天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题目解析.docx
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天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题目解析
天津理工大学《离散数学》第一章检测题答案
、填空题（每空2分，共30分）
1.P
Q
2.
P
Q
3.二
c
4.（P
Q
R）
（P
Q
R）（P
QR）,
（PQ
R）
（P
Q
R）（P
Q
R）（PQR）（PQR）
5.（PQ）（P（RS））6.QP7.（PQ）（QP）
、单项选择题（每小题2分，共20分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
D
B
C
B
C
D
A
A
C
B
二、简答题（每小题6分，共12分）
1.构造命题公式P（QR）的真值表.
P
Q
R
QR
P（QR）
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
2•求命题公式（（PQ）R）P的主析取范式和主合取范式。
（（PQ）R）P（（PQ）R）P1分（（PQ）R）P1分（PR）（QR）PP（QR）
（P
（Q
Q）（RR））
（（PP）
（Q
R））
1分
（P
Q
R）（P
QR）
（PQ
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）（
PQ
R）1分
（P
Q
R）（P
QR）
（PQ
R）
（P
Q
R）（PQ
叫
m4
gm6
m7（这是主析取范式））
1分
Mo
M1
M3（这是主合取范式）
（P
Q
R）（P
QR）
（PQ
R）1分
R）
3.判断命题公式（P
Q）
（PR）与
（PQR）是否等价。
解：
A（PQ）（P
R）
（PQ）
（PR）
BP（QR）
P（QR）
（PQ）（PR）
等价
四.证明题（共32分）
i.
（10分）用CP规则证明P（
Q
R）,Q
（R
S）,P
Q
S；
1
P
P
6.
（R
S）
T（4,5）I
（2分）
2
P
（Q
R）
P
7.
R
T（3,4）I
（2分）
3
Q
R
T（1,2）I
（2
分）
8.
S
T（6,7）I
（2分）
4
•Q
P（附加前提）
9.
（Q
S）
CP（:
2分）
5
•Q
（R
S）
P
2.
（10分）
用归谬法证明
A
B,（
CB）,C
S
A
.
证:
1
A
P（附加前提）
（1
分）
2
A
B
P
3
B
T1,2I
（2
分）
4
C
B
P
5
C
T3,4I
（2分）
6
C
S
P
7
C
T6I
（2
分）
8
C
C
T57I
（2
分）由8得出了矛盾，根据归谬法说明原推理正确（1分）
3.（12分）公安人员审理某珠宝商店的钻石项链的失窃案，已知侦察结果如下:
（1）营业员A或B盗窃了钻石项链
（2）若B作案，则作案时间不在营业时间
（3）若A提供的证词正确，则货柜未上锁
（4）若A提供的证词不正确，则作案发生在营业时间
（5）货柜上了锁
试问：
作案者是谁？
要求写出推理过程。
解：
令A表示“营业员A盗窃了钻石项链”；B表示“营业员B盗窃了钻石项链”；
P表示“作案时间在营业时间”；Q表示“A提供的证词正确”；R表示“货柜上了锁”。
则侦察结果如下：
AB，BP，QR，QP，R•由此可推出作案者是A.（4分）
P
⑹
P
⑺
T
（1），
（2）I
（2分）（8）
P
（9）
BPP
BT（5），（6）I（2
ABP
AT⑺，（8）I（2
推理过程如下：
（1）R
⑵QR
分）
（3）Q
⑷QP
分）
天津理工大学《离散数学》第二章检测题答案
一、填空题（每空3分，共30分）
1-（x）（G（x）F（x））（x）（F（x）G（x））
或（x）（G（x）F（x））（y）（F（y）G（y））
2•（x）（z）（w）[（P（x）
R（x,w））（Q（z,y）R（x,w））]
3.P（a）P（b）P（c）（Q（a）Q（b）Q（c））
6•（x,y;y）7.（P（x）yR（x,y））8.（x）（F（x）G（x））
、单项选择题（每小题2分，共20分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
A
A
B
D
C
A
C
C
B
D
二、简答题（每小题6分，共12分）
1.求謂词公式（x）（P（x）Q（x,y））（（y）P（y）（z）Q（y,z））的前束析取范式.
（x）（P（x）Q（x,y））（（y）P（y）（z）Q（y,z））
（x）（P（x）Q（x,y））（（y）P（y）（z）Q（y,z））
x（P（x）Q（x,y））（（y）P（y）（z）Q（y,z））
x（P（x）Q（x,y））（（u）P（u）（z）Q（y,z））
（x）（u）（z）[（P（x）Q（x,y））（P（u）Q（y,z））]
2.证明：
x（P（x）Q（x））xP（x）xQ（x）
证:
xP（x）Q（x））
左式x（P（x）Q（x））x（P（x））xQ（x）xP（x）xQ（x）xP（x）xQ（x））
四.证明题（共38分）
1.（12分）用谓词演算的推理规则证明
x（P（x）Q（x））,x（Q（x）R（x）
S（x））,P（a）
R（a）S（a）
（1）x（P（x）Q（x））
P
（2）P（a）Q（a）
US
（1）
（2分）
（3）P（a）R（a）
P
（4）Q（a）
T
（2）（3）I
（2分）
（5）x（Q（x）R（x）S（x））
P
（6）Q（a）R（a）S（a）
US（5）
（2分）
（7）R（a）
T（3）I
（2分）
（8）Q（a）R（a）
T（4）（7）l
（2分）
（9）S（a）
T（6）（8）l
（2分）
2.（10分）指出下面推理证明过程中的错误，并给出正确的证明.用谓词演算的推理规则证明：
x（Q（x）R（x））x（Q（x）Z（x））x（R（x）Z（x））
证:
:
（1）
x（Q（x）R（x））
P
⑹
Z（a）
T⑷I
⑵
Q（a）R（a）
US
（1）
（7）
R（a）
T
（2）,（5）I
（3）
x（Q（x）Z（x））
P
（8）
R（a）Z（a）
T（6），⑺I
⑷Q（a）Z（a）
ES（3）
（9）x（R（x）Z（x））EG（8）
（5）Q（a）
该证明的错误在于：
（1）、
（2）与（3）、（4）的顺序颠倒了，应该先指定存在后
指定全称。
（2分）正确的证明是：
（4分）
（1）
x（Q（x）
Z（x））
P
⑹
Z（a）
T
（2）I
（1分）
⑵
Q（a）Z（a）
ES
（1）（
2分）
⑺
R（a）
T（4）,（5）I
（1分）
⑶
x（Q（x）
R（x））
P
（8）
R（a）Z（a）
T（6），⑺I
（1分）
⑷
Q（a）
R（a）
US（3）
（2分）
（9）x（R（x）
Z（x））EG（8）（1
分）
⑸Q（a）T
（2）I
3.（16分）符号化下列命题并推证其结论.
任何人如果他喜欢音乐，他就不喜欢体育.每个人或者喜欢体育，或者喜欢美
术.有的人不喜欢美术.因而有的人不喜欢音乐.（设M（x）:
x喜欢音乐，
S（x）:
x喜欢体育，A（x）:
x喜欢美术.）
该推理符号化为：
（x（M（x）
S（x））
x（S（x）
A（x））
xA（x））（
xM（x））或
前提：
x（M（x）
S（x））,
x（S（x）
A（x））,
xA（x）
结论：
xM（x）
（4分）
证：
（1）xA（x）
P
（2）
A（a）
ES
（1）（
2分）
（3）x（S（x）A（x））P
（4）
S（a）A（a）
US（3）
（2分）
（5）S（a）T
（2）（4）
I（2分）
（6）
x（M（x）
S（x））P
（7）M（a）S（a）US（6）（2分）（8）S（a）M（a）T（7）E（1分）
（9）M（a）
T（5）（8）I（2分）（10）xM（x）EG（9）（1分）
天津理工大学《离散数学》第三、四章检测题答案
、填空题（每空2分，共40分）
8•f1{,0,{},1},f2{,1,{},0}。
9.单射，满射；既是单射又是满射；IB；IA
、单项选择题（每小题2分，共20分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
（1）
（2）
（1）
（3）
（2）
（2）
（1）
（3）
（3）
（1）
三、简答题（共30分）
1.（6分）设A={1,2,3,5,6,10,15,30},“/”为集合A上的整除关系。
〈A,/〉是否
为偏序集？
若是，画出其哈斯图;
解：
〈A,/〉是偏序集。
其哈斯图为:
2.（12分）对下图所给的偏序集A,，求下表所列集合的上（下）界，上（下）确界,并将结果填入表中。
子集
上界
下界
上确界
下确界
{a,b,c}
a
d
a
d
{c,d,e}
a,c
无
c
无
A
a
无
a
无
3.（6分）设A={1,2,3,4,5,6}，集合A上的关系
R={〈1,3>,〈1,5>,〈2,5>,〈4,4>,〈4,5>,〈5,4>,〈6,3>,〈6,6>}。
（1）画出R的关系图，并求它的关系矩阵；
（2）求r（R）,S（R）及t（R）。
解：
（1）R的关系图为
R的关系矩阵为
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
Mr
（2分）
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
（2）r（R）砒1,1,2,2,33,.5,5},（1分）
S（RRJ{3,1<5,1,5,2,3,6}（1分）
t（R）RJ{1,4,2,4,5,5}（2分）
4•设Z是整数集，R是Z上的模3同余关系，即R{-x,y|x,y乙xy（mod3）}，试
根据等价关系R决定Z的一个划分。
答案：
由R决定的Z的划分为：
{0r,1r,2r}，其中：
Or{,9,6,30,3,6,9,}
1r{,8,5,2,1,4,7,}
2r{,7,4,1,2,5,8,}
四.证明题（共10分）
xa
1.设a,bR,ab,定义f:
[a,b][0,1]为f（x），证明：
f是双射，并求出
ba
其逆映射。
证：
1）先证明f是入射（2分）
卄x..ax2a
对任意的X1,X2a,b,右f（X1）f（X2）,则有一-，从而有X1X2,
baba
故f是入射。
2）再证明f是满射（2分）
对任意的y0,1,都存在x（ba）yaa,b,使得f（x）y,从而f是满射。
综合
（1）、
（2）知f是双射。
11
f:
[0,1][a,b]为f（x）（ba）xa，对任意x0,1。
（1分）
天津理工大学《离散数学》第五章检测题答案
、填空题（每空2分，共30分）
1.b1a
12•a
3•,S,S,4•
a；15•S关于运算不圭寸闭
6•
2,a
14a
7循环群，生成元
8•
1
2
1
1
1
2
丄
2
9•
B关于
圭封闭
、单项选择题（每小题2分，共20分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
B
C
A
A
B
D
D
C
B
D
三、简答题（共30分）
1•设是实数集R上的二元运算，其定义如下:
abab2ab
（1）求23，3（-5）和71/2
（2）■:
R,；是半群吗？
可交换吗?
（3）求R中关于的单位元。
2•设A
{a,b,c,d}，:
A,
的运算表如下:
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
a
X1
X2
c
c
X4
a
X3
d
d
x
X6
a
a是A,:
的单位元。
1
（4）当aR,a1/2时，a有逆元素，a
a/（12a）。
求Xi,X2,X3,X4,X5,X6，并说明道理。
答案：
x1d,x2c,x3b,x4d,x5c,Xgb。
因为有限群的运算表中的每行、每列都是群中元素的一个置换。
3.设集合G{1,3,4,5,9},是定义在G上的模11乘法（即任意a,b€G,有
a*b=（axb）（mod11）,x是普通乘法），问:
;G,:
是循环群吗？
若是，试找出它的生成元。
答：
G,:
的运算表如下表所示。
9
1
3
4
5
1
3
4
5
9
3
9
1
4
1
5
3
4
1
5
9
4
3
5
5
4
9
3
9
1
9
5
3
1
4
从运算表可知，在G上封闭、有幺元1，且135,331,434,53【932，再
由是可结合的得:
G,：
；是循环群，3，4，5和9均为其生成元。
aG，有aae，证明
四.证明题（共20分）
1.（4分）设.；G,'；是独异点，e为其幺元，且对
G，:
:
是--个交换群。
1
证明：
对aG，由于aae，贝Uaa，即G中的每一个元素a都有逆元素,故:
；G,］是一个群。
又对a,bG，有
abab（ba）ba,
所以:
G,是一个Abel群。
2.（6分）设是-一个群，aG,f:
GG,xG，有
f（x）axa1
试证明f是；G,；：
•一个自同构.
证：
首先证明f是入射。
（3分）
对为必G,若f（x）f（x2）,则有ax1a1ax2a1,
该式两边同时左乘a1及右乘a,得咅x2,故f为入射f.
其次证明f是满射。
对yG,都存在xa1yaG,使得yf（x）,因此f是满射.
综合以上两点，知f是双射。
（3分）
最后,对x-!
x2G,都有f（x1x2）ax-!
x2a1（a%a1）（ax2a1）
f（xjf区）,从而f是G到G的自同构.
天津理工大学《离散数学》第六章检测题答案
一、填空题（每空2分，共40分）
1.上确界和下确界，a,b2.至少有一个补元素，不一定
4.aa1,aa05.ab；ab6.屮,A
二、单项选择题（每小题2分，共20分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
D
C
B
C
A
D
A
B
D
D
二、简答题（共30分）
1•下面哈斯图表示的格中哪个元素无补元？
对有补元的元素求出它们的补元.
解：
c无补元（1分），a的补元为e（1分），b的补元为d（1分），d的补元为b、e（1
分），e的补元为a、d（1分），0与1互为补元。
（1分）
2.设B,,,_,0,1是一个布尔代数且B{0,a,b,1}，求布尔表达式
f（^,X2,X3）（aX1X2）（X1区b））
的析取范式和合取范式并计算f（b,1a）的值
解：
f（X1,X2,X3）的析取范式为:
化X2X3）化
X2
X3）
a
X2
X3）
（bxx2
X3）
（4分）
f（X1,X2,X3）的合取范式为：
（X1X2X3）（X1X2X3）
（X1
X2
X3）
（X1
X2
X3）（bX1
X2
X3）（4分）
f（b,1a）b（2分）
3.设A={1,2,3,5,6,10,15,30},“/”为集合A上的整除关系。
（1）.〈A,/〉是否为偏序集？
若是，画出其哈斯图；
（2）.〈A,/〉是否构成格？
为什么？
（3）.〈A,/〉是否构成布尔代数？
为什么?
解：
（1）.〈A,/〉是偏序集。
其哈斯图为:
⑵.〈A,/〉构成格。
因为其任意两个元素都有上确界和下确界。
（3）.〈A,/〉构成布尔代数。
因为它是有界分配格，且其任意元素都有唯一补元素。
四.证明题（共10分）
1.（4分）设［G,：
•是独异点，e为其幺元，且对aG，有aae，证明
G:
是--个交换群。
1
证明：
对aG，由于aae，贝Vaa,即G中的每一个元素a都有逆元素，故G,：
是一个群。
又对a,bG，有
aba1b1（ba）1ba,
所以'；G,；■是一个Abel群。
2.（6分）设G:
是-一个群，aG,f:
GG,xG，有
1
f（x）axa
试证明f是G,；一个自同构.
证：
首先证明f是入射。
（3分）
对X1,x2G,若f（Gf（X2）,则有aX1a1aX2a1,
该式两边同时左乘a1及右乘a,得為x2,故f为入射f.
其次证明f是满射。
对yG,都存在xa1yaG,使得yf（x）,因此f是满射.
综合以上两点，知f是双射。
（3分）
最后,对x,x2G,都有f（x-!
x2）ax1x2a1（ax1a1）（ax2a1）
f（xjf（x2）,从而f是G到G的自同构.
离散数学第七章检测题答案
、单项选择题（每小题2分，共20分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
2
4
2
4
3
2
4
2
1
3
二、填空题（每空3分，共45分）
1•4,3。
2.0,_1__。
0,0o
3•（V2Vi,V2Vi4•2|E丨,偶数。
5•_5;9_。
6•3,1。
7•7。
二、简答题（每小题5分，共25分）
1.对有向图GV,E求解下列问题：
（1）写出邻接矩阵A;
（2）GV,E中长度为3的不同的路有几条？
其中不同的回路有几条？
解：
（1）邻接矩阵为:
01001
00100
A00001
11000
00010
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
（2）A20
0
0
1
0,A3
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
则，GV,E中长
:
度为
3
的不
、同的路有
10
条，
其中有
1条不同的回路。
2.设有28盏灯，拟公用一个电源，求至少需要4插头的接线板的数目。
解：
设至少需要4插头的接线板i个，则有
（4-1）i=28-1（3分）
故i=9
即至少需要9个4插头的接线板。
（2分）
3.设有6个城市V1,V2，…，V6，它们之间有输油管连通，其布置如下图,Si（数字）中Si
为边的编号，括号内数字为边的权，它是两城市间的距离，为了保卫油管不受破坏，在每段
油管间派一连士兵看守，为保证每个城市石油的正常供应最少需多少连士兵看守？
输油管道
总长度越短，士兵越好防守。
求他们看守的最短管道的长度。
（要求写出求解过程）
W（T）=1+1+2+2+2=8.
S85
5.一次学术会议的理事会共有20个人参加，他们之间有的相互认识，但有的相互不认识。
但对任意两个人，他们各自认识的人的数目之和不小于20,说明能否把这20个人排在圆
桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人？
根据是什么？
解：
可以把这20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人。
（1分）根据是：
分别用20个结点代表这20个人，将相互认识的人之间连一条线，便得到一个
无向简单图G:
V,E，每个结点ViV的度数是与Vj认识的人的数目，由题意知
Vi,VjV，有deg（Vi）deg（Vj）20，于是G:
V,E中存在哈密尔顿回路，设
Cv^ViJUv^v^是G
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