天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题目解析.docx

1、天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题目解析天津理工大学离散数学第一章检测题答案、填空题（每空2分，共30 分）1. PQ2 .PQ3 .二c4. ( PQR)(PQR) (PQ R),(P QR)(PQR) (PQR) ( P Q R) ( P Q R)5. ( P Q) (P (R S) 6. Q P 7. (P Q) (Q P)、单项选择题（每小题2分，共20分）12345678910得分DBCBCDAACB二、简答题（每小题6分，共12分）1 .构造命题公式P （Q R）的真值表.PQRQ RP (Q R)00011001110100001111100111011111001111112

2、求命题公式(P Q) R) P的主析取范式和主合取范式。(P Q) R) P ( (P Q) R) P 1 分 (P Q) R) P 1 分 (P R) (Q R) P P (Q R)(P(QQ) (R R)(P P)(QR)1分(PQR) (PQ R)(P QR)(PQR)(PQR)(P QR) 1分(PQR) (PQ R)(P QR)(PQR) ( P Q叫m4g m6m7（这是主析取范式）1分MoM1M 3 （这是主合取范式）(PQR) (PQ R)(P QR) 1分R)3 .判断命题公式（PQ)(P R)与（P Q R）是否等价。解：A (P Q) (PR)(P Q)(P R)B P

3、(Q R)P (Q R)(P Q) ( P R)等价四.证明题（共32 分）i.（10分）用CP规则证明 P （QR),Q(RS), PQS ；1PP6.(RS)T(4,5) I(2分)2P(QR)P7.RT(3,4) I(2分)3QRT(1, 2) I(2分）8.ST(6,7) I(2分)4 QP（附加前提）9.(QS)CP (:2分）5 Q(RS)P2.(10 分)用归谬法证明AB,(C B),CSA.证:1AP（附加前提）(1分）2ABP3BT1,2I(2分）4CBP5CT3,4I（2分）6CSP7CT6I(2分）8CCT57I(2分) 由8得出了矛盾，根据归谬法说明原推理正确(1分)3

4、. (12分)公安人员审理某珠宝商店的钻石项链的失窃案， 已知侦察结果如下:(1)营业员A或B盗窃了钻石项链(2)若B作案，则作案时间不在营业时间(3)若A提供的证词正确，则货柜未上锁(4)若A提供的证词不正确，则作案发生在营业时间(5)货柜上了锁试问：作案者是谁？要求写出推理过程。解：令A表示“营业员A盗窃了钻石项链” ；B表示“营业员B盗窃了钻石项链”；P表示“作案时间在营业时间” ；Q表示“ A提供的证词正确” ；R表示“货 柜上了锁”。则侦察结果如下：A B， B P，Q R， Q P，R 由此可推出作案者是 A . (4分)PPT(1)，(2) I(2 分)(8)P(9)B P PB

5、 T(5)，(6) I (2AB PA T ，(8) I (2推理过程如下：(1) R Q R分)(3) Q Q P分)天津理工大学离散数学第二章检测题答案一、填空题(每空3分，共30分)1 - ( x)(G(x) F(x) ( x)(F(x) G(x)或(x)(G(x) F(x) ( y)(F(y) G(y)2 ( x)( z)( w)( P(x)R(x,w) ( Q(z,y) R(x,w)3. P(a) P(b) P(c) (Q(a) Q(b) Q(c)6 ( x,y; y ) 7. (P(x) yR(x,y) 8. ( x)( F(x) G(x)、单项选择题（每小题2分，共20 分）12

6、345678910得分AABDCACCBD二、 简答题（每小题6分，共12 分）1.求謂词公式(x)( P(x) Q(x, y) ( y)P( y) ( z)Q( y, z)的前束析取范式.(x)(P(x) Q(x, y) ( y)P(y) ( z)Q(y,z)(x)( P(x) Q(x,y) ( y)P(y) ( z)Q(y,z)x(P(x) Q(x, y) ( y)P(y) ( z)Q(y,z)x(P(x) Q(x, y) ( u)P(u) ( z)Q(y,z)(x)( u)( z)(P(x) Q(x,y) (P(u) Q(y,z)2.证明： x(P(x) Q(x) xP(x) xQ(x)

7、证:x P(x) Q(x)左式 x(P(x) Q(x) x( P(x) xQ(x) xP (x) xQ (x) xP(x) xQ(x)四.证明题(共 38 分)1 . (12分)用谓词演算的推理规则证明x(P(x) Q(x) , x(Q(x) R(x)S(x) , P(a)R(a) S(a)(1) x(P(x) Q(x)P(2) P(a) Q(a)US(1)(2分)(3) P(a) R(a)P(4) Q(a)T(2)(3) I(2分)(5) x(Q(x) R(x) S(x)P(6) Q(a) R(a) S(a)US(5)(2分)(7) R(a)T(3) I(2分)(8) Q(a) R(a)T(

8、4)(7)l(2分)(9) S(a)T(6)(8)l(2 分)2 . (10分)指出下面推理证明过程中的错误，并给出正确的证明. 用谓词演算的推理规则证明：x(Q(x) R(x) x(Q(x) Z(x) x(R(x) Z(x)证:(1)x(Q(x) R(x)PZ(a)TIQ(a) R(a)US(1)(7)R(a)T(2) ,(5) I(3)x(Q(x) Z(x)P(8)R(a) Z(a)T(6)， I Q(a) Z(a)ES(3)(9) x(R(x) Z(x) EG(8)(5) Q(a)该证明的错误在于：(1)、(2)与(3)、(4)的顺序颠倒了，应该先指定存在后指定全称。 (2分)正确的证明

9、是：(4分)(1)x(Q(x)Z(x)PZ(a)T(2) I(1分)Q(a) Z(a)ES (1)(2分)R(a)T(4), (5) I(1 分)x(Q(x)R(x)P(8)R(a) Z(a)T(6)， I(1 分)Q(a)R(a)US (3)(2 分)(9) x(R(x)Z(x) EG(8) (1分) Q(a) T(2) I3.(16分)符号化下列命题并推证其结论.任何人如果他喜欢音乐，他就不喜欢体育.每个人或者喜欢体育，或者喜欢美术.有的人不喜欢美术.因而有的人不喜欢音乐. (设M(x) : x喜欢音乐，S(x): x喜欢体育，A (x): x喜欢美术.)该推理符号化为：(x(M(x)S(

10、x)x(S(x)A(x)x A(x)(x M (x)或前提：x(M (x)S(x),x(S(x)A(x),x A(x)结论：x M (x)(4 分)证：(1) x A(x)P(2)A(a)ES (1)(2分)(3) x(S(x) A(x) P(4)S(a) A(a)US (3)(2 分)(5) S(a) T(2) (4)I (2 分)(6)x(M (x)S(x) P(7) M(a) S(a) US (6) (2 分)(8) S(a) M (a) T (7) E (1 分)(9) M(a)T (5) (8) I (2 分)(10) x M(x) EG (9) (1 分)天津理工大学离散数学第三、

11、四章检测题答案、填空题（每空2分，共40 分）8 f1 ,0 , ,1 , f2 ,1 , ,0 。9 .单射，满射；既是单射又是满射； I B ； I A、单项选择题（每小题2分，共20 分）12345678910得分(1)(2)(1)(3)(2)(2)(1)(3)(3)(1)三、简答题（共30 分）1. （ 6分）设A =1,2,3,5,6,10,15,30 , “/” 为集合A上的整除关系。A ,/是否为偏序集？若是，画出其哈斯图;解：A ,/是偏序集。其哈斯图为:2. （12分）对下图所给的偏序集 A,，求下表所列集合的上（下）界，上（下）确界, 并将结果填入表中。子 集上 界下 界上

12、确界下确界a,b,cadadc,d,ea,c无c无Aa无a无3. (6分)设 A=1,2,3,4,5,6，集合 A上的关系R= 1,3 , 1,5 , 2,5 ,4,4 , 4,5 , 5,4 , 6,3 , 6,6 。(1)画出R的关系图，并求它的关系矩阵；(2)求 r(R),S(R)及 t(R)。解：（1） R的关系图为R的关系矩阵为001010000010000000Mr(2 分)000110000100001001(2) r(R) 砒1,1, 2,2,33 , .5,5, (1 分)S(R RJ 3,1 5,1, 5,2 , 3,6 (1 分)t(R) RJ1,4, 2,4, 5,5

13、(2 分)4 设Z是整数集，R是Z上的模3同余关系，即R - x, y |x, y 乙x y(mod3)，试根据等价关系R决定Z的一个划分。答案：由R决定的Z的划分为： 0 r, 1 r, 2 r， 其中：Or , 9, 6, 30,3,6,9, 1r , 8, 5, 2,1,4,7, 2r ,7, 4, 1,2,5,8, 四.证明题(共 10 分)x a1.设a,b R,a b,定义f:a,b 0,1为f(x) ，证明：f是双射，并求出b a其逆映射。证：1 )先证明f是入射(2分)卄 x. a x2 a对任意的X1,X2 a,b ,右f(X1) f(X2),则有一 - ，从而有X1 X2

14、,b a b a故f是入射。2)再证明f是满射(2分)对任意的y 0,1,都存在x (b a)y a a, b ,使得f (x) y,从而f是满射。综合(1 )、(2)知f是双射。1 1f : 0,1 a,b为 f (x) (b a)x a，对任意 x 0,1。( 1 分)天津理工大学离散数学第五章检测题答案、填空题（每空2分，共30分）1. b 1 a1 2 a3 , S, S, 4 a ； 1 5 S关于运算不圭寸闭6 2, a1 4 a7循环群，生成元8 121112丄29 B关于圭封闭、单项选择题（每小题2分，共20分）12345678910得分BCAABDDCBD三、简答题（共30分

15、）1设 是实数集R上的二元运算，其定义如下:a b a b 2ab(1 )求 2 3， 3 (-5)和 7 1/2（2）: R,；是半群吗？ 可交换吗?（3）求R中关于的单位元。2 设Aa,b,c,d，: A,的运算表如下:abcdaabcdbbaX1X2ccX4aX3ddxX6a,a是A,:的单位元。1（4）当a R,a 1/2时，a有逆元素，aa/(1 2a)。求 Xi,X2, X3,X4, X5,X6，并说明道理。答案：x1 d,x2 c,x3 b, x4 d,x5 c,Xg b。因为有限群的运算表中的每行、每列都 是群中元素的一个置换。3.设集合G 1,3,4,5,9, 是定义在G上的

16、模11乘法(即任意a,b G,有a*b=(axb)(mod11) ,x是普通乘法)，问:;G,:是循环群吗？若是，试找出它的 生成元。答：G,:的运算表如下表所示。91345134593914153415943554939195314从运算表可知， 在G上封闭、有幺元1，且1 35,3 31,4 34,5 3【9 32，再由 是可结合的得:G,：；是循环群，3，4，5和9均为其生成元。a G，有a a e，证明四.证明题(共20分)1. (4分)设.；G,；是独异点，e为其幺元，且对G，:是- -个交换群。1证明： 对 a G，由于a a e，贝U a a，即G中的每一个元素 a都有逆元 素,

17、故:；G,是一个群。又对 a,b G，有aba b (b a) b a,所以:G, 是一个Abel群。2. (6分)设 是- 一个群，a G , f: G G , x G，有f (x) a x a 1试证明f是；G, ；：一个自同构.证：首先证明f是入射。(3分)对 为必 G,若f(x) f(x2),则有a x1 a 1 a x2 a 1,该式两边同时左乘a 1及右乘a,得咅x2,故f为入射f.其次证明f是满射。对y G,都存在x a 1 y a G,使得y f(x),因此f是满射.综合以上两点，知 f是双射。(3分)最后,对 x-!,x2 G,都有f(x1 x2) a x-! x2 a 1

18、(a % a 1) (a x2 a 1)f (xj f区),从而f是G到G的自同构.天津理工大学离散数学第六章检测题答案一、填空题(每空2分，共40分)1.上确界 和下确界，a , b 2.至少有一个补元素，不一定4. a a 1,a a 0 5. a b ； a b 6.屮,A二、单项选择题（每小题2分，共20分）12345678910得分DCBCADABDD二、简答题（共30分）1下面哈斯图表示的格中哪个元素无补元？对有补元的元素求出它们的补元.解：c无补元（1分），a的补元为e （1分），b的补元为d （1分），d的补元为b、e （1分），e的补元为a、d （1分），0与1互为补元。（1

19、分）2 .设B, , ,_,0,1是一个布尔代数且B 0, a,b,1，求布尔表达式f(,X2,X3) (a X1 X2) (X1 区 b)的析取范式和合取范式并计算f （b,1 a）的值解：f（X1,X2,X3）的析取范式为:化 X2 X3) 化X2X3)aX2X3)(b x x2X3)（4分）f （X1, X2, X3）的合取范式为：(X1 X2 X3) (X1 X2 X3)(X1X2X3)(X1X2X3) (b X1X2X3) (4 分)f(b,1 a) b (2 分)3 .设A=1,2,3,5,6,10,15,30 , “/” 为集合A上的整除关系。（1） . A ,/是否为偏序集？若

20、是，画出其哈斯图；（2） . A ,/是否构成格？为什么？（3） . A ,/是否构成布尔代数？为什么?解：（1） . A ,/是偏序集。 其哈斯图为:.A ,/构成格。因为其任意两个元素都有上确界和下确界。(3). A ,/构成布尔代数。因为它是有界分配格，且其任意 元素都有唯一补元素。四.证明题(共10分)1.(4分)设G, ：是独异点，e为其幺元，且对 a G，有a a e，证明G : 是- -个交换群。1证明：对 a G，由于a a e，贝V a a ,即G中的每一个元素 a都有逆元素，故 G,：是一个群。又对 a,b G，有a b a 1 b1 (b a) 1 b a,所以；G, ；

21、是一个Abel群。2.(6分)设 G : 是- 一个群，a G , f: G G , x G，有1f(x) a x a试证明f是G, ； 一个自同构.证：首先证明f是入射。(3分)对 X1,x2 G,若f(G f(X2),则有a X1 a 1 a X2 a 1,该式两边同时左乘a 1及右乘a,得為x2,故f为入射f.其次证明f是满射。对y G,都存在x a 1 y a G,使得y f(x),因此f是满射.综合以上两点，知 f是双射。(3分)最后,对 x ,x2 G,都有f (x-! x2) a x1 x2 a 1 (a x1 a 1) (a x2 a 1)f(xj f (x2),从而f是G到G

22、的自同构.离散数学第七章检测题答案、单项选择题（每小题2分，共20分）12345678910得分2424324213二、填空题（每空3分，共45分）1 4 , 3 。 2. 0 , _1_。 0 , 0 o3 （V2 Vi,V2 Vi 4 2 |E 丨, 偶数 。5 _ 5 ; 9_。6 3 , 1 。7 7 。二、简答题（每小题5分，共25分）1 .对有向图G V,E求解下列问题：（1） 写出邻接矩阵A;（2） G V, E中长度为3的不同的路有几条？其中不同的回路有几条？解：（1）邻接矩阵为:0 10 0 10 0 10 0A 0 0 0 0 1110 0 00 0 0 1 0001101

23、10010000100010(2) A2 00010 ,A31100001101001111100001101则，G V,E中长:度为3的不、同的路有10条，其中有1条不同的回路。2.设有2 8盏灯，拟公用一个电源，求至少需要4插头的接线板的数目。解：设至少需要4插头的接线板i个，则有（4-1）i=28-1 （ 3 分）故 i=9即至少需要9个4插头的接线板。 （2分）3.设有6个城市V1, V2，V6，它们之间有输油管连通，其布置如下图 ,Si（数字）中 Si为边的编号，括号内数字为边的权， 它是两城市间的距离，为了保卫油管不受破坏，在每段油管间派一连士兵看守，为保证每个城市石油的正常供应最

24、少需多少连士兵看守 ？输油管道总长度越短，士兵越好防守。求他们看守的最短管道的长度。 （要求写出求解过程）W(T)=1 + 1 + 2 + 2 + 2 =8.S855 .一次学术会议的理事会共有 20个人参加，他们之间有的相互认识，但有的相互不认识。但对任意两个人，他们各自认识的人的数目之和不小于 20,说明能否把这 20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人？根据是什么？解：可以把这20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人。 （1分） 根据是：分别用20个结点代表这20个人，将相互认识的人之间连一条线，便得到一个无向简单图 G :V,E，每个结点 Vi V的度数是与 Vj认识的人的数目，由题意知Vi,Vj V ，有 deg（Vi） deg（Vj） 20，于是 G :V,E 中存在哈密尔顿回路，设C vViJUvv是G