3）若数列｛an｝的前n项和为Sn=an2+bn,则｛an｝是等差数列.（）
【解析】
（1）任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式.
（2）数列｛n2｝不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式.
（3）当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数（常数项为0）.
【答案】
（1）x⑵x（3）V
［小组合作型］
与Sn有关的基本量的计
算
3
（1）已知等差数列｛an｝中，ai=2,
1
d=—2，Si=—15,求n和an；
（2）已知等差数列｛an｝中，S5=24,求a2+a4；
（3）数列｛an｝是等差数列，ai=1，an=—512,—1022,求公差d;
⑷已知等差数列｛an｝中,a2+a5=19,S=40,求aio.
【精彩点拨】运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换.
3nn—11
【尝试解答】
（1）Sn=n2+2•—2=—15,整理得n-7n—60=0,
解得n=12或n=—5（舍去）,
31
所以a12=2+（12—1）x—2=—4.
则S5=5a1+
5X5—1
2
d=24,
（2）设等差数列的首项为a1,公差为d,
即5a1+10d=24,所以a〔+2d=£,所以a2+a4=2（a1+2d）=2X乍=譽
nn—1
⑶因为an=a1+（n—1）d,Sn=na1+2d,
又a1=1,an=—512,Sn=—1022,
1+n—1d=—512,①
所以1
n+qnn—1d=—1022,②
把（n—1）d=—513代入②得
1
n+刃（—513）=—1022,解得n=4,
所以d=—171.
a1+d+a1+4d=19,
⑷由已知可得5X4
5a1+-^d=40,
解得a1=2,d=3,
所以aio=ai+9d=2+9X3=29.
等差数列中基本计算的两个技巧：
（1）利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量ai,d,n,an和Sn,—般是利用公式列出基本量ai和d的方程组，解出ai和d,便可解决问题•解题时注意整体代换的思想.
（2）利用等差数列的性质解题•等差数列的常用性质：
若m+n=p+q（m,n,
nai+an
p,q€N+）,贝Uam+an=ap+aq,常与求和公式Sn=2结合使用.
［再练一题］
1.等差数列中：
（1）ai=105,an=994,d=7,求Sn；
（2）an=8n+2,d=5,求S20；
1
（3）d=3,n=37,Sn=629,求ai及an.
【解】
（1）由an=ai+（n-1）d且ai=105,d=7,
nai+an
128X105+994
得994=105+（n-1）X7,解得n=128,
=70336.
（2）van=8n+2,—ai=10,又d=5,
20X20-120ai+X5=20X10+10X19X5=1150.
1
na1+an
Sn=2，得
an=a1+12,
37a+an
2=629,
⑶将d=3，n=37,S=629代入an=a1+（n-1）d,
a1=11,解得
an=23.
等差数列前n项和公式在实际中的应
用
为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：
从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网•据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元•为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元•那么从2011年起的未来
10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比
上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解.
【尝试解答】根据题意，从2011年〜2020年，该市每年投入“校校通”
工程的经费都比上一年增加50万元，
所以，每年投入的资金依次组成等差数列｛an｝，其中，ai=500,d=50.那么，到2020年（n=10），投入的资金总额为
10X10—1
S10=10X500+2X50=7250（万元），
即从2011年〜2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.
有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：
（1）问题中所涉及的数列｛an｝有何特征；
（2）是求数列｛an｝的通项还是求前n项和；
（3）列出等式（或方程）求解.
［再练一题］
2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支.最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔？
图1-2-2
【解】由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记
为数列｛an｝，其中ai=1,ai20=120.根据等差数列前n项和公式得S120=
120X1+120
2=7260.
即V型架上共放着7260支铅笔.
［探究共研型］
等差数列前n项和的性
质
探究1设｛an｝是等差数列，公差为d,Sn是其前n项和，那么Sm,®m—S3m-S2m也成等差数列吗？
如果是，它们的公差是多少？
【提示】由Sm=a1+a2+…•+am，S2m—Sm—am+1+am+2+…+a2m—a1+
md+a2+md+…+am+md—Sm+m2d，
Ir2
同理S3m—S2m—a2m+1+a2m+2+…+a3m—S2m—Sm+md，
所以Sm,S2m—Sm,S3m—&m也成等差数列，公差为m2d.
探究2设S、Tn分别为两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和，那么bn与12^1
【提示】
anS2n—1
bn—T2n—1
有怎样的关系？
请证明之.
【证明】
an2ana1+a2n-1
bn—2bn—bl+b2n—1
2n—1a1+a2n—1
2S2n-1
2n—1b1+b2n—1T2n—1
2
（1）等差数列｛an｝的前m项和为
30,前2m项和为100,求数列｛an｝的前3m项的和S3叫
Si7n+2a5
（2）两个等差数列｛an｝,｛bn｝的前n项和分别为S和Tn,已知讯—"n+3，求^
的值.
【精彩点拨】⑴利用Sm,S2m—Sm,S3m—S^m成等差数列求解.
（2）利用前
n项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解.
【尝试解答】⑴在等差数列中，Sm,®m—Sm,S3m—&m成等差数列，「30,70,
S3m-100成等差数列,
•'•2X70=30+（S3m—100）,.°S3m=210.
as2a59a1+a9S965
（2）b5=2b5=9bi+b9=T^=乜.
巧妙应用等差数列前n项和的性质
⑴“片段和”性质.
若｛an｝为等差数列，前n项和为Sn,则Sn,S2n—Sn,S3n—S2n,…构成公差为n2d的等差数列.
⑵项数（下标）的“等和”性质.
（3）项的个数的“奇偶”性质.
｛an｝为等差数列，公差为d.
S偶一S奇=nd;
S偶an+1
S奇an
①若共有2n项，贝US2n=n（an+an+1）；
②若共有2n+1项，贝US2n+1=（2n+1）an+1；S偶一S奇=—an+1；=
S奇n十i
（4）等差数列｛an｝中，若Sn=m,Sm=n（mMn）,贝USm+n=—（m+n）.
（5）等差数列｛an｝中，若Sn=Sm（mMn），贝USm+n=0.
［再练一题］
3.已知两个等差数列｛an｝与｛bn｝的前n（n>1）项和分别是Sn和Tn,且Sn:
Tn
a9
=（2n+1）:
（3n—2）,求$的值.
［解］
a92a9a1+a17b92b9bi+bi7
X17
S17
bi+bi7
2
xi7
Ti7
ai+ai7
2Xi7+i_35_5
3Xi7—2—49—7
等差数列前n项和的最
值
探究i将等差数列前n项和Sn=nai+丄d变形为S关于n的函数后，
该函数是怎样的函数？
为什么？
一nn—id2d
【提示］由于Sn=nai+2d=2n2+ai—2n,
所以当dM0时，3为关于n的二次函数，且常数项为0.
探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？
最小值？
【提示］由二次函数的性质可以得出，当d>0时，S有最小值；当dv0
时，有最大值，且n取值最接近对称轴的正整数时，Sn取得最值.
在等差数列｛an｝中，aio=18,前
5项的和—15.
（1）求数列｛an｝的通项公式.
（2）求数列｛an｝的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.
【精彩点拨】
（1）直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首
项ai和公差d的方程，求得a1和d,进而得解；
（2）可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解.
a1+9d=18，
【尝试解答】
（1）由题意得5X4
5a1+—厂Xd=—15,
.'an=3n—12.
na1+an12一、372147
⑵Sn=2=2（3n—21n）=?
n—2—8
•••当门=3或4时，
前n项的和取得最小值S3=®=—18.
等差数列前n项和的最值问题的三种解法：
⑴利用an：
当ai>0,dv0时，前n项和有最大值，可由an>0且an+1<0,求得n的值；当aiv0,d>0,前n项和有最小值，可由an<0且an+i>0,求得n的值.
dd
（2）利用Sn：
由Sn=2n2+ai—2n（d^0）,利用二次函数配方法求得最值时n的值.
（3）利用二次函数的图象的对称性.
［再练一题］
4.在等差数列｛an｝中，ai=25,Si7=S9,求Sn的最大值.
【解】禾I」用前n项和公式和二次函数性质，由Si7=Sa得
i79
25Xi7+2（i7—i）d=25X9+2（9—i）d，解得d=—2,
•0=25n+2（n—i）（—2）=—（n—i3）2+i69,
•••由二次函数性质，当n=i3时，Sn有最大值i69.
1.设3为等差数列｛an｝的前n项和，3=4a3,a7=-2,则a9=（）
A.-6B.-4C.-2D.2
8ai+as
【解析】S8=2=4（a3+a6）,又Ss=4a3,所以a6=0,
又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.
【答案】A
2.记等差数列前n项和为3,若S2=4,9=20,则该数列的公差d等于（）
1
a1=2,
A.2B.3C.6D.7
2ai+d=4,
解得
【解析】由题意得
d=3.
4ai+6d=20,
【答案】B
3.在等差数列｛an｝中，ai=2,前三项和为15,则前6项和为（）
A.57B.-40C.-57D.40
【解析】由题意知a1+a2+a3=15,—3a2=15,a2=5,
•'•d=a2—a1=3,—an=3n-1,
62+17
••$=2=57.
【答案】A
4.在等差数列｛an｝中，已知ai=2,d=2,贝US2o=
【解析】
820=20ai+20；19Xd=20X2+2°；19X2=420.
【答案】420
5.等差数列｛an｝中，aio=30,a20=50.
（1）求通项公式an；
（2）若Sn=242，求n.
【解】
（1）由an=ai+（n—1）d,aio=30,a20=50,
ai+9d=30,
得方程组
ai+19d=50,
ai=12,解得
d=2,
得12n+
nn—1
2"-
X2=242,
所以an=2n+10.
解得n=11或n=—22（舍去），所以n=11.
学业分层测评（五）
（建议用时：
45分钟）
［学业达标］
一、选择题
1.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若ai+a3+a5=3,则S5=（）
A.5B.7C.9D.11
【解析】法一:
^ai+a5=2a3,.°.ai+a3+a5=3a3=3,—a3=1,
5ai+a5
•'•85=2=5a3=5,故选A.
法二：
tai+a3+a5=ai+（ai+2d）+（ai+4d）=3ai+6d=3,
•'ai+2d=1,
5X4
.，S5=5ai+~2~d=5（ai+2d）=5,故选A.
【答案】A
2•已知｛an｝是公差为1的等差数列，Sn为｛an｝的前n项和，若S8=4S4,则
aio=（）
1719
A.yB.qC.10D.12
【解析】t•公差为1,
8X8-1
.'S8—8a1+2X1=8a1+28,S4=4a1+6.
1
'•'S8—4S4,.8a1+28—4（4a1+6）,解得a1—㊁，
119
.•010—a1+9d—2+9—㊁.故选B.
【答案】B
3.在等差数列｛an｝中，若S9—18,Sn—240,an-4—30,则n的值为（）
na1+an
Sn—
na5+an-4
2
—240,
A.14B.15C.16D.17
•'•n（2+30）—480,.n—15.
【答案】B
4.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若S3—3，则豊等于（）
3111
A石%D.9
【解析】由题意S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列.
S31
'•'S6=3•不妨设S3=1,Sfc=3,贝USfc—S3=2,所以S9—Sfc=3,故S9=6,二
S12—S9=4,故Si2=10,
.鱼_3-S2=10.
【答案】A
5.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若a1_—11,a4+a6_—6,则当Sn取
得最小值时，n等于（）
A.6B.7C.8D.9
【解析】设公差为d,由a4+a6_2a5_—6,
得a5_—3_a1+4d,解得d_2,
nn—12
••S_—11n+2x2_n2—12n,
•••当门_6时，Sn取得最小值.
【答案】A
二、填空题
6.已知｛an｝为等差数列，3为其前n项和.若a1_6,a3+a5_0,贝US6_
【解析】'-a3+a5_2a4,.°.a4_0.
'•a1_6,a4_a1+3d,：
d_—2.
6x6—1
.'•S3_6a1+d_6.
【答案】6
7.已知｛an｝是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a2_—3,S5_10,则a9的值是.
5x4【解析】法一：
设等差数列｛an｝的公差为d,由S5_10,知S5_5a1+=
d_10,得a1+2d_2,即卩a1_2—2d.所以a2_a1+d_2—d,代入a1+a2_—3,
化简得d2-
-6d+9—0,所以d—3,a1——4.故a9—a1+8d——4+24—20.
法二：
5a1+as
设等差数列｛an｝的公差为d,由S5—10，知2—5a3—10,所以
a3=2.
所以由a1+a3—2a2,得a1—2a2—2,代入a1+a2——3,化简得a2+2a2+1
=0,所以a2——1.
公差d—a3—a2—2+1—3,故a9—a3+6d—2+18—20.
【答案】20
8.等差数列｛an｝的前9项的和等于前4项的和，若a1—1，ak+a4—0,则k
9X8
【解析】设｛an｝的公差为d,由3—S4及a1—1得9X1+〒Xd—4X1
4X311
+~2~Xd,所以d——6,又ak+a4—0,所以1+k—1X—石+
1
1+4—1X—6—0,即卩k—10.
【答案】10
三、解答题
9.一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之
和.
【解】设等差数列｛an｝的公差为d,前n项和为Sn,则
-nn—1
Sn—na1+2d.
10X9
由已知得
10a1+2~d—100,
100X99100a1+2d—10,
11
①X10—②，整理得d——55,
1099
代入①，得勿=
110X109
所以S11O=110ai+2d
1099110X10911
二110X100+2X-50
1099-109X11=110=—110.
100
故此数列的前110项之和为一110.
10.已知等差数列｛an｝中，a1=9,a4+a7=0.
（1）求数列｛an｝的通项公式；
⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和取得最大值?
【解】
（1）由a1=9,a4+a7=0,
得a1+3d+a1+6d=0,解得d=—2,
•an=a1+（n—1）d—11—2n.
（2）a1—9,d—-2,
nn—1
Sn—9n+—2—（—2）——n2+10n
——（n—5）2+25,
•••当n—5时，Sn取得最大值.
［能力提升］
1.在项数为2n+1项的等差数列｛an｝中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n—（）
A.9B.10
C.11D.12
n+1
•'S奇—
a1+a2n+1
2
S偶—
na2+a2n
【解析】•••等差数列有2n+1项，
又ai+a2n+1=a2+a2n,
.躡n+1165
冠=~n~=150，
•'•n=10.
【答案】B
An7n+45
2.已知两个等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为An和Bn,且n+3，则使得an为整数的正整数n的个数是（）
A.2B.3
C.4D.5
anA2n-114n+387n+197n+1+1212
【解析】b"=====7+,.n=
bnB2n-12n+2n+1n+1n+1
1,2,3,5,11.
【答案】D
3.在等差数列｛an｝中，d=2,an=11,Sn=35,则a1等于.
nn—1nn—1
【解析】因为Si=na1+2d,所以35=na1+2x2=na1+n（n
—1）①，又an=a1+（n—1）d=a1+2（n—1）,
••a+2（n—1）=11②，由①②可得a1—2a1—3=0,
解得a1=3或一1.
【答案】3或—1
4.从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件.
（1）记该款服装4月份日销售与销售天数n的关系为an,求an；
（2）求4月份的总销售量；
（3）按规律，当该商场销售此服装超过1200件时，社会上就流行，而且销售
量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：
该款服装在社会上流行是否超过10天？
【解】
（1）从4月1日起每天销售量依次组成数列{an},（n€{1,2,…，30}）
依题意，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列，
•'an=15n—5（1wnW12）.
a13，a14，a15，…，a3o是首项为a13=a12—10=165，公差为一10的等差数
列，
••an=165+（n—13）（—10）=—10n+295（13=n<30），
15n—51WnW12，n€N+，
•'an=
—10n+29513（2）4月份的总销售量为
1210+175
2
18X17X—10
+18X165+2=25
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