VAR模型与向量VECM模型7.docx
《VAR模型与向量VECM模型7.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《VAR模型与向量VECM模型7.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
VAR模型与向量VECM模型7
第7章向量自回归模型（VAR）与向量误差修正模型（VEC）
§7.1向量自回归模型（VAR（p））
传统的经济计量学联立方程模型建摸方法,是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系，采用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。
这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。
但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。
一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；
二是所设定的模型，每一结构方程都含有内生多个内生变量，当将某一内生变量作为被解释变量出现
在方程左边时，右边将会含有多个其余内生变量，由于它们与扰动项相关，从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性；
三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。
为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型（VectorAutoregressionModel）。
VAR模型最早是1980年，由C.A.Sims引入到计量经济学中，它实质上是多元AR模型在经济计量学中的应用，
VAR模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为基础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的。
它是一种处理具有相关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。
而且在一定条件下，多元MA模型、ARMA模型，也可化为VAR模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。
7.1.1VAR模型的一般形式
1、非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或简化式非限制性VAR模型
设yt=（y1ty2t...ykt）为一k维随机时间序列，p为滞后阶数，ut=（u1tu2t...ukt）为一k维随机扰动的时间序列，且有结构关系
y1t=a11y1t-1+a12y2t-1+...+a1kykt-1+a11y1t-2+a12y2t-2+...+a1kykt-2+...
+a（p）11y1t-p+a（p）12y2t-p+...+a（p）1kykt-p+u1t
y2t=a21y1t-1+a22y2t-1+...+a2kykt-1+a21y1t-2+a22y2t-2+...+a2kykt-2+...
+a21y2t-p+a12y2t-p+...+a2kykt-p+u2t
ykt=ak1y1t-1+ak2y2t-1+...+akkykt-1+ak1y1t-2+a12y2t-2+...+a1kykt-2+...
t=1,2,...,T
+a（p）k1y1t-p+a（p）k2y2t-p+...+a（p）kkykt-p+ukt
7．1．1）
若引入矩阵符号，记
a（i）a（i）...a（i）
a11a12...a1k
a（i）a（i）...a（i）
a21a22...a2k
a（i）k1a（i）k2...a（i）kk
其中:
A（L）=Ik-A1L-A2L2-...-ApLp,为滞后算子多项式.
如果模型满足的条件:
①参数阵Ap0,p0;
②特征方程det[A（L）]=Ik-A1L-A2L2-...-ApLp=0的根全在单位园外；
③ut~iidN（0,），t=1,2,...,T，即ut相互独立，同服从以E（ut）=0为期望向量、Cov（ut）=E（utut）=为方差协方差阵的k维正态分布。
这时，ut是k维白噪声向量序列，由于ut没有结构性经济含义，也被称为冲击向量；Cov（utxt-j）=E（utxt-j）=0,j=1,2,...，即ut与xt及各滞后期不相关。
则称上述模型为非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或简化式非限制性VAR模型。
2、受限制性VAR模型，或简化式受限制性VAR模型
如果将yt=（y1ty2t...ykt）做为一k维内生的随机时间序列，受d维外生的时间序列xt=（x1tx2t..xdt）影响（限制），则VAR模型为
yt=A1yt-1+A2yt-2+...+Apyt-p+Dxt+ut，t=1,2,...,T（7．1．4）
或利用滞后算子表示成
A（L）y=-Dx+u,t=1,2,...,T（7.1.5）
d11d12...d1d
dk1dk2...dkd
此时称该模型为受限制性VAR模型，简化式受限制性VAR模型。
对于受限制性VAR模型，可通过yt=（y1ty2t...ykt）对xt=（x1tx2t..xdt）作OLS回归，得到残差估计
y%t=yt-yˆt，从而将y%t变换成（15.1.2）或（15.1.3）形式的非限制性VAR模型，即
y%t=A1y%t-1+A2y%t-2+...+Apy%t-p+ut，t=1,2,...,T（7．1．6）
A（L）y%=u,t=1,2,...,T（7.1.7）
这说明受限制性VAR模型可化为非限制性VAR模型。
简化式非限制、受限制VAR模型，皆简记为VAR（p）。
3、结构式非限制性VAR模型
如果yt=（y1ty2t...ykt）中的每一分量受其它分量当期影响,无d维外生的时间序列xt=（x1tx2t..xdt）
影响（限制）,则模型化为
A0yt=A1yt-1+A2yt-2+...+Apyt-p+ut，t=1,2,...,T或利用滞后算子表示成
7．1．8）
7.1.9）
A（L）yt=ut,t=1,2,...,T
a（0）k1a（0）k2...1
此时称该模型为结构式非限制性VAR模型。
如果A0可逆，既逆阵A-10存在，则结构式非限制性VAR模型可化为简化式非限制性VAR模型
yt=A0A1yt-1+A0A2yt-2+...+A0Apyt-p+A0ut，t=1,2,...,T（7．1．10）
或利用滞后算子表示成
A（L）y=A-1u,t=1,2,...,T（7.1.11）
这时，其中的A（L）=I-A-10A1L-A-10A2L2-...-A-10ApLp
4、结构式受限制性VAR模型
如果将yt=（y1ty2t...ykt）做为一k维内生的随机时间序列，其中每一分量受其它分量当期影响,且还受d维外生的时间序列xt=（x1tx2t..xdt）影响（限制），则VAR模型为
A0yt=A1yt-1+A2yt-2+...+Apyt-p+Dxt+ut，t=1,2,...,T（7．1．12）
或利用滞后算子表示成
A（L）y=-Dx+u,t=1,2,...,T（7.1.13）
此时称该模型为结构式受限制性VAR模型。
如果A0可逆，既逆阵A-10存在，则结构式受限制性VAR模型可化为简化式受限制性VAR模型
yt=A0A1yt-1+A0A2yt-2+...+A0Apyt-p+A0Dxt+A0ut，t=1,2,...,T（7．1．14）或利用滞后算子表示成
A（L）y=-A-1Dx+A-1u,t=1,2,...,T（7.1.15）
这时，其中的A（L）=I-A-10A1L-A-10A2L2-...-A-10ApLp结构式非限制、受限制VAR模型，皆简记为SVAR（p）。
7.1.2简化式VAR模型的参数估计
VAR模型参数估计,简化式VAR模型比较简单可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计法等进行估计,且可获得具有良好统计性质的估计量。
结构式VAR模型参数估计比较复杂，可有两种途径：
一种是化成简化式，直接估计简化式模型参数，然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系，求得结构式模型参数估计，但这存在一个问题是否可行，什么情况下可行，这与结构式模型的识别性有关。
另一种
途径是直接对结构式模型参数进行估计，但这也存在一个问题，上述方法不可应用，原因是每一方程含有众多内生的与扰动项相关变量，那么，如何估计？
这也与结构式模型的识别性有关。
对于简化式VAR模型（15.1.1）—（15.1.3），在冲击向量满足假设u~iidN（0,），t=1,2,...,T，即ut相互独立，同服从以E（ut）=0为期望向量、Cov（ut）=E（utut）=为方差协方差阵的k维正态分布。
这时，ut是k维白噪声向量序列的条件下，模型参数阵A1,A2,...,Ap及也可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计。
设yt=（y1ty2t...ykt）,t=1,2,...,T为长度为T的样本向量
1、Yule-Walker估计
在T充分大时,首先估计自协方差阵
则可得模型参数阵的Yule-Walker估计（矩估计）为
2、OLS估计
模型参数阵A1,A2,...,Ap的OLS估计，即求使
1Tpp
Q（Aˆ1,Aˆ2,...,Aˆp）=（yt-Aˆjyt-j）（yt-Aˆjyt-j）
Tj=p+1j=1j=1
=min
下的Aˆ1,Aˆ2,...,Aˆp作为A1,A2,...,Ap估计。
记
由此可推得
由此可见,模型参数阵A1,A2,...,Ap的OLS估计（7.1.15）与Yule-Walker估计（7.1.13）形式相同,
但式中的ˆh的计算不同.但是,当T充分大时,（7.1.16）与（7.1.18）相差很小,这时（7.1.17）与（7.1.19）相差也很小,这时二者的估计及估计量的性质等价。
因此，在T充分大时,可直接采用Yule-Walker估计比
较简单方便。
1T
而的估计为ˆ=ˆ-AˆˆAˆ=1uˆuˆ（7.1.20）
Tt=1
其中：
uˆt=yt-Aˆ1yt-1-Aˆ2yt-2-...-Aˆpyt-p
3、极大似然估计
可证明,模型参数阵A1,A2,...,Ap的极大似然估计与OLS估计完全等价。
除此之外，还有递推估计法（参见：
马树才，《经济时序分析》，辽宁大学出版社，1997.1.pp199）,这里不在赘述。
7.1.3简化式VAR模型的预测
在已知yt-1,yt-2,...时，对yt的一步线性预测
yˆt-1
（1）=A1Yt-1+A2yt-2+...+Apyt-p（7.1.21）
其一步预测误差为y%t=yt-yˆt-1
（1）=et
一步预测误差的方差阵为Ey%ty%t=Eetet=S的估计为
Sˆ=（1-）（ˆ0-Aˆiˆi）（7.1.22）
Ti=1
在已知yt-1,yt-2,...时，如果利用模型参数的估计量Aˆ1,Aˆ2,...,Aˆp，对yt进行一步线性预测，则
yt的实际一步线性预测为yˆt-1
（1）=Aˆ1Yt-1+Aˆ2yt-2+...+Aˆpyt-p（7.1.23）
其一步预测误差为y%t=yt-yˆt-1
（1）
=（A1-Aˆ1）Yt-1+（A2-Aˆ2）yt-2+...+（Ap-Aˆp）yt-p=et一步预测误差的方差阵为Ey%ty%t=Eetet=D的估计为
Dˆ=（1+kp）（1-kp）-1（ˆ0-Aˆiˆi）（7.1.24）
TTi=1
7.1.4VAR模型阶数p的确定
VAR模型的定阶是一个矛盾过程，阶数p的确定，既不能太大，又不能太小，必须兼顾。
因为，一方面，希望滞后阶数p要大一些，以便使模型能更好地反映出动态特征，但另一方面，又不希望太大，否则，阶数p太大，会造成需要估计的模型参数过多，而使模型自由度减少。
因此，在定阶时需要综合考虑，以既要有足够大的滞后项，又能有足够大的自由度为原则确定阶数。
VAR模型的定阶方法有多种：
1、FPE准则（最小最终预测误差准则）
FPE准则（最小最终预测误差准则），即利用一步预测误差方差进行定阶。
因为，如果模型阶数合适，则模型对实际数据拟合优度必然会高，其一步预测误差方差也必然会小；反之，则相反。
设给定时间序列向量长度为T的样本向量为yt=（y1ty2t...ykt）,t=1,2,...,T，则其一步预测误差方差
阵的估计量为（7.1.24）式,它是一个kk阶阵,因此可定义其最终预测误差为
FPEk（p）=detDˆ=（1+kp）k（1-kp）-kdet（ˆ0-Aˆiˆi）（7.1.25）
TTi=1
显然,FPEk（p）是p的函数。
所谓最小最终预测误差准则，就是分别取p=1，2,…，M,来计算FPEk（p）,使FPEk（p）=min值所对应的p,为模型合适阶数。
相应的模型参数估计Aˆ1,Aˆ2,...,Aˆp为最佳模型参数估计。
其中，M为预先选定的阶数上界,一般取M=T/10k~T/5k之间。
在实际计算过程中，可如下判断：
1如果FPEk（p）的值，随着p从1开始逐渐增大就一直上升，则可判定p=1；
2如果FPEk（p）的值，随着p从1开始逐渐增大就一直下降，则可判定该随机时间序列不能用AR（p）模型来描述；
3如果FPEk（p）的值，在某一p值下降很快，而后又缓慢下降，则可判定该p值为所确定的阶数；④如果FPEk（p）的值，随着p从1开始逐渐增大而上下剧烈跳动，难以找到最小值，这可能由于样本数据长度T太小造成的，应增大样本长度，重新进行定阶、估计模型参数，建立模型。
利用FPE信息准则还可以用来检验模型的建立是否可由部分分量，比如前r（rk）个分量y1ty2t...yrt，t=1,2,...,T来进行，方法如下：
pp
记（7.1.21）式中的kk阶矩阵（ˆ0-Aˆiˆi）的左上角r阶子方阵为（ˆ0-Aˆiˆi）rr,则前r个分
i=1i=1
量y1ty2t...yrt，t=1,2,...,T的最终预测误差为
FPEr（p）=detDˆr=（1+kp）r（1-kp）-rdet（ˆ0-Aˆiˆi）rr（7.1.26）
TTi=1
当r=k时，（7.1.26）为（7.1.25）式。
如果，minFPEr（p）minFPEk（p），则可认为仅用前r个分量y1ty2t...yrt，t=1,2,...,T建立模型即可，没有必要采用k维随机时间序列yt=（y1ty2t...ykt）建立模型，因为从最小最终预测误差准则角度，用k维随机时间序列yt=（y1ty2t...ykt）建立模型比仅采前r个分量y1ty2t...yrt，t=1,2,...,T建立模型，带来拟合优度的显著改善；反之，则相反。
2、AIC（AkaikeInformationCriterion）与SC（BayesInformationCriterion）信息准则
AIC、SC信息准则，也称最小信息准则，定义
AIC=-2l/T+2n/T，SC=-2l/T+nlnT/T（7.1.27）
其中：
l=-Tk（1+ln2）-Tlnˆ,n为模型需要估计参数个数，对（7.1.1）,n=pk2；对于
（7.1.4）,n=k（d+pk）；对于（7.1.8）,n=（p+1）k2；对于（7.1.12），n=k（d+pk）+k2。
所谓最小信息准则，就是分别取p=1，2,…,来计算AIC或者SC,使AIC或SC=min值所对应的p,为模型合适阶数。
相应的模型参数估计Aˆ1,Aˆ2,...,Aˆp为最佳模型参数估计。
3、似然比检验法（LikelihoodRatio,LR检验）：
由于ut~iidN（0,），t=1,2,...,T，即ut相互独立，同服从以E（ut）=0为期望向量、
Cov（ut）=E（utut）=为方差协方差阵的k维正态分布。
因此，
yt-1记Yt=t-2,A=A1A2LAP，则在给yt-1,yt-2,...,y-p+1的条件下，yt=（y1ty2t...ykt）的
yt-p
条件分布为ytyt-1,yt-2,...,y-p+1~N（AYt,）
于是，在给yt-1,yt-2,...,y-p+1的条件下，y1,y2,...,yT的联合分布密度，即似然函数为1T
L（A,）=
（2）-Tk/2-1T/2exp{（-1[（yt-AYt）-1（yt-AYt）]}
2t=1
T对数似然函数为lnL（A,）=-Tkln
（2）+Tln-1-1[（y-AY）-1（y-AY）]
222t=1
将参数估计代入，则有
7.1.28）
T
lnL（A,）=-ln
（2）+ln-（uˆtˆut），
222t=1
因此，有lnL（A,）=-Tkln
（2）+Tlnˆ-1-Tk
现在，欲检验假设H0:
样本数据是由滞后阶数为p的VAR模型生成；H1:
样本数据是由滞后阶数为p+1的VAR模型生成
取似然比统计量为
LR=2[lnL（A,ˆp+1）-lnL（A,ˆp）]=T（lnˆ-p1+1-lnˆ-p1）:
2（k2）分布（7.1.29）
在给定的显著性水平下，当LR2（k2），则拒绝H0，表明增加滞后阶数，可显著增大似然函数值；否则，则相反。
LR检验在小样本下，可取似然比统计量为
LR=（T-m）（lnˆ-p1+1-lnˆ-p1）:
2（k2）分布（7.1.30）
其中,m=d+kp.
7.1.5VAR模型的Granger因果关系检验
VAR模型的另一重要应用是可用来检验一个变量与另一变量间是否存在Granger因果关系，这也是建立VAR模型所需要的。
1、Granger因果关系的涵义
设yt=（y1ty2t）为一2维随机时间序列，如果在给定y1t、y2t的滞后值下y1t的条件分布与仅在给定
的y1t的滞后值下y1t的条件分布相同，即f（y1ty1t-1,y1t-2,...,y1t-p,y2t-1,y2t-2,...,y2t-p）=f（y1ty1t-1,y1t-2,...,y1t-p）则称y2t对y1t存在Granger非因果性关系，否则，y2t对y1t存在Granger因果性关系。
Granger因果性关系涵义的另一表述：
在其条件不变下，如果加上y2t的滞后值，并不对只由y1t的滞后值下对y1t进行预测有显著改善，则称y2t对y1t存在Granger非因果性关系，否则，y2t对y1t存在Granger因果性关系。
2、Granger因果关系检验
设yt=（y1ty2t）为一2维随机时间序列，p为滞后阶数，ut=（u1tu2t）为一2维随机扰动的时间序列，则有2元VAR模型为
y1t=a11y1t-1+a12y2t-1+a11y1t-2+a12y2t-2+...+a11y1t-p+a12y2t-p+u1t
y2t=a21y1t-1+a22y2t-1+a21y1t-2+a22y2t-2+...+a21y2t-p+a12y2t-p+u2tt=1,2,...,T（7．1．31）
显然，欲检验y2t对y1t是否存在Granger非因果性关系，等价地，检验假设H0:
a
（1）12=a
（2）12=...=a（p）12=0；H1:
a
（1）12,a
（2）12,...a（p）12中至少有一个不为0。
其用于检验的统计量为
（SSRy-SSRy,y）/pF=y1y1,y2~F（p,T-2p-1）（7．1．32）
SSRy,y/（T-2p-1）其中，SSRy,y为模型（7.1.31）中第1方程残差平方和,SSRy为模型（7.1.31）中第1方程去掉y2各期滞后项后拟合残差平方和。
在给定的显著性水平下，当FF（p,T-2p-1）时，拒绝H0。
如果模型（7．1．31）满足u~iidN（0,），t=1,2,...,T，即u相互独立，同服从以E（u）=0为
期望向量、Cov（ut）=E（utut）=为方差协方差阵的k维正态分布条件，则
也可采用如下统计量进行检验
T（SSRy-SSRy,y）
7．1．33）
T（SSRSyS1R-SSRy1,y2）~2（p）
y1,y2
在给定的显著性水平下，当22（p）时，拒绝H0，
上述Granger因果性关系检验，可推广到对任意k维VAR模型以及SVAR模型中的某一或某几个随机时间序列（包括内生、外生变量）是否对另一时间序列具有Granger因果性的检验上去。
7.2VAR（p）模型的脉冲响应函数与方差分解
在实际应用中，由于通常所设定的VAR模型都是非经济理论性的简化式模型，出它无需对变量作任何先验性约束，因此，在分析应用中，往往并不利用VAR模型去分析某一变量的变化对另一变量的影响如何，而是分析当某一扰动项发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，这钟分析方法称为脉冲响应函数方法（ImpulseResponseFunction,IRF）。
7.2.1脉冲响应函数基本思想对VAR模型采用脉冲响应函数分析扰动项发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，就是分析扰动项发生变化是如何传播到各变量的。
设yt=（y1ty2t）为一2维随机时间序列，滞后阶数p=2，ut=（u1tu2t）为一2维随机扰动的时间序列，则有2元VAR模型为
y1t=a11y1t-1+a12y2t-1+a11y1t-2+a12y2t-2+u1t
y2t=a21y1t-1+a22y2t-1+a21y1t-2+a22y2t-2+u2tt=1,2,...,T（7．2．1）
扰动项满足白噪声假设条件，即
E（ut）=0,t=1,2,...,T；
Cov（ut）=E（utut）==[ij],t=1,2,...,T；
Cov（ut,us）=E（utus）=0（ts）,t,s=1,2,...,T现在假设上述VAR模型系统从t=0时期开始运行，并设y1,-1=y1,-2=
升级会员 